aula 4_velocidades taxas de variacao derivada

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aula 4 : Retas tangentes , velocidades e taxas de variação gerais e
a Derivada da função
Unidade 3 .1 - Retas tangestes , velocidade e taxas de variação gerais - pp . 165 a 175 -
ANTON
Unidade 3 .2 - Função Derivada - pp . 178 a 186 - ANTON
Introdução
Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam, como a velocidade de um
foguete, a inflação de uma moeda, o número de bactérias em uma cultura, a intensidade do
tremor de um terremoto, a voltagem de um sinal elétrico, e assim por diante. Nesta unidade,
estudaremos o conceito de taxa de variação analisando a taxa de variação média e a taxa de
variação instantânea. O estudo de taxas de variação está fortemente relacionado com o
conceito geométrico de uma reta tangente a uma curva, portanto, teremos que analisar a
definição de reta tangente e os métodos para encontrar sua inclinação e equação. Tais
análises permitirão entender o conceito de derivada , que tem grande aplicação nas mais
variadas áreas do conhecimento.
Velocidade Média
Para recordar:
Se s�t� for a posição de um objeto em algum instante t, então
a velocidade média do objeto no intervalo a � t � b é
velocidade média� �s
�t
�
s�b� � s�a�
b � a
.
Problema 1
A função s�t� � �t2 � 100 representada na figura a seguir relaciona a altura h de um objeto em
queda livre em função do tempo t.
0 2 4 6 8 10
0
20
40
60
80
100
t (segundos)
h (metros)
a) Calcule a velocidade média no intervalo 1 � t � 4.
b) Calcule a velocidade média no intervalo 4 � t � 6.
Observemos o gráfico da função da altura do objeto em função do tempo. É possível
visualizar a velocidade média nesse gráfico?
Consideramos o intervalo 1 � t � 4 e a expressão velocidade média� �s
�t
�
s�4� � s�1�
4 � 1
.
Agora, observemos que s�4� � s�1� é a variação da altura durante o intervalo de tempo e pode
ser marcada sobre o eixo vertical, enquanto que o denominador é a duração do intervalo e
pode ser marcado sobre o eixo horizontal. Então, velocidade média� �s
�t
� Inclinação da reta.
1
A velocidade média sobre qualquer intervalo de tempo a � t � b
é a inclinação da reta (secante) que liga os pontos que correspondem
a t � a a t � b no gráfico de s�t�.
A velocidade média é um conceito útil porque nos dá uma ideia aproximada do movimento
do objeto. Mas a velocidade média em um intervalo de tempo não é suficiente para que
saibamos a velocidade do objeto exatamente no instante t � 4 segundos, por exemplo. A fim
de obtermos tal informação, precisamos analisar mais detalhadamente o que ocorre perto de
t � 4.
Para a função do Problema 1 , calcule a velocidade média nos intervalos a seguir, e descreva
o que está acontecendo:
a) t � 3, 9 a t � 4 segundos;
b) t � 3, 99 a t � 4 segundos;
c) t � 3, 999 a t � 4 segundos;
d) t � 4 a t � 4, 1 segundos;
e) t � 4 a t � 4, 01 segundos;
f) t � 4 a t � 4, 001 segundos.
Ao calcularmos valores com maior número de casas decimais, as velocidades médias
antes e depois de t � 4 podem não ser mais iguais. A fim de calcular a velocidade em t � 4
com maior número de casas decimais, consideramos intervalos cada vez menores em ambos
os lados de t � 4, dessa forma podemos estimar a velocidade em t � 4 com alguma exatidão.
Ao considerarmos intervalos de tempo cada vez menores, verificamos que as velocidades
médias tornam-se cada vez mais próximas de ______________. Parece natural, então,
definir velocidade instantânea como um limite.
Velocidade Instantânea
Observemos como contornamos o problema de calcular a velocidade em um determinado
ponto a partir de um argumento para nos convencer de que as velocidades médias se
aproximam de um limite à medida que se reduz o tamanho dos intervalos de tempo.
Para definir velocidade instantânea em um ponto arbitrário t � a, usamos o mesmo
método que para t � 4. Para pequenos intervalos de tamanho h em torno de t � a calculamos
velocidade média�
s�a � h� � s�a�
h
.
A velocidade instantânea é o número do qual as velocidades médias se aproximam
quanto o tamanho dos intervalos diminui, isto é, quando h torna-se menor, torna-se cada vez
mais próximo de zero. Assim, definimos:
Considere s�t� a posição em um instante t. Então, a velocidade instantânea
em t � a é definida por
em t�a
velocidade instantânea�
h�0
lim
s�a � h� � s�a�
h
Em palavras, a velocidade instantânea de um objeto no instante t � a é dada
pelo limite da velocidade média em um intervalo de tempo, quando se reduz
o tamanho do intervalo em torno de a.
