Lista

Prévia do material em texto

Séries Temporais
Lista de Exercícios 3
Aline Martins Soares
2024-09-05
Questões
3.1) O que é um modelo de decomposição?
Um modelo de decomposição é um modelo que descreve uma série temporal como a soma de componentes. Esses componentes podem ser tendências, sazonalidades, ciclos e ruídos. A decomposição é uma técnica muito útil para entender a estrutura de uma série temporal e para fazer previsões.
3.2) Como a tendência se manifesta nos dados e quais são as possíveis formas de tendência que uma série temporal pode apresentar?
A tendência de uma série temporal mostra a direção geral dos dados. A tendência pode ser crescente, decrescente ou constante. A tendência pode ser linear ou não-linear. A tendência pode ser determinística ou estocástica.
3.3) Considerando os métodos de remoção de tendência:
a)Descreva o método da regressão para remover a tendência de uma série temporal. Quais tipos de modelos podem ser utilizados?
O método da regressão consiste em ajustar um modelo de regressão linear ou não-linear aos dados e subtrair a tendência do modelo ajustado dos dados originais. O modelo de regressão pode ser paramétrico ou não-paramétrico.
Fórmula: 
b)Explique como o método de diferenciação é utilizado para remover a tendência. Quais são as diferenças entre a primeira e a segunda diferença?
O método de diferenciação consiste em subtrair o valor atual do valor anterior da série temporal. A primeira diferença remove a tendência linear e a segunda diferença remove a tendência quadrática. A primeira diferença é útil para remover tendências lineares e a segunda diferença é útil para remover tendências quadráticas.
Fórmula: 
c)O que são médias móveis e como esse método pode ser utilizado para remover a tendência de uma série temporal?
As médias móveis são uma técnica para suavizar uma série temporal. A média móvel é calculada como a média dos valores de uma janela de tempo. A média móvel pode ser usada para remover a tendência de uma série temporal, suavizando os dados e removendo a variação de curto prazo.
Fórmula: 
3.4) Como a sazonalidade se manifesta nos dados e quais são as possívels formas de sazonalidade que uma série temporal pode apresentar?
A sazonalidade de uma série temporal mostra padrões recorrentes em intervalos regulares de tempo. A sazonalidade pode ser aditiva ou multiplicativa. A sazonalidade pode ser diária, semanal, mensal, trimestral, anual ou de outro período.
3.5) Considerando os métodos de modelagem de sazonalidade:
a)Descreva como a decomposição de uma série temporal pode ser utilizada para isolar a componente sazonal.
A decomposição de uma série temporal quando é usada para isolar a componente sazonal, ela é feita separando-a das outras componentes, como a tendência e o ruído. A decomposição, dentre outros jeitos, pode ser feita usando métodos como a média móvel, a regressão ou a diferenciação.
b)Explique a diferença entre modelos de decomposição aditivos e multiplicativos em relação à sazonalidade.
Os modelos de decomposição aditivos assumem que a série temporal é a soma das componentes (tendência, sazonalidade, ciclo e ruído). Os modelos de decomposição multiplicativos assumem que a série temporal é o produto das componentes. A diferença entre os dois modelos é que os modelos aditivos são mais apropriados quando a amplitude da sazonalidade é constante ao longo do tempo, enquanto os modelos multiplicativos são mais apropriados quando a amplitude da sazonalidade varia ao longo do tempo.
c)O que é a suavização sazonal e como ela pode ser aplicada para lidar com a sazonalidade em séries temporais?
A suavização sazonal é feita ajustando um modelo de suavização exponencial aos dados e removendo a sazonalidade do modelo ajustado.
Fórmula: 
3.6) O que é um periodograma e como ele pode auxiliar na análise de sazonalidade?
O periodograma mostra a distribuição da energia espectral em diferentes frequências. O periodograma pode ser usado para identificar padrões sazonais em séries temporais e para fazer previsões baseadas nessas sazonalidades.
Fórmula: 
3.7) Quando uma série temporal apresenta tanto tendência quanto sazonalidade, é importante seguir uma ordem específica para análise e remoção desses componentes. Descreva os passos a serem seguidos para transformar uma série temporal em uma série estacionária. Explique por que essa ordem é importante para garantir uma análise e modelagem subsequente eficaz.
