Transformação de Energia em Usinas

Prévia do material em texto

R
O
N
N
IE
 C
H
U
A
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
Nas usinas hidrelétricas, como a da foto, a 
energia potencial gravitacional da água repre-
sada pela barragem é transformada, durante a 
queda, em energia cinética, que, por sua vez, 
movimenta o eixo de um gerador a fim de ge-
rar energia elétrica para uso geral. As formas 
de energia e suas transformações em sistemas 
mecânicos serão estudadas neste capítulo.
Capítulo 12 Energia mecânica 143
12
Capítulo
Movimento uniforme (MU)Energia mecânica
Enem
C5: H17, H18
C6: H20
Anotações
Biblioteca 
do professor
 1 Introdução
Quando falamos em energia, a primeira pergunta que 
nos vem à cabeça é: "O que é energia?". Não existe uma 
resposta simples e direta para essa pergunta. Ao longo 
desta introdução, vamos apresentar argumentos para 
formar uma primeira ideia sobre esse conceito.
 Apresentar os conceitos de energia cinética, energia 
potencial gravitacional, energia potencial elástica e 
energia mecânica.
 Resolver exercícios usando a conservação da energia 
mecânica.
 Estudar os diagramas de energia e aplicar suas 
propriedades na resolução de exercícios.
Objetivos do capítulo
energia elétrica, ou então: “Fulano tem muita força...”; no 
entanto, ninguém armazena força. A força está relacionada 
a uma ação e por meio dela podemos realizar trabalho e 
modificar a energia de um sistema. Assim, embora apare-
çam juntos em muitas situações, os conceitos de força e 
energia são distintos.
A seguir, iniciaremos o estudo das formas de energia 
presentes nos sistemas mecânicos.
 2 Energia cinética (Ec)
Como vimos no capítulo anterior, energia cinética é 
uma forma de energia associada ao movimento dos corpos.
Os movimentos dos corpos podem ser divididos em 
movimentos de translação e movimentos de rotação. Des-
se modo, temos energia cinética de translação e energia 
cinética de rotação. Quando estudamos movimentos de 
pontos materiais, a energia cinética envolvida é somente a 
de translação. A energia cinética de rotação é considerada 
apenas no estudo dos movimentos dos corpos extensos. 
Inicialmente, serão estudados apenas os movimentos 
dos pontos materiais, envolvendo, portanto, somente a 
 energia  cinética de translação. Daqui em diante, vamos 
denominá-la apenas energia cinética (Ec).
A energia cinética de um ponto material de massa m 
e velocidade escalar v é dada por:
5E mv2
1
c
2
N
IC
K
 D
O
LD
IN
G
/G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
Na natureza, há muitas situações em que ocorre a con-
servação de alguma grandeza física. Energia, quantidade 
de movimento e quantidade de carga elétrica são exem-
plos de grandezas que se conservam sob certas condições.
Os sistemas físicos trocam e transformam energia 
quando interagem. A energia é a “moeda de troca” da 
natureza. A natureza “contabiliza” a energia simplesmen-
te somando ou subtraindo as quantidades que vão de um 
sistema para outro. A energia não é criada nem perdida, 
apenas é transformada de um tipo em outro. A energia é 
uma grandeza escalar!
Estudaremos diversos tipos ou modalidades de energia 
que, por processos convenientes, podem ser convertidas 
umas nas outras. O corpo humano faz isso constantemente. 
Os alimentos que ingerimos são metabolizados e transfor-
mados em energia para o desempenho de nossas ativida-
des e nosso desenvolvimento. A energia que recebemos do 
Sol é aproveitada de diversas maneiras e transformada em 
outros tipos de energia utilizável, como a energia elétrica.
No cotidiano, os termos energia e força muitas vezes 
são usados como sinônimos. Você, por exemplo, já deve 
ter dito ou ouvido frases como: “Mãããe, acabou a força!”; 
quando, na verdade, houve interrupção no fornecimento de 
FL
O
R
IA
N
 G
A
E
R
TN
E
R
/P
H
O
TO
TH
E
K
/G
E
TT
Y
 IM
A
G
E
S
Descargas elétricas atmosféricas convertem enormes quantidades de 
energia elétrica em energias térmica, sonora e luminosa.
Ao movimento do carro da montanha-russa é associada certa quantidade 
de energia cinética.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Física – Nicolau Torres Penteado144
Como a velocidade depende do referencial adotado, 
a energia cinética também depende do referencial. Se, 
por exemplo, você estiver sentado no banco de um trem 
que está em movimento em relação à Terra, sua energia 
cinética será nula em relação ao próprio trem e não nula 
em relação ao solo, onde são fixados os trilhos da via 
férrea. A energia cinética é uma grandeza escalar que 
depende do módulo da velocidade do corpo, ou seja, 
não depende da direção (horizontal, vertical ou oblíqua) 
nem da orientação da velocidade do corpo (para cima, 
para baixo, para a direita ou para a esquerda).
No SI, a massa é medida em quilograma (kg), e a 
velocidade, em metro por segundo (m/s). Assim, já que 
o coeficiente 2
1 é adimensional, a unidade de energia 
cinética no SI é:
kg s
m kg
s
m m N m joule (J)5 5 5? ? ? ?
newton (N)
2
2c m
>
Outras unidades de energia serão estudadas e usa-
das oportunamente. A caloria (cal), o quilowatt-hora 
(kWh), a unidade térmica britânica (BTU: british thermal 
unity) e o elétron-volt (eV) são exemplos de unidades 
de energia usadas em áreas específicas da Física e da 
Engenharia.
Exercícios resolvidos
 1. Um corpo de massa m cai livremente partindo do repouso. 
v0 = 0
v1; Ec(1)
h
4h
v2; Ec(2)
g
Considerando g o módulo da aceleração da gravidade 
local, comparar:
 a) os valores v1 e v2 das velocidades escalares do corpo depois 
de ele percorrer as distâncias h e 4h, medidas a partir do 
ponto inicial da queda;
 b) as energias cinéticas Ec(1) e Ec(2) do corpo nos pontos consi-
derados no item a.
LU
IZ
 R
U
B
IO
 Solução
 a) Vamos usar a equação de Torricelli duas vezes.
Do início ao final do percurso de distância h, temos:
5 1 aDv v s21
2
0
2
1 ] h( )5 1 1? ?v g0 21
2 2 ] 
] 5v gh21
2 ] 5v gh21 
Do início ao final do percurso de distância 4h, temos:
5 1 aDv v s22
2
0
2
2 ] ( ) ( )5 1 1? ?v g h0 2 42
2 2 ] 5v gh82
2 ]
] 5v gh82 ] 5v gh2 22
1v
=
 ] 5v v22 1
Portanto, ao quadruplicar a distância de queda, a veloci-
dade escalar do corpo dobra.
 b) Das velocidades obtidas no item a, obtemos as seguintes 
energias cinéticas:
Ec(1) 5 2
1 mv2
1 ] Ec(1) 5 2
1 m ? (2gh) ] Ec(1) 5 mgh
Ec(2) 5 2
1 mv2
2 ] Ec(2) 5 2
1 m ? (8gh) ] Ec(2) 5 4mgh
Comparando as energias cinéticas Ec(1) e Ec(2) do corpo, 
temos: 
Ec(2) 5 4Ec(1)
Esse resultado mostra que a energia cinética quadruplica 
quando a velocidade escalar do corpo dobra.
