lista 25

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Lista 25 - Integrais Duplas
1) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e inverta a ordem nas seguintes integrais:
1.1)
∫ 4
0
∫ y/2
0
f(x, y)dxdy
1.2)
∫ 1
0
∫ x2
x3
f(x, y)dydx
1.3)
∫ 1
0
∫ 3x
2x
f(x, y)dxdy
2) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o, inverta a ordem e calcule as seguintes
integrais:
2.1)
∫ 1
0
∫√1−y
1−y
sin(pix)
1−x dxdy
2.2)
∫ 1
0
∫ 1
y
yex
3
dxdy
2.3)
∫ 8
0
∫ 2
3
√
y
√
x4 + 1dxdy
3) Calcule
∫∫
R
f(x, y)dA, onde:
3.1) f(x, y) = xexy; R e´ a regia˜o {(x, y) ∈ R2/1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 1}
3.2) f(x, y) = x cosxy; R e´ a regia˜o {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ pi/2}
3.3) f(x, y) = xy√
1+x2+y2
; R e´ a regia˜o {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1}
4) Calcule as seguintes integrais, sabendo que R e´ a regia˜o delimitada pelas
curvas dadas:
4.1)
∫∫
R
(8− x− y)dxdy, R: {y = x2 e y = 4}.
4.2)
∫∫
R
(x+ y)dxdy, R: {y = x2 + 1, y = −x2 − 1, x = −1 e x = 1}.
5) Transforme as seguinte integrais para coordenadas polares e calcule-as:
5.1)
∫∫
R
( 1√
x2+y2
)dxdy, R: {1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
5.2)
∫∫
R
( 1√
x2+y2
)dxdy, R: {(x− a)2 + y2 ≤ a2}.
5.3)
∫∫
R
(1− x2 − y2)dxdy, R: {x ≥ 0, y ≥ 0, x = 0, y = x, x2 + y2 = 1}.
6) Calcule, usando integrais duplas, a a´rea da regia˜o R delimitada pelas
curvas abaixo.
6.1) y = x3, y = −x+ 2 e y = 0
6.2) y = ex−1, y = x e x = 0
6.3) x = y2 + 1 e x = −y + 3
6.4) x = y2, y = x+ 3, y = −2 e y = 3
7) Calcule, usando integrais duplas, o volume:
7.1) Do tetraedro limitado no 1o octante pelo plano z3 +
x
2 + y = 1.
7.2) Do so´lido limitado pela superf´ıcie f(x, y) = 4− x29 − y
2
16 , os planos x = 3,
y = 2 e os treˆs planos coordenados.
7.3) Do so´lido delimitado pelo parabolo´ide z = x2 + y2 − 1 e pelo plano
2x+ y = 2.
1
Usuário
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Usuário
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Usuário
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Usuário
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Usuário
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Usuário
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Usuário
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Respostas:
2
3.1) e3 − e− 2 3.2) 4pi 3.3) 3
√
3−4√2+1
3
4.1) 89615 4.2) 0
5.1) 2pi 5.2) 4a 5.3) pi16
6.1) 34 6.2)
e−2
2e 6.3)
9
2 6.4)
145
6
7.1) 1 7.2) 432 7.3)
pi
32
3