Os passos a serem seguidos para transformar uma série temporal em uma série estacionária são:
1. Remover a tendência: A tendência deve ser removida primeiro, pois ela pode mascarar a sazonalidade e o ruído.
1. Remover a sazonalidade: A sazonalidade deve ser removida em segundo lugar, pois ela pode mascarar o ruído.
1. Remover o ruído: O ruído deve ser removido por último, pois ele é a parte menos estruturada da série temporal.
Essa ordem é importante para garantir uma análise e modelagem eficaz, pois cada componente pode interferir nos outros. Se a tendência não for removida antes da sazonalidade, a sazonalidade pode ser confundida com a tendência. Da mesma forma, se a sazonalidade não for removida antes do ruído, o ruído pode ser confundido com a sazonalidade. Portanto, é importante seguir uma ordem específica para garantir que cada componente seja tratado corretamente.
3.8) Explique a diferença entre a Função de Autocorrelação (ACF) e a Função de Autocorrelação Parcial (PACF). Por que é importante calcular essas funções apenas após a remoção da tendência e da sazonalidade de uma série temporal?
A Função de Autocorrelação (ACF) mostra a correlação entre uma série temporal e suas versões atrasadas. A Função de Autocorrelação Parcial (PACF) mostra a correlação entre uma série temporal e suas versões atrasadas, controlando o efeito das observações intermediárias. É importante calcular essas funções apenas após a remoção da tendência e da sazonalidade de uma série temporal, pois a tendência e a sazonalidade podem distorcer as estimativas de autocorrelação e autocorrelação parcial.
3.9) Considere a série temporal dos preços do petróleo em dólares, de janeiro de 1986 a dezembro de 2005. Siga os passos abaixo para realizar a análise até obter as funções ACF e PACF da série sem tendência e sazonalidade:
Carregando pacotes e funções
require(tidyverse)
require(readxl)
require(forecast) #pacote para analise de series temporais
require(TSA) #pacote para analise de series temporais
require(trend) ##Teste de Tendencia
source("funcoes.R") ##Funcoes diversas para analise de series temporais
importando dataset
setwd("~/Séries temporais")
dados1=read_excel("petroleo.xls", sheet = 1)
attach(dados1)
names(dados1)
## [1] "tempo" "preco"
convertendo em série
#Converter em serie temporal
y1=ts(preco,start=1986,frequency=12)
y1
## Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
## 1986 22.93 15.45 12.61 12.84 15.38 13.43 11.58 15.10 14.87 14.90 15.22 16.11
## 1987 18.65 17.75 18.30 18.68 19.44 20.07 21.34 20.31 19.53 19.86 18.85 17.27
## 1988 17.13 16.80 16.20 17.86 17.42 16.53 15.50 15.52 14.54 13.77 14.14 16.38
## 1989 18.02 17.94 19.48 21.07 20.12 20.05 19.78 18.58 19.59 20.10 19.86 21.10
## 1990 22.86 22.11 20.39 18.43 18.20 16.70 18.45 27.31 33.51 36.04 32.33 27.28
## 1991 25.23 20.48 19.90 20.83 21.23 20.19 21.40 21.69 21.89 23.23 22.46 19.50
## 1992 18.79 19.01 18.92 20.23 20.98 22.38 21.77 21.34 21.88 21.68 20.34 19.41
## 1993 19.03 20.09 20.32 20.25 19.95 19.09 17.89 18.01 17.50 18.15 16.61 14.51
## 1994 15.03 14.78 14.68 16.42 17.89 19.06 19.65 18.38 17.45 17.72 18.07 17.16
## 1995 18.04 18.57 18.54 19.90 19.74 18.45 17.32 18.02 18.23 17.43 17.99 19.03
## 1996 18.85 19.09 21.33 23.50 21.16 20.42 21.30 21.90 23.97 24.88 23.70 25.23
## 1997 25.13 22.18 20.97 19.70 20.82 19.26 19.66 19.95 19.80 21.32 20.19 18.33
## 1998 16.72 16.06 15.12 15.35 14.91 13.72 14.17 13.47 15.03 14.46 13.00 11.35
## 1999 12.51 12.01 14.68 17.31 17.72 17.92 20.10 21.28 23.80 22.69 25.00 26.10
## 2000 27.26 29.37 29.84 25.72 28.79 31.82 29.70 31.26 33.88 33.11 34.42 28.44
## 2001 29.59 29.61 27.2427.49 28.63 27.60 26.42 27.37 26.20 22.17 19.64 19.39
## 2002 19.71 20.72 24.53 26.18 27.04 25.52 26.97 28.39 29.66 28.84 26.35 29.46
## 2003 32.95 35.83 33.51 28.17 28.11 30.66 30.75 31.57 28.31 30.34 31.11 32.13
## 2004 34.31 34.68 36.74 36.75 40.27 38.02 40.78 44.90 45.94 53.28 48.47 43.15
## 2005 46.84 48.15 54.19 52.98 49.83 56.35 58.99 64.98 65.59 62.26 58.32 59.41
A)Plote a série temporal original dos preços do petróleo e descreva visualmente se há presença de tendência, sazonalidade ou variação na estabilidade da variância (heterocedasticidade)
#Plotar serie temporal
plot(y1)
plot(y1,xlab="Tempo",ylab="Preço")
Podemos observar que a série tem uma clara tendência de alta, com topos e fundos ascendentes nos ultimos 5 anos da série.