 3 Energia potencial gravitacional 
(Epgrav.
)
Energia potencial gravitacional é uma forma de ener-
gia associada ao trabalho da força peso.
 A
N
D
R
E
W
 Z
A
R
IV
N
Y
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
A água represada a grande altura, numa usina hidrelétrica, armazena 
enorme quantidade de energia potencial gravitacional.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Capítulo 12 Energia mecânica 145
h
Epgrav. 
= 0
Nível de
referência
Epgrav. 
= +mgh
g
Solo
h
Epgrav. 
= 0 Nível de
referência
Epgrav. 
= –mgh
g
Solo
h
Bola 3
Nível 3
Bola 2
Nível 2
Bola 1
Nível 1
h
Se soltarmos uma bola de certa altura h acima do solo 
e desprezarmos a resistência do ar, ela cairá, adquirindo 
energia cinética durante a queda. Como não é possível criar 
nem destruir energia, concluímos que a energia cinética ad-
quirida pela bola durante sua queda já estava armazenada 
em sua posição inicial. Essa energia, momentaneamente 
armazenada numa posição inicial, devido à interação entre 
a Terra e o corpo, é chamada de energia potencial gravita-
cional (Epgrav.
). Dizemos que a energia potencial gravitacional 
inicial da bola na altura h foi gradativamente convertida 
em energia cinética durante sua queda. Considerando nula 
a energia potencial/SLV 
 /SUO 
 /SVE 
 /TUR 
 /UKR 
 /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 6.0 and later.)
 >>
>> setdistillerparams
> setpagedevicegravitacional no solo, ao fim da queda, 
a energia cinética final da bola tem valor igual ao de sua 
energia potencial gravitacional inicial.
Se mudarmos a situação, isto é, se lançarmos a bola do 
solo para o alto com a mesma energia cinética com a qual 
ela chegou após a queda, ela atingirá a mesma altura h 
da qual foi solta no primeiro experimento.
O valor da energia potencial gravitacional é calculado 
em relação a um nível horizontal de referência, em geral 
o solo, no qual adotamos Epgrav.
 5 0.
A figura 1 mostra os valores da energia potencial gra-
vitacional de um corpo no solo, adotado como nível zero 
para essa energia, e a uma altura h acima do nível adotado.
Acima do nível de referência, a energia potencial gra-
vitacional é positiva:
Epgrav.
 5 1mgh
Figura 1. O valor da 
energia potencial 
gravitacional de um 
corpo depende da 
escolha de um nível 
de referência. Na 
altura h (acima do 
nível de referência), 
o corpo precisa perder 
uma quantidade mgh 
de energia potencial 
gravitacional para 
chegar ao nível de 
referência.
Epgrav.
Bola 1 Bola 2 Bola 3
Nível 1 0 1mgh 12mgh
Nível 2 2mgh 0 1mgh
Nível 3 22mgh 2mgh 0
Figura 2. Na altura h 
(abaixo do nível de 
referência), o corpo 
precisa ganhar uma 
quantidade 1mgh 
de energia potencial 
gravitacional para 
chegar ao nível de 
referência.
A figura 2 mostra a energia potencial gravitacional 
de um corpo no solo e a uma distância h abaixo do nível 
zero de energia potencial gravitacional, em um buraco.
Abaixo do nível de referência, a energia potencial 
gravitacional é negativa:
Epgrav.
 5 2mgh
Você, sentado em sua cadeira participando das aulas, 
tem energia potencial gravitacional positiva em relação ao 
chão da sala, pois está acima dele. Porém, em relação ao 
teto dessa mesma sala, sua energia potencial gravitacional 
é negativa, pois você está abaixo dele.
Energia potencial gravitacional positiva significa que 
o corpo pode, espontaneamente, chegar ao nível zero de 
energia potencial (o corpo pode cair). Energia potencial 
gravitacional negativa significa que o corpo não pode, es-
pontaneamente, chegar ao nível zero de energia potencial; 
para chegar ao nível zero é necessária a realização de um 
trabalho. Mais adiante, em outros contextos, encontraremos 
outros tipos de energias potenciais (elástica e elétrica, por 
exemplo), que podem ser tanto positivas como negativas.
Resumindo, podemos calcular a energia potencial 
gravitacional em relação a qualquer plano horizontal 
de referência, para o qual adotamos Epgrav.
 5 0. Acima 
desse plano, o corpo tem energia potencial gravitacional 
positiva: Epgrav.
 5 1mgh. Abaixo desse plano, o corpo tem 
energia potencial gravitacional negativa: Epgrav.
 5 2mgh.
A tabela abaixo mostra a energia potencial gravitacional 
de três bolas, para três níveis de referência diferentes (fig. 3).
Observe que, para uma mesma bola, a energia po-
tencial gravitacional varia de acordo com o nível de refe-
rência considerado. No entanto, a diferença nos valores 
das energias potenciais gravitacionais entre dois níveis 
quaisquer é sempre a mesma, isto é, a energia potencial 
gravitacional no nível 2 é sempre mgh acima da energia 
potencial gravitacional no nível 1. A energia potencial 
gravitacional no nível 3 é sempre mgh acima da energia 
potencial gravitacional no nível 2 e sempre 2mgh acima 
da energia potencial gravitacional no nível 1.IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
Figura 3. A energia 
potencial gravitacional 
de cada bola depende do 
nível de referência 
adotado.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Física – Nicolau Torres Penteado146
Observe também que, quando deslocamos o corpo en-
tre dois níveis quaisquer, a diferença entre os valores inicial 
e final da energia potencial gravitacional é exatamente 
igual ao trabalho da força peso nesse deslocamento. Veja 
os exemplos a seguir:
I. Uma bola vai do nível 2 para o nível 1, que é tomado 
como referência.
Epgrav.(2)
 2 Epgrav.(1)
 5 1mgh 2 0 5 1mgh 5 t ( )P 2 1"
II. Uma bola vai do nível 1, que é tomado como refe-
rência, para o nível 3.
Epgrav.(1)
 2 Epgrav.(3)
 5 0 2 (12mgh) 5 22mgh 5 t ( )P 1 3"
Portanto, para a força peso (P ), são sempre verdadeiras 
as igualdades:
tP 5 2DEpgrav.
 ] tP 5 Epgrav.(inicial)
 2 Epgrav.(final)
Exercícios resolvidos
 2. Uma bola de massa 0,5 kg cai livremente, a partir do 
repouso, de uma altura H 5 45 m acima do solo plano e 
horizontal, num local onde a influência do ar é desprezível 
e o módulo g da aceleração da gravidade local pode ser 
considerado igual a 10 m/s2. Determinar para essa bola, 
em relação ao solo:
 a) a energia potencial gravitacional inicial, Epgrav.(inicial)
;
 b) a energia cinética ao atingir o solo, Ec(solo);
 c) a velocidade escalar ao atingir o solo, vsolo.