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Problema 2
Um objeto move-se ao longo de uma linha reta de acordo com a equação s � 3t2 � 1, com s
medido em metros, e t em segundos.
a) Determine a velocidade média do objeto a partir do instante t � 2s para um intervalo de
tempo "qualquer” �t, t � �t�.
b) Determine a velocidade instantânea do objeto no instante t � 2s.
Para visualizar a velocidade instantânea, lembremos de que forma ela foi calculada.
Obtivemos velocidades médias em pequenos intervalos contendo t � a. À medida que se
reduz a duração do intervalo, a inclinação da reta fica cada vez mais próxima da inclinação da
curva em t � a.
A velocidade instantânea num tempo qualquer t � a
é a inclinação da reta (tangente ) à curva s�t� no ponto t � a.
Problema 3
O gráfico de f�t� na figura a seguir apresenta a posição de uma partícula no instante t. Ordene
as seguintes quantidades da menor para a maior:
a. A, velocidade média entre t � 1 e t � 3,
b. B, velocidade média entre t � 5 e t � 6,
c. C, velocidade instantânea em t � 1,
d. D, velocidade instantânea em t � 3,
e. E, velocidade instantânea em t � 5,
f. F, velocidade instantânea em t � 6.
Taxa Média de Variação
Ao resolvermos o Problema 1, em que calculamos a velocidade média do objeto em
queda livre, usamos a razão velocidade média� �s
�t
�
s�b� � s�a�
b � a
�
s�a � h� � s�a�
h
. Note que
esta é a razão entre a variação da altura e a variação do tempo.
Essa mesma razão que consideramos entre a variação da altura e a variação do tempo
pode ser considerada para qualquer outras duas variáveis que se relacionam, ou seja, pode
valer para qualquer função f�x� :
Dada uma função arbitrária y � f�x�, calculamos a taxa média de variação de y em relação a x
no intervalo de a até a � h é:
Taxa média de variação de f sobre
o intervalo de a até a� h
�
f�a � h� � f�a�
h
.
3
Observe que, geometricamente , esta taxa de variação de f no intervalo �a,a � h�
corresponde à inclinação ou coeficiente angular da reta secante que passa por dois
pontos quaisquer P�a, f�a�� e Q�a � h, f�a � h��.
Uma reta secante ao gráfico de y � f�x�.
Seu coeficiente angular é
f�a � h� � f�a�
h
, a taxa de variação média de f no intervalo �a,a � h�.
Problema 4
Considere a função f�x� � x2.
a) Determine a expressão do coeficiente angular da reta secante à curva da f pelos pontos
�1, 1� e �2, 4�.
b) Construa o gráfico da curva e da reta secante no mesmo sistema de eixos.
c) Determine a expressão do coeficiente angular da reta secante à curva da f pelos pontos
�1, 1� e 1 � �x, f�1 � �x� .
Taxa Instantânea de Variação : a DERIVADA
Definimos a taxa instantânea de variação de uma função em um ponto da mesma forma
que definimos a velocidade instantânea: analisamos a taxa média de variação sobre
intervalos cada vez menores.
A taxa instantânea de variação é denominada derivada de f em a e é representada por
f ��a�.
Dada uma função arbitrária y � f�x�, a derivada de f em a,escrita como f ��a�,
é definida por
Taxa de variação
de f em a
� f ��a� �
h�0
lim
f�a � h� � f�a�
h
.
Se o limite existir, então f é dita diferenciável em a.
Geometricamente , quando h tende a zero, o coeficiente angular ou inclinação da reta
secante tende para o coeficiente angular ou inclinação da reta tangente , conforme
podemos verificar na figura a seguir.
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A figura acima ilustra o limite quando Q � P, mostrando que a inclinação da reta secante vai se
aproximando da inclinação da reta tangente à medida que o ponto Q aproxima-se do ponto P.
Seu coeficiente angular é
h�0
lim
f�a � h� � f�a�
h
, a derivada de f em a.
Problema 5
Considere a funçãof�x� � x2.
a) Determine o coeficiente angular da reta tangente à curva da f, no ponto �1, 1� .
b) Determine a equação da reta tangente à curva da f, no ponto �1, 1� .
c) Construa o gráfico da função f e da reta tangente determinada num mesmo sistema de
eixos.
Problema 4
Considere a função g definida por g�x� � x3.
a) Calcule o coeficiente angular da reta tangente à curva dada no ponto de abscissa 1.
b) Determine a equação desta reta.
c) Construa o gráfico da curva e da reta tangente no mesmo sistema de eixos.
Problema 5
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f�x� � x2 � 1 no ponto de abscissa
x � �1. A seguir, construa o gráfico da função e da reta tangente encontrada no mesmo
sistema de eixos coordenados.
Exercícios
Do livro indicado na Bibliografia Básica (ANTON, H.; BIVENS I.; DAVIS, S. Cálculo V. 1, 8.
ed.) resolva os Exercícios 3 .2 (pp. 187 a 189) de números: 1, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 29, 35, 37 e
39.
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