B)Verifique a estabilidade da variância ao longo do tempo (homocedasticidade). Caso observe heterocedasticidade, aplique uma transformação adequada para estabilizar a variância.
#Estabilidade da Variância
lambda=BoxCox.ar(y1,method ="ols")
## Warning in arima0(x, order = c(i, 0L, 0L), include.mean = demean): possível
## problema na convergência: optim retornou código = 1
## Warning in arima0(x, order = c(i, 0L, 0L), include.mean = demean): possível
## problema na convergência: optim retornou código = 1
## Warning in arima0(x, order = c(i, 0L, 0L), include.mean = demean): possível
## problema na convergência: optim retornou código = 1
## Warning in arima0(x, order = c(i, 0L, 0L), include.mean = demean): possível
## problema na convergência: optim retornou código = 1
## Warning in arima0(x, order = c(i, 0L, 0L), include.mean = demean): possível
## problema na convergência: optim retornou código = 1
lambda$mle
## [1] 0
O 1 não está contido no intervalo portanto é uma série que apresenta heterocedasticidade.
Como não deu pra estabilizar a variância, vamos fazer a transformação de boxcox.
y2=BoxCox(y1,lambda$mle)
y2=as.ts(y2)
plot(y2)
C)Aplique um teste de tendência adequado para verificar a presença de tendência na série.Em seguida, remova a tendência.
####Teste de tedencia na serie
cs.test(y2)
## 
## Cox and Stuart Trend test
## 
## data: y2
## z = 8.4971, n = 240, p-value1202959 1166348 1483673
## 2010 1415731 1438625 1638073
## 2011 1538423 1577687 1713223
## 2012 1643592 1578211 1708160
## 2013 1746213 1570940 1543966
## 2014 1748656 1604625 1732404
## 2015
plot(y11,xlab="Tempo",ylab="Admissão")
plot(y1,xlab="Tempo",ylab="Demissão")
Visualmente, observa-se que a tendência na série de admissões, porém não aparenta ter sazonalidade. Já na série de demissões, nota-se a presença de tendência e sazonalidade.
b)Verifique a estabilidade da variância ao longo do tempo (homocedasticidade). Caso observe heterocedasticidade, aplique uma transformação adequada para estabilizar a variância.
lambda=BoxCox.ar(y1, method = "ols")
lambda$mle
## [1] 0.1
y2=BoxCox(y1,lambda$mle)
y2=as.ts(y2)
plot(y2)
lambda=BoxCox.ar(y11,method ="ols")
## Warning in arima0(x, order = c(i, 0L, 0L), include.mean = demean): possível
## problema na convergência: optim retornou código = 1
lambda$mle
## [1] 0.5
y22=BoxCox(y11,lambda$mle)
y22=as.ts(y22)
plot(y22)
c)Aplique um teste de tendência adequado para verificar a presença de tendência nas séries.Em seguida, remova a tendência utilizando o método de sua escolha.
cs.test(y2)
## 
## Cox and Stuart Trend test
## 
## data: y2
## z = 8.1258, n = 190, p-value = 4.445e-16
## alternative hypothesis: monotonic trend
y3=diff(y2)
cs.test(y3)
## 
## Cox and Stuart Trend test
## 
## data: y3
## z = 0.12599, n = 189, p-value = 0.8997
## alternative hypothesis: monotonic trend
plot(y3)
cs.test(y22)
## 
## Cox and Stuart Trend test
## 
## data: y22
## z = 8.1258, n = 190, p-value = 4.445e-16
## alternative hypothesis: monotonic trend
y33=diff(y22)
cs.test(y33)
## 
## Cox and Stuart Trend test
## 
## data: y33
## z = 0.12599, n = 189, p-value = 0.8997
## alternative hypothesis: monotonic trend
plot(y33)
d)Verifique se há presença de sazonalidade nas séries. Se identificada, remova-a utilizando um método apropriado.