 Solução
 a) Epgrav.(inicial)
 5 1mgH ] Epgrav.(inicial)
 5 10,5 ? 10 ? 45 
[ Epgrav.(inicial)
 5 225 J
 b) Durante a queda da bola, a energia potencial gravitacional 
converte-se em energia cinética. Ao chegar ao solo, a energia 
cinética da bola será igual à sua energia potencial gravitacio-
nal inicial. Assim:
Ec(solo) 5 Epgrav.(inicial)
 5 225 J
 c) Ec(solo)5 2
1 mv2
solo ⇒ 225 5 2
1 ? 0,5 ? v2
solo ⇒ v2
solo 5 900 
[ vsolo 5 30 m/s
 3. Retomando o exercício anterior, quando a bola estiver a 
uma altura h 5 16,2 m acima do solo, determinar: 
 a) a energia potencial gravitacional da bola, Epgrav.(h)
;
 b) a energia cinética da bola, Ec(h);
 c) a velocidade escalar da bola, vh.
 Solução
 a) Epgrav.(h)
 5 1mgh ⇒ Epgrav.(h)
 5 10,5 ? 10 ? 16,2 
[ Epgrav.(h)
 5 81 J
 b) Pelo resultado obtido no item a, vemos que houve um 
decréscimo de 144 J na energia potencial gravitacional da 
bola da posição inicial até a altura h (225 J 2 81 J 5 144 J). 
Essa energia potencial foi transformada em energia ciné-
tica. Portanto, a 16,2 m acima do solo, a energia cinética da 
bola vale:
Ec(h) 5 144 J
 c) Usando o resultado do item b, temos:
Ec(h) 5 2
1 mvh
2 ] 144 5 2
1 ? 0,5 ? vh
2 ] vh
2 5 576 [ vh 5 24 m/s
 4 Energia potencial elástica (Epelást.
)
Energia potencial elástica é a energia associada ao tra-
balho da força elástica, que, por sua vez, é associado a uma 
deformação elástica que tende a retornar à posição inicial. 
Uma mola que pode ser comprimida ou distendida (fig. 4), 
uma barra que pode ser flexionada ou torcida (fig. 5) ou um 
arco que pode ser flexionado (fig. 6) são exemplos de corpos 
que, quando deformados, armazenam momentaneamente 
energia potencial devido à deformação provocada. Essa 
energia potencial é denominada energia potencial elás-
tica. Daremos maior atenção à energia potencial elástica 
armazenada em molas.
Figura 4. A mola helicoidal, 
quando comprimida ou 
tracionada, armazena energia 
potencial elástica.
 S
TO
C
K
S
N
A
P
P
E
R
/S
H
U
TT
E
R
S
TO
C
K
Figura 6. Flexionado pela 
corda, o arco armazena energia 
potencial elástica.
Figura 5. Energia potencial 
elástica armazenada por torção 
em uma barra.
S
E
B
A
S
TI
A
N
 K
A
H
N
E
R
T/
P
IC
TU
R
E
- 
-A
LL
IA
N
C
E
/D
PA
/A
P
 IM
A
G
E
S
/G
LO
W
 IM
A
G
E
S
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Capítulo 12 Energia mecânica 147
Comente com os alunos que os itens c dos exercícios 2 e 3 também podem ser re-
solvidos com as equações da Cinemática, como a equação de Torricelli, por exemplo. 
Damos o nome de energia potencial elástica (Epelást.
) 
a essa energia armazenada na mola não deformada. Ela 
é calculada pelo trabalho da força elástica ao deslocar 
o bloco de P até O (tomado como ponto de referência):
Epelást.
 5 kx2
1 2
Analogamente ao trabalho da força peso, o trabalho 
da força elástica também é dado por:
tFelást.
 5 2DEpelást. ] tFelást.5 Epelást.(inicial)
 2 Epelást.(final)
x
m
k
k
m
P
O
L – L0
L
F
L0
Figura 7. Mola distendida pela ação da força F . Abandonando o bloco 
(com F 5 0), ele se desloca sob ação da força elástica Felást.. 
 b) Epelást.
 5 2
1 kx2 ] 1,2 5 2
1 k ? (2,0 ? 1022)2 [ k 5 6.000 N/m ]
] k 5 60 N/cm 
 5. Um corpo de massa 250 g está comprimindo uma mola 
de constante elástica k desconhecida, sem estar preso 
a ela. Quando o sistema massa-mola é liberado, o corpo 
é impulsionado sobre um plano horizontal sem atrito 
e, ao perder contato com a mola, está com velocidade 
escalar v 5 2 m/s. Na posição inicial, o corpo está em 
repouso e a mola apresenta comprimento 10 cm menor 
que o normal. 
10 cm
250 g
k
k
250 g
v
Para esse sistema, determinar:
 a) a energia potencial elástica armazenada inicialmente na 
mola, Epelást.(inicial)
;
 b) o valor da constante elástica k;
 c) a intensidade da força que a mola aplicava inicialmente no 
corpo, Felást..
 Solução
 a) Inicialmente, vamos converter as unidades dadas para o SI.
Massa do corpo: m 5 250 g 5 250 ? 1023 kg 5 25 ? 1022 kg
Compressão da mola: x 5 10 cm 5 10 ? 1022 m 5 1021 m
A energia potencial elástica armazenada na mola é con-
vertida em energia cinética do corpo imediatamente após 
perder o contato com ela. Portanto:
Epelást.(inicial)
 5 Ec(final) 5 2
1 mv2 ] Epelást.(inicial)
 5 2
1 ? 25 ? 1022 ? 22
[ Epelást.(inicial)
 5 50 ? 1022 J ] Epelást.(inicial)
 5 0,50 J
 b) Epelást.(inicial)
 5 2
1 kx2 ] 50 ? 1022 5 2
1 k ? (1021)2 
[ k 5 100 N/m ] k 5 1 N/cm
 c) Felást. 5 kx ] Felást. 5 (100 N/m) ? (1021 m) ] Felást. 5 10 N
ou
Felást. 5 kx ] Felást. 5 (1 N/cm) ? (10 cm) ] Felást. 5 10 N
Exercícios resolvidos
 4. a) Uma mola de constante elástica k 5 400 N/m sofre uma 
deformação x 5 20 cm. Determinar a energia potencial 
elástica armazenada na mola, em joule.
 b) Uma mola de constante elástica k desconhecida armaze-
na uma energia potencial elástica de 1,2 J, quando disten-
dida 2,0 cm. Determinar o valor de k, em N/cm.
 Solução
 a) Epelást.
 5 2
1 kx2 ] Epelást.
 5 2
1 ? (400 N/m) ? 20 10 m? 2
20
2
cm
2` j
1 2 34444 4444
 ]
] Epelást.
 5 8,0 J 
Consideremos o sistema elástico constituído por um 
bloco de massa m e uma mola de constante elástica k 
(fig. 7). Vamos aplicar ao bloco uma força F que provoca 
na mola a deformação x 5 L 2 L0, em que L0 é o compri-
mento inicial da mola, isto é, o comprimento da mola sem 
deformação (ponto O), e L é o comprimento final da mola 
deformada (ponto P).
