MATERIAL - CÁLCULO INTEGRAL III CORRIGIDO PELO AVA

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CORRIGIDA PELO AVA 100% DE ACERTO
1)As superfícies podem ser definidas como conjuntos de pontos (x,y,z) do espaço cartesiano que satisfazem a uma equação da forma f(x,y,z) = 0, sendo f uma função contínua. A partir dessas estruturas, podemos fazer diversos estudos, como por exemplo o do plano tangente.
Seja uma superfície S descrita pela equação z = 3x² + y².
Qual é a equação do plano tangente a essa superfície, passando pelo ponto P(0,-1,2)?
Alternativas:
· a)3x + 2y + z = 0
· b) y - z + 2 = 0
· c)-2y + z - 4 = 0Alternativa assinalada
· d)x - 2y - z + 4 = 0
· e)6x + 2y + 1 = 0
2)As integrais triplas são estudadas a partir de funções de três variáveis e de regiões definidas no espaço cartesiano. Para o cálculo desse tipo de integral, utilizamos as técnicas e resultados das integrais definidas em conjunto com integrais iteradas.
Considere a função de três variáveis definida por f(x,y,z) = 2x - y + 4z.
Qual é o resultado da integral tripla da função f(x,y,z) calculada sobre a região de integração R = [0,1]x[2,3]x[-1,1]?
Alternativas:
· a) -3
· b) -1Alternativa assinalada
· c)0
· d)4
· e)9
3)Para o cálculo de integrais triplas podemos empregar o sistema de coordenadas cartesianas tradicionais, mas também podemos optar pelo uso de coordenadas cilíndricas ou esféricas, de acordo com o formato da região de integração.
Considere um cilindro construído ao longo do eixo z, de equação x² + y² = 9. Limita-se esse cilindro inferiormente pelo plano xy e superiormente pelo plano 2x + 2y + 5z = 10.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que indica corretamente o volume da região limitada pelo cilindro e pelos planos apresentados:
Alternativas:
· a)2π
· b)18πAlternativa assinalada
· c)18/5
· d)π/108
· e)108π/5
4)Uma das aplicações para o cálculo de integrais múltiplas é o estudo de massa e centro de massa associados a regiões multidimensionais.
Nesse contexto, seja, no espaço cartesiano, a região S limitada superiormente pelo plano 2x + 3y + z - 6 = 0 e inferiormente pelo plano coordenado xy e dentro da região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
Se a densidade dessa região S é dada por ρ(x,y,z) = 3xy, qual é a massa dessa região S?
Alternativas:
· a) -4
· b)0
· c)1
· d)2
· e)6Alternativa assinalada
5)Uma das aplicações da integral tripla consiste no cálculo do volume de regiões tridimensionais. Para isso, é necessário construir corretamente a descrição para os limites de integração conforme a estrutura da região em estudo.
Diante desse tema, considere o sólido tridimensional limitado superiormente pela superfície z = 4 - x² - y², inferiormente pelo plano coordenado xy, e dentro do círculo de centro na origem e raio 2.
Qual é o volume ocupado pelo sólido descrito?
Alternativas:
· a)32/3
· b)16/3Alternativa assinalada
· c)4π
· d)8π
· e)4