Ao ser abandonado em P, o bloco se desloca pela ação 
da força elástica Felást. e adquire energia cinética. Como 
não é possível criar nem destruir energia, concluímos que 
a energia cinética que o bloco adquire estava armazenada 
na mola deformada, com o bloco na posição P.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Física – Nicolau Torres Penteado148
Comente com os alunos que não é possível obter o resultado correto ao substituir, na expressão da ener-
gia potencial elástica, a distensão x em centímetro, mesmo usando a constante elástica k = 4 N/cm.
m
O
T
P
T
P
 5 Conservação da energia mecânica
Podemos dividir as forças em dois grandes grupos. O 
primeiro grupo é o das forças conservativas. Essas forças 
sempre estão associadas a algum tipo de energia potencial 
(Ep). A força peso, a força elástica e a força de interação 
eletrostática são exemplos desse tipo de força, associadas 
respectivamente às energias potenciais gravitacional, 
elástica e elétrica. No segundo grupo, estão as forças 
não conservativas, que podem ou não realizar trabalho 
sobre o sistema. A força de atrito entre sólidos e as forças 
de resistência exercidas pelos fluidos são exemplos de 
forças que “degradam” a energia do sistema, em geral 
na forma de calor, e por esse motivo são denominadas 
forças dissipativas.
Em nosso estudo, os sistemas físicos serão analisa-
dos macroscopicamente, pois, a rigor, podemos dizer 
que microscopicamente não existem forças não conser-
vativas, todas as forças têm origem nas quatro forças 
fundamentais da natureza que definem as interações 
das partículas que constituem a matéria. Essas forças, 
gravitacional, eletromagnética e nucleares forte e fraca, 
são todas conservativas. 
Chamamos de energia mecânica de um sistema físico 
a soma de energias cinética, potencial gravitacional e 
potencial elástica, em um dado instante. Quando, em um 
sistema físico, a energia mecânica se conserva, dizemos 
que esse sistema é conservativo. Um sistema físico é con-
siderado conservativo em duas situações:
B
A
 L
A
R
U
E
/A
LA
M
Y
/G
LO
W
 IM
A
G
E
S
Em uma usina hidrelétrica, parte da energia potencial gravitacional da água 
represada é convertida em energia cinética com a abertura das comportas.
Figura 8. Pêndulo simples oscilando livremente.
Quando levantamos um corpo muito lentamente por 
meio de um fio, a partir do chão, até uma altura qualquer, 
atuam sobre o corpo pelo menos duas forças: seu peso e 
a força de tração (fig. 9). Como esse é um deslocamento 
muito lento, pode-se desprezar a influência da força de 
resistência do ar. Contudo, esse sistema não pode ser con-
siderado conservativo, uma vez que a força de tração no 
fio está realizando trabalho. A ação dessa força aumenta 
a energia mecânica do sistema e fornece ao corpo energia 
potencial gravitacional em relação ao chão. Portanto, a 
tração no fio é uma força não conservativa que está rea-
lizando trabalho.
Figura 9. Forças que atuam em um corpo que é levantado por 
um fio.
quando sobre ele só atuam forças conservativas;
quando as forças não conservativas que atuam sobre 
ele não realizam trabalho.
Nos exemplos a seguir, são descritos alguns sistemas 
conservativos e não conservativos.
Em uma queda livre, podemos considerar o sistema 
conservativo, uma vez que a única força atuante nesse 
sistema é a força peso, que é conservativa.
Um pêndulo simples oscilando livremente pela ação 
da gravidade (fig. 8) é um sistema conservativo. Somente 
o peso do corpo oscilante realiza trabalho durante o mo-
vimento. A força de tração exercida pelo fio, que é não 
conservativa, não realiza trabalho, pois é sempre perpen-
dicular à trajetória circular do corpo.
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Capítulo 12 Energia mecânica 149
P
N
Fat
No exemplo anterior, se desconsiderarmos a resis-
tência do ar e o atrito entre as superfícies da rampa e do 
corpo, o sistema poderá ser considerado conservativo, 
pois a força de reação normal exercida pela rampa não 
realiza trabalho por ser perpendicular ao deslocamen-
to do corpo em todo o trajeto. A força normal é uma 
força não conservativa que, nesse exemplo, não realiza 
trabalho.
Podemos sintetizar e simplificar o conceito de sistema 
conservativo dizendo que o sistema é conservativo quan-
do somente as forças conservativas que atuam sobre ele 
realizam trabalho.
O enunciado a seguir é o princípio da conservação da 
energia mecânica:
Em um sistema conservativo, é constante a soma dos 
valores das energias cinética (Ec), potencial gravitacional 
(Epgrav.
) e potencial elástica (Epelást.
), em qualquer instante ou 
posição. Essa soma é a energia mecânica do sistema (Emec.).
Em notação algébrica fica assim:
Ec 1 Epgrav.
 1 Epelást.
 5 Emec. 5 k (constante)
ou
Emec.(inicial) 5 Emec.(final) ]
] Ec(inicial) 1 Epgrav.(inicial)
 1 Epelást.(inicial)
 5 Ec(final) 1 Epgrav.(final)
 1 Epelást.(final)
Figura 10. Forças que atuam em um corpo 
que escorrega por uma rampa.
Quando um corpo escorrega por uma rampa (fig. 10), 
pelo menos duas forças atuam sobre ele: o peso do corpo e 
a força exercida pela rampa sobre ele,que, para simplificar, 
pode ser decomposta na força de reação normal exercida 
pela rampa e na força de atrito. Novamente, mesmo não 
considerando a força de resistência do ar, o sistema não 
é conservativo devido ao trabalho realizado pela força 
de atrito, que é uma força dissipativa e, portanto, não 
conservativa.
Neste experimento, você verificará a conservação da 
energia mecânica em um sistema simples.
Para realizá-lo, você vai precisar de uma bola de basque-
te e de uma corda de náilon com uns 2 m de comprimento.
Prenda firmemente uma das extremidades da corda à 
bola. Certifique-se de que a bola está bem presa à corda. 
Prenda a outra extremidade a um galho de árvore ou a 
um ponto qualquer, criando um pêndulo.
Desloque a bola da posição natural de equilíbrio 
e, mantendo a corda esticada, posicione-a junto a seu 
queixo. Solte a bola sem empurrar e permaneça imóvel. 
A bola irá se deslocar em seu movimento pendular e, na 
volta, retornará à posição inicial, a milímetros de seu 
queixo, conforme esquema abaixo. 
De acordo com o princípio da conservação da ener-
gia, no retorno, a bola não poderá ter uma energia 
potencial maior do que a que tinha quando partiu. 
Portanto, você não precisa se preocupar, pois ela não 
atingirá uma altura maior que a do momento inicial, 
quando foi abandonada.
Após oscilar durante certo intervalo de tempo, a 
bola para. Explique o que ocorreu em termos de ener-
gia e responda: houve conservação de energia? E de 
energia mecânica?
A
D
IL
S
O
N
 S
E
C
C
O
Atividade prática
Eventualmente, uma ou outra dessas parcelas pode 
ser nula no instante considerado ou até pode não existir 
no sistema conservativo em estudo.
De modo geral, para qualquer sistema de forças 
conservativas, podemos escrever o trabalho (tfc) dessas 
forças como:
tfc 5 Ep(inicial) 2 Ep(final)
A igualdade acima é conhecida como teorema das 
forças conservativas.
Quando o sistema não é conservativo, a variação da 
energia mecânica do sistema corresponde ao trabalho das 
forças não conservativas (tfnc):
tfnc 5 DEmec.
Suplemento 
LU
IZ
 R
U
B
IO
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Física – Nicolau Torres Penteado150
Exercícios propostos
 1. Se o módulo da velocidade escalar de uma partícula tripli-
car de valor, a energia cinética associada ao movimento 
dessa partícula ficará multiplicada por:
 a) 1
 b) 3
 c) 4,5
 d) 6
 e) 9
 2. Se a energia cinética de uma partícula for reduzida para 4
1 
do seu valor inicial, o módulo da velocidade escalar dessa 
partícula ficará reduzido:
 a) a 4
1 do seu valor inicial.
 b) à metade do seu valor inicial.
 c) a 4
3 do seu valor inicial.
 d) a 16
1 do seu valor inicial.
 e) a 16
9 do seu valor inicial.
 3. Considere duas partículas A e B cujas massas são tais que 
mB 5 2mA. Se a energia cinética de A é 8
1 da energia cinética 
de B, podemos dizer que a razão v
v
B
A entre os módulos de 
suas velocidades escalares é:
 a) 8
1
 b) 4
1
 c) 2
1
 d) 1
 e) 4
 4. Dos gráficos a seguir, qual representa melhor a energia 
cinética de um móvel em queda livre a partir do repouso, 
em relação ao solo e em função do tempo?
 a) Ec
0 t
 b) Ec
0
Arco de
parábola
t
 c) Ec
0
Arco de
parábola
t
 d) Ec
0 t
 e) Ec
0
Arco de
parábola
t
x
x
x
x
Exercícios resolvidos
 6. Na figura abaixo, um esquiador passa pelo ponto A 
com velocidade escalar de 8,0 m/s. A pista de gelo é suficien-
temente lisa para que possamos desprezar a influência do 
atrito e o ar também não oferece resistência considerável.
A
3,2 m
1,8 m
B
C
Adotando para a aceleração da gravidade o valor g 5 10 m/s2, 
determinar:
 a) a velocidade escalar do esquiador ao passar pelo ponto B;
 b) a velocidade escalar do esquiador ao atingir o ponto C.
 Solução
 a) Vamos adotar o ponto A como nível de referência para 
a energia potencial gravitacional do esquiador, isto é, 
Epgrav.(A)
 5 0.
Aplicando o princípio da conservação da energia mecâni-
ca nos pontos A e B, temos:
Emec.(A) 5 Emec.(B) ]
] Ec(A) 1 Epgrav.(A)
 5 Ec(B) 1 Epgrav.(B)
 ] 
] 2
1 mvA
2 1 0 5 2
1 mvB
2 1 mghB ] 
] 2
1 (8,0)2 5 2
1 vB
2 1 10 ? (21,8) ] 
] vB
2 5 100 [ vB 5 10 m/s
O sinal negativo de hB se deve ao fato de B estar abaixo do 
nível do ponto A (nível de referência adotado).
Observação
 b) Aplicando o princípio da conservação da energia mecâni-
ca nos pontos A e C, temos:
E mec.(A) = E mec.(C ) ] Ec(A) 1 Epgrav.(A)
 5 Ec(C) 1 Epgrav.(C)
 ]
] 2
1 mvA
2 1 0 5 2
1 mvC
2 1 mghC ] 
] 2
1 (8,0)2 5 2
1 vC
2 1 10 ? 3,2 ] 
] vC
2 5 0 ] vC 5 0
Para calcular de outro modo a velocidade escalar do es-
quiador ao atingir C, podemos aplicar o princípio da con-
servação da energia mecânica nos pontos B e C, assim:
Emec.(B) = Emec.(C) ]
] Ec(B) 1 Epgrav.(B)
 5 Ec(C) 1 Epgrav.(C)
 ]
] 2
1 ? mvB
2 1 mghB 5 2
1 mvC
2 1 mghC ] 
] 2
1 ? 102 1 10 ? (21,8) 5 2
1 vC
2 1 10 ? 3,2 ]
] vC
2 5 0 ] vC 5 0
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Capítulo 12 Energia mecânica 151
Sugerimos resolver novamente o exercício 6 tomando o ponto B e/ou o ponto C 
como nível de referência para a energia potencial gravitacional.
 5. Em relação à situação do exercício anterior, qual dos 
gráficos mostrados a seguir representa melhor a energia 
potencial gravitacional do móvel em função do tempo, 
sendo o solo o nível de referência para a energia poten-
cial gravitacional?
 a) Epgrav.
0 t
 b) Epgrav.
0 t
 c) Epgrav.
0
Arco de
parábola
t
 d) Epgrav.
0
Arco de
parábola
t
 e) Epgrav.
0
Arco de
parábola
t
 6. Um corpo, de massa m 5 200 g, é abandonado de uma altura 
de 20 m, acima do solo plano e horizontal, num local onde a 
influência do ar é desprezível e o módulo da aceleração da 
gravidade pode ser adotado como g 5 10 m/s2. Determine, 
para esse corpo:
 a) a energia cinética ao chegar ao solo;
 b) o módulo da velocidade escalar no instante em que ele che-
ga ao solo;
 c) a energia cinética 5 m abaixo do ponto de partida.
 7. Um corpo é lançado verticalmente para cima partindo 
do solo plano e horizontal, com velocidade escalar inicial 
v0 5 30 m/s, em um local onde a aceleração da gravidade 
tem módulo g 5 10 m/s2 e o ar exerce influência des-
prezível sobre o movimento. Sendo 100 g a massa desse 
corpo, determine:
 a) a altura máxima H alcançada pelo corpo, em relação ao 
solo;
 b) a altura h, em relação ao solo, do ponto de sua trajetória no 
qual as energias cinética e potencial gravitacional têm valo-
res iguais;
 c) a energia cinética do corpo quando ele estiver a 40 m acima 
do solo.
x
40 J
20 m/s
10 J
H 5 45 m
h 5 22,5 m
5 J
 8. Três bolas A, B e C, consideradas pontos materiais, são 
lançadas do ponto P indicado na figura abaixo, com velo-
cidades iniciais de módulos iguais a v0. 
Solo
A
B
CP
v0
v0
v0
Desconsiderando quaisquer resistências aos movimentos 
das bolas, quando elas chegarem ao solo, plano e hori-
zontal, suas velocidades vetoriais terão módulos vA, vB e 
vC tais que:
 a) vA . vB . vC
 b) vA , vC , vB
 c) vA . vB 5 vC
 d) vA 5 vB 5 vC
 e) vA . vC . vB
 9. Na figura abaixo está representado um diagrama para as 
energias mecânicas de um sistema conservativo, como 
função da posição x do móvel na trajetória. A linha trace-
jada horizontal representa o valor da energia mecânica do 
sistema, Emec.. O eixo vertical, E, representa os valores de 
alguma energia mecânica do sistema.
Emec.
0 xx3x2x1
E
Considere as afirmações a seguir.
 I. Nesse diagrama, E pode representar energia potencial 
gravitacional ou elástica.
 II. E não pode ser energia potencial. Se assim fosse, no tre-
cho entre x 5 0 e x 5 x1, a energia cinética do corpo seria 
negativa, o que é impossível.
 III. Para o trecho mostrado,na posição x2 a energia potencial 
é máxima.
 IV. Para o intervalo 0 , x , x1, a energia potencial é negativa.
 V. Nas posições x 5 0, x 5 x1 e x 5 x3, a energia cinética do 
sistema é nula.
Agora, verifique se:
 a) são todas corretas.
 b) são todas erradas.
 c) são corretas apenas I, III e V.
 d) são corretas apenas II, III e IV.
 e) são corretas apenas I e V.
x
x
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Física – Nicolau Torres Penteado152
 10. O carro de Joaquim sofreu uma pane seca, isto é, acabou 
o combustível, quando sua velocidade era de 36 km/h. 
Por sorte, isso ocorreu no início de um pequeno vale 
que termina bem defronte a um posto de combustíveis 
e serviços, como se vê na figura abaixo. No local, pode-
mos considerar o módulo da aceleração da gravidade 
igual a 10 m/s2.
9,6 m
14,4 m
 a) Numa situação ideal, desprezando quaisquer tipos de re-
sistências ao movimento do veículo, qual seria o módulo 
da velocidade do carro de Joaquim ao chegar ao posto? 
 b) Na situação real, por muita sorte, Joaquim conseguiu 
chegar até o posto, parando bem em frente à primeira 
bomba de combustível. Calcule o trabalho realizado 
pelas forças de resistência que atuaram sobre o carro 
de massa 800 kg, nesta situação, a partir do instante 
da pane. 
 11. Em uma nova modalidade desportiva, proposta para os 
jogos de inverno, um atleta corre com a máxima velocida-
de possível, salta sobre um trenó parado e desliza rampa 
abaixo com ele até ser parado por um sistema de molas 
elásticas que, ao serem tracionadas, freiam o conjunto 
atleta e trenó, de modo semelhante ao que ocorre nos 
porta-aviões. Vence a prova quem provoca a maior disten-
são no sistema de molas.
1,80 m
A atleta Lisa Quick, correndo o máximo que pode, atira-
-se sobre o trenó e o conjunto inicia a descida da rampa 
com velocidade de 8 m/s, sem que o seu movimento 
seja afetado por qualquer resistência externa antes de 
tocar nas molas. O conjunto atleta e trenó tem massa de 
60 kg, o sistema de molas tem constante elástica igual a 
15 N/cm e a aceleração local da gravidade tem módulo 
10 m/s2. Nessas condições, determine:
 a) a distensão máxima que Lisa provocará nas molas;
 b) o módulo da força que as molas exercerão sobre o conjun-
to no instante em que ele para.
2,0 m/s 5 7,2 km/h
21.600 J
2 m
3.000 N
 12. Um pêndulo simples tem comprimento L e a esfera pen-
dular tem massa m. A esfera é abandonada do ponto A, 
estando o fio na horizontal, e descreve a trajetória mostra-
da na figura abaixo. Considere conhecido o módulo g da 
aceleração da gravidade do local e despreze a resistência 
do ar.
m
A
L O
B
m g
v
Determine no ponto B, que é o ponto mais baixo da trajetória:
 a) o valor v da velocidade escalar da esfera; 
 b) o módulo T da tração exercida pelo fio. 
 13. Um bloco de massa 250 g está apenas apoiado sobre uma 
mola elástica que está comprimida e presa por um fio. A 
base que apoia o corpo tem massa desprezível. Ao cortar o 
fio, o bloco é lançado verticalmente até uma altura máxi-
ma de 2,0 m em relação à posição de repouso do sistema, 
como mostra a figura a seguir.
2,0 m
Fio
Considerando 10,0  m/s2 o módulo da aceleração da 
gravidade local, 2,5 N/cm a constante elástica da mola 
e que o ar não exerce ação considerável sobre o bloco, 
 determine:
 a) a energia potencial elástica armazenada na mola inicial-
mente;
 b) a compressão inicial da mola, em cm; 
 c) a intensidade da força que a mola estava exercendo sobre o 
bloco na posição inicial do sistema; 
 d) a intensidade da força de tração no fio antes de ele ser 
cortado.
v 5 2gL
T 5 3mg
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Capítulo 12 Energia mecânica 153
5,0 J
20,0 cm
50,0 N
47,5 N
Energia cinética (Ec):
Ec 5 2
1 mv2
Energia potencial gravitacional (Epgrav.
):
Epgrav.
 5 mgh
Energia potencial elástica (Eelást.):
Epelást. 
5 2
1 kx2
Ficha-resumo 1
Sistemas conservativos: 
Emec.(inicial) = Emec.(final) ⇒ Ec(inicial) 1 Ep(inicial) 5 Ec(final) 1 Ep(final)
Ficha-resumo 2
 1. (Enem) Uma das modalidades presentes nas olimpíadas é 
o salto com vara. As etapas de um dos saltos de um atleta 
estão representadas na figura.
Etapa I Etapa II
Etapa III Etapa IV
Atleta corre com a vara Atleta apoia a vara no chão
Atleta atinge certa altura Atleta cai em um colchão
Desprezando-se as forças dissipativas (resistência do ar 
e atrito), para que o salto atinja a maior altura possível, 
ou seja, para que o máximo de energia seja conservada, é 
necessário que:
 a) a energia cinética, representada na etapa I, seja totalmen-
te convertida em energia potencial elástica representada 
na etapa IV.
 b) a energia cinética, representada na etapa II, seja total-
mente convertida em energia potencial gravitacional, 
representada na etapa IV.
 c) a energia cinética, representada na etapa I, seja totalmen-
te convertida em energia potencial gravitacional, repre-
sentada na etapa III.
 d) a energia potencial gravitacional, representada na etapa II, 
seja totalmente convertida em energia potencial elástica, 
representada na etapa IV.
 e) a energia potencial gravitacional, representada na etapa I, 
seja totalmente convertida em energia potencial elástica, 
representada na etapa III.
S
E
LM
A
 C
A
PA
R
R
O
Z
 2. Considere o solo como referência para as energias poten-
ciais gravitacionais e para as energias cinéticas dos corpos 
A, B, C e D, de massas iguais, mostrados na figura a seguir. 
Coloque em ordem crescente:
 a) as energias potenciais gravitacionais; 
 b) as energias cinéticas. 
A
B
C
D
vC = 0
vD = 2v
vB = vvA = v
 3. (Enem) Os carrinhos de brinquedo podem ser de vários 
tipos. Dentre eles, há os movidos a corda, em que uma 
mola em seu interior é comprimida quando a criança puxa 
o carrinho para trás. Ao ser solto, o carrinho entra em mo-
vimento enquanto a mola volta à sua forma inicial.
O processo de conversão de energia que ocorre no carrinho 
descrito também é verificado em:
 a) um dínamo. 
 b) um freio de automóvel. 
 c) um motor a combustão. 
 d) uma usina hidrelétrica. 
 e) uma atiradeira (estilingue).
 4. Dois corpos, 1 e 2, têm energias cinéticas iguais, isto é, 
Ec(1) 5 Ec(2). Sendo conhecidas suas massas m1 e m2, a razão 
v
v
2
1 entre suas respectivas velocidades escalares é tal que:
 a) 5v
v
m
m
2
1
2
1
 b) 5v
v
m
m
2
1
2
1
 c) 5v
v
m
m
2
1
1
2
 d) 5v
v
m
m
2
1
1
2
 e) 1
 5. As massas e as velocidades escalares de dois corpos, 1 e 2, 
estão na seguinte proporção: 5m
m
v
v
2
1
1
2 5 k. Portanto, a razão 
E
E
c( )
c( )
2
1
 entre suas energias cinéticas é igual a:
 a) k3
 b) 
k
1
3
 c) k2
 d) k
 e) 
k
1
LU
IZ
 R
U
B
IO
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Física – Nicolau Torres Penteado154
Exercícios de revisão
Ep
grav.(A)
 , Ep
grav.(B)
 5 Ep
grav.(D)
 , Ep
grav.(C)
Ec(C) , Ec(A) 5 Ec(B) , Ec(D)
x
x
x
x
 6. (UFPB) Três corpos idênticos, 1, 2 e 3, são abandonados de 
uma altura h, com velocidade inicial nula, e chegam ao 
solo com velocidades v1, v2 e v3, respectivamente. O corpo 
1 sofre uma queda livre, enquanto os corpos 2 e 3 deslizam 
sobre superfícies planas, inclinadas e sem atrito, conforme 
a figura a seguir.
h
v1 v2 v3
1 2 3
Considerando a situação descrita, é correto afirmar:
 a) v1 . v2 . v3
 b) v1 . v2 5 v3
 c) v1 5 v2 5 v3
 d) v1 5 v2 . v3
 e) v1 , v2 , v3
 7. (Vunesp) Um bloco de massa m desliza sem atrito sobre a 
superfície indicada na figura.
m h
v
Se g é a aceleração da gravidade, a velocidade mínima v 
que o bloco deve terpara alcançar a altura h é:
 a) gh2
 b) gh2
 c) 
gh
2
 d) 
gh
2
 e) gh2 2
 8. (Puccamp-SP) Na borda de uma tigela hemisférica de raio 
R é abandonado um pequeno bloco de gelo.
Desprezando o atrito e considerando g a aceleração local da 
gravidade, a velocidade máxima do pedaço de gelo é:
 a) gR2
 b) gR
 c) gR2
 d) 2gR
 e) 4gR
x
x
S
E
LM
A
 C
A
PA
R
R
O
Z
x
 9. (Fuvest-SP) No salto com vara, um atleta corre segurando 
uma vara e, com perícia e treino, consegue projetar seu cor-
po por cima de uma barra.
3,2 m
Centro de massa
do atleta
Altura máxima do
centro de massa
0,8 m
Para uma estimativa da altura alcançada nesses saltos, é 
possível considerar que a vara sirva apenas para conver-
ter o movimento horizontal do atleta (corrida) em mo-
vimento vertical, sem perdas ou acréscimos de energia. 
Na análise de um desses saltos, foi obtida a sequência de 
imagens reproduzida anteriormente. (Adote g 5 10 m/s2 
e desconsidere os efeitos do trabalho muscular após o 
início do salto.)
Nesse caso, é possível estimar que a velocidade máxima 
atingida pelo atleta, antes do salto, foi de, aproximada-
mente:
 a) 4 m /s
 b) 6 m /s
 c) 7 m /s
 d) 8 m /s
 e) 9 m /s
 10. (ITA-SP) A figura a seguir ilustra um carrinho de massa m 
percorrendo um trecho de uma montanha-russa.
A
R
h
m
Desprezando-se todos os atritos que agem sobre ele e su-
pondo que o carrinho seja abandonado em A, o menor va-
lor de h para que o carrinho efetue a trajetória completa é:
 a) R
2
3
 b) R
2
5
 c) 2R
 d) R
2
5
 e) 3R
S
E
LM
A
 C
A
PA
R
R
O
Z
x
x
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Capítulo 12 Energia mecânica 155
 11. (UEL-PR) Impulsiona-se um carrinho, como indicado na 
figura a seguir, fazendo-o subir por um trilho circular de 
raio R, em um plano vertical.
v0
R
Desprezando os atritos e sendo g a aceleração da gravidade, 
a menor velocidade v0 com que se deve impulsionar o car-
rinho para que ele percorra totalmente o trilho circular é:
 a) gR
 b) gR2
 c) gR3
 d) gR4
 e) gR5
 12. Em um parque de diversões há um tobogã AB de altura H, 
relativamente ao solo plano e horizontal, que se liga pelo 
segmento BC a um loop vertical CD de raio R, como se vê na 
figura a seguir.
A
B C
D
2R
H
Por segurança, o tobogã foi projetado de modo que o carri-
nho que leva as pessoas passe pelo ponto D com uma ve-
locidade exatamente igual ao dobro da mínima necessária 
para completar o percurso circular, partindo do repouso 
em A. Assim, desconsiderando quaisquer perdas por 
atritos, para satisfazer a condição de segurança, a relação 
entre H e R e a intensidade da força F recebida do assento 
por uma pessoa de peso P, no ponto D, devem ser tais que:
 a) H 5 2,5R e F 5 0
 b) H 5 4R e F 5 3P
 c) H 5 3R e F 5 3P
 d) H 5 4R e F 5 4P
 e) H 5 2,5R e F 5 2P
 13. (UFPE) Um objeto de massa M 5 0,5 kg, apoiado sobre uma 
superfície horizontal sem atrito, está preso a uma mola 
cuja constante de força elástica é k 5 50 N/m.
M
k
x
x
O objeto é puxado por 10 cm e então solto, passando a os-
cilar em relação à posição de equilíbrio. Qual a velocidade 
máxima do objeto, em m/s?
 a) 0,5
 b) 1,0
 c) 2,0
 d) 5,0
 e) 7,0
 14. (Fatec-SP) Um objeto de massa 400 g desce, a partir 
do repouso no ponto A, por uma rampa em forma de 
um quadrante de circunferência de raio R 5 1,0 m. Na 
base B, choca-se com uma mola de constante elástica 
k 5 200 N/m.
A
R
R
B
Desprezando-se a ação de forças dissipativas em todo o 
movimento e adotando-se g = 10 m/s2, a máxima defor-
mação da mola é de:
 a) 40 cm
 b) 20 cm
 c) 10 cm
 d) 4,0 cm
 e) 2,0 cm
 15. Um bloco de massa m 5 500 g cai livremente, a partir do 
repouso, de uma altura h 5 1,0 m sobre uma plataforma 
horizontal de massa desprezível, suspensa por duas molas 
elásticas, alongando ambas 0,50 m. 
h k k
m
Considerando o módulo da aceleração da gravidade local 
g 5 10 m/s2 e que após a colisão o bloco se fixa à plata-
forma, determine:
 a) o valor da constante elástica k de cada mola, em N/m; 
 b) a intensidade da força que cada mola está exercendo so-
bre a plataforma, na posição de distensão máxima; 
 c) o módulo da aceleração do bloco, na posição de máxima 
distensão.
x
x
k 5 30 N/m
15 N
50 m/s2IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Física – Nicolau Torres Penteado156
Exercícios de revisão
Trabalho realizado em sistemas não conservativos: 
tfnc 5 DEmec.
Ficha-resumo 3
 16. (PUC-SP) O automóvel da figura tem massa de 1,2 ? 103 kg 
e, no ponto A, desenvolve uma velocidade de 10 m/s.
A
B
h
20 m
Estando com o motor desligado, descreve a trajetória 
mostrada, atingindo uma altura máxima h, chegando ao 
ponto B com velocidade nula. Considerando a aceleração 
da gravidade local como g 5 10 m/s2 e sabendo-se que, no 
trajeto AB, as forças não conservativas realizam um traba-
lho de módulo 1,56 ? 105 J, concluímos que a altura h é de:
 a) 12 m
 b) 14 m
 c) 16 m
 d) 18 m
 e) 20 m
 17. (Fuvest-SP) Um pequeno corpo de massa m é abandonado 
em A com velocidade nula e escorrega ao longo do plano 
inclinado, percorrendo a distância d 5 AB. Ao chegar a B, 
verifica-se que sua velocidade é igual a gh .
h
A
B
d
g
Pode-se então deduzir que o valor da força de atrito que 
agiu sobre o corpo, supondo-a constante, é:
 a) zero
 b) mgh
 c) 
mgh
2
 d) 
d
mgh
2
 e) 
d
mgh
4
 18. Retomando o exercício anterior, podemos afirmar que a 
energia mecânica dissipada no deslocamento do corpo foi:
 a) mgh
 b) m gh2
1
 c) mgh2
1
 d) mgh
 e) 2mgh 
x
x
x
 19. (Fuvest-SP) Um corpo de massa m é solto no ponto A de 
uma superfície e desliza, sem atrito, até atingir o ponto B. 
A partir deste ponto o corpo desloca-se numa superfície 
horizontal com atrito, até parar no ponto C, a 5 m de B.
m
B
h
C5 m
A
Sendo m medido em quilograma e h em metro, o valor da 
força de atrito F, suposta constante enquanto o corpo se 
movimenta, vale em newton: 
 a) F mh5 2
1
 b) F 5 mh
 c) F 5 2mh
 d) F 5 5mh
 e) F 5 10mh
(Dado: g 5 10 m/s2)
 20. Na figura abaixo, o carrinho de massa m 5 200 g está ape-
nas encostado na mola de constante elástica k 5 0,50 N/cm, 
comprimindo-a 20 cm. Ao ser liberado, o carrinho move-se 
ao longo da trajetória ABC e para no ponto C, que está a 
uma altura de 40 cm do solo plano e horizontal.
Ak
B
C
40 cm
Assim, podemos afirmar que a aceleração escalar inicial 
do carrinho, imediatamente após ser liberado, vale:
 a) 10 m/s2
 b) 20 m/s2
 c) 30 m/s2
 d) 40 m/s2
 e) 50 m/s2
 21. Para o sistema do exercício anterior, a energia mecânica 
dissipada no deslocamento do carrinho entre A e C foi 
igual a:
 a) 0,2 J
 b) 0,4 J
 c) 0,8 J
 d) 1,2 J
 e) 1,8 J
22. Uma bola cai livremente do repouso, de uma altura inicial 
H 5 20 m, e, cada vez que colide contra o solo plano e 
horizontal, alcança uma altura 20% menor que a altura de 
partida na queda anterior. Assim, após a segunda colisão 
da bola contra o solo, determine:
 a) a altura h2 atingida por ela; 
 b) a velocidade escalar v2 da bola imediatamente após 
essa colisão. 
Mais questões em Vereda Digital Aprova Enem, em 
Vereda Digital Suplemento de revisão, em AprovaMax 
(no site) e no livro digital.
x
x
x
h2 5 12,8 m
v2 5 16 m/s
IL
U
S
TR
A
Ç
Õ
E
S
: L
U
IZ
 R
U
B
IO
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
 p
ro
ib
id
a
. 
A
rt
.1
8
4
 d
o
 C
ó
d
ig
o
 P
e
n
a
l 
e
 L
e
i 
9
.6
1
0
 d
e
 1
9
 d
e
 f
e
v
e
re
ir
o
 d
e
 1
9
9
8
.
Capítulo 12 Energia mecânica 157
v2)
 /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
 /CannotEmbedFontPolicy /Warning
 /CompatibilityLevel 1.6
 /CompressObjects /Tags
 /CompressPages true
 /ConvertImagesToIndexed true
 /PassThroughJPEGImages true
 /CreateJobTicket false
 /DefaultRenderingIntent /Default
 /DetectBlends true
 /DetectCurves 0.0000
 /ColorConversionStrategy /sRGB
 /DoThumbnails false
 /EmbedAllFonts true
 /EmbedOpenType true
 /ParseICCProfilesInComments true
 /EmbedJobOptions true
 /DSCReportingLevel 0
 /EmitDSCWarnings false
 /EndPage -1
 /ImageMemory 1048576
 /LockDistillerParams false
 /MaxSubsetPct 100
 /Optimize true
 /OPM 1
 /ParseDSCComments true
 /ParseDSCCommentsForDocInfo true
 /PreserveCopyPage true
 /PreserveDICMYKValues true
 /PreserveEPSInfo true
 /PreserveFlatness true
 /PreserveHalftoneInfo false
 /PreserveOPIComments false
 /PreserveOverprintSettings true
 /StartPage 1
 /SubsetFonts true
 /TransferFunctionInfo /Apply
 /UCRandBGInfo /Preserve
 /UsePrologue false
 /ColorSettingsFile (None)
 /AlwaysEmbed [ true
 ]
 /NeverEmbed [ true
 ]
 /AntiAliasColorImages false
 /CropColorImages true
 /ColorImageMinResolution 150
 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK
 /DownsampleColorImages true
 /ColorImageDownsampleType /Bicubic
 /ColorImageResolution 100
 /ColorImageDepth -1
 /ColorImageMinDownsampleDepth 1
 /ColorImageDownsampleThreshold 1.00000
 /EncodeColorImages true
 /ColorImageFilter /DCTEncode
 /AutoFilterColorImages true
 /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
 /ColorACSImageDict >
 /ColorImageDict >
 /JPEG2000ColorACSImageDict >
 /JPEG2000ColorImageDict >
 /AntiAliasGrayImages false
 /CropGrayImages true
 /GrayImageMinResolution 150
 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK
 /DownsampleGrayImages true
 /GrayImageDownsampleType /Bicubic
 /GrayImageResolution 100
 /GrayImageDepth -1
 /GrayImageMinDownsampleDepth 2
 /GrayImageDownsampleThreshold 1.00000
 /EncodeGrayImages true
 /GrayImageFilter /DCTEncode
 /AutoFilterGrayImages true
 /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
 /GrayACSImageDict >
 /GrayImageDict >
 /JPEG2000GrayACSImageDict >
 /JPEG2000GrayImageDict >
 /AntiAliasMonoImages false
 /CropMonoImages true
 /MonoImageMinResolution 1200
 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK
 /DownsampleMonoImages true
 /MonoImageDownsampleType /Bicubic
 /MonoImageResolution 1200
 /MonoImageDepth -1
 /MonoImageDownsampleThreshold 1.00000
 /EncodeMonoImages true
 /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
 /MonoImageDict >
 /AllowPSXObjects false
 /CheckCompliance [
 /None
 ]
 /PDFX1aCheck false
 /PDFX3Check false
 /PDFXCompliantPDFOnly false
 /PDFXNoTrimBoxError true
 /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
 0.00000
 0.00000
 0.00000
 0.00000
 ]
 /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
 /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
 0.00000
 0.00000
 0.00000
 0.00000
 ]
 /PDFXOutputIntentProfile (None)
 /PDFXOutputConditionIdentifier ()
 /PDFXOutputCondition ()
 /PDFXRegistryName ()
 /PDFXTrapped /False
 /CreateJDFFile false
 /Description 
 /BGR 
 /CHS 
 /CHT 
 /CZE 
 /DAN 
 /DEU/ESP 
 /ETI 
 /FRA 
 /GRE 
 /HEB 
 /HRV 
 /HUN 
 /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 6.0 e versioni successive.)
 /JPN 
 /KOR 
 /LTH/LVI 
 /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 6.0 en hoger.)
 /NOR 
 /POL 
 /PTB 
 /RUM 
 /RUS 
 /SKY