P=periodograma(y3)
plot(P,type="l")
Fisher.test(P)
## g valor-p periodo
## 0.55056 1 2
P=periodograma(y33)
plot(P,type="l")
Fisher.test(P)
## g valor-p periodo
## 0.44809 0 3
y44=diff(y33,lag=3,diff=1)
P=periodograma(y44)
plot(P,type="l")
Fisher.test(P)
## g valor-p periodo
## 0.37905 0 4
e)Com as séries ajustadas (sem tendência, sazonalidade e com variância estabilizada), calcule e plote as funções de Autocorrelação (ACF) e Autocorrelação Parcial (PACF).
par(mfrow=c(1,2))
acf(y3)
pacf(y3)
par(mfrow=c(1,2))
acf(y44)
pacf(y44)
f)Interprete os gráficos de ACF e PACF obtidos. Comente sobre a estrutura da autocorrelação nas séries ajustadas e como essa informação pode ser utilizada para modelagem futura.
Conseguimos observar que existe auto correlação, tanto em relação aos gráficos da função de auto-correlação, quanto nos gráficos de auto-correlação parcial. Na auto-correlação da série de admissão, interpretamos da seguinte maneira: os dados atuais são explicados por dados de 12 meses atrás.
3.11)Considere o banco de dados de produção, que contém a série temporal da produção de veículos comerciais leves montados (quantidade), fornecida pela Associação Nacional dos Fabricantes de Veículos Automotores (ANFAVEA), conforme registrado no Anuário Estatístico da Indústria Automobilística Brasileira ou na Carta Mensal (Anfavea)
a)Plote as séries temporais originais e descreva visualmente se há presença de tendência, sazonalidade ou variação na estabilidade da variância (heterocedasticidade)
dados2=read_excel("producao.xls", sheet = 1)
attach(dados2)
## O seguinte objeto é mascarado por dados1 (pos = 3):
## 
## Data
names(dados2)
## [1] "Data" "producao"
y1 = ts(producao, start = c(1957, 1), frequency = 12)
y1
## Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
## 1957 1064 763 1066 897 1033 1007 1029 937 882 867 556 770
## 1958 2313 1877 2480 2175 2480 2420 2464 2365 2186 2187 1628 1905
## 1959 3586 2993 3905 3461 3926 3814 3897 3747 3469 3466 2655 3040
## 1960 4090 3494 4513 4032 4540 4412 4512 4330 4048 4047 3171 3546
## 1961 4650 3958 5140 4502 5106 4944 5083 4882 4679 4522 3490 3930
## 1962 5825 4647 6288 5514 6293 6219 6349 6093 5676 5664 4218 4862
## 1963 4481 3845 5091 4552 5145 4994 5240 4931 4603 4753 3672 4090
## 1964 4510 3910 5101 4544 5106 4861 5126 4736 4538 4495 3534 4042
## 1965 3844 3354 4330 3912 4287 4165 4340 3878 3869 3889 3131 3457
## 1966 5005 4131 5560 4640 5786 5639 5732 5517 5545 5438 3208 4534
## 1967 4209 3254 4828 4163 4750 5129 5223 5428 4402 5081 4138 3816
## 1968 3742 4795 5656 5606 6256 5717 7002 6194 5864 6321 5289 4542
## 1969 5091 5454 6377 5271 5902 5199 6038 5149 5455 4269 4225 4643
## 1970 4817 4787 5533 5807 5450 6009 6210 5093 5921 6121 5857 5123
## 1971 3933 4080 5764 5946 6345 7276 7240 7390 6452 6472 6198 6300
## 1972 5290 6331 7381 6708 8000 7587 7204 8428 7727 8849 8180 7515
## 1973 7215 8807 8848 8743 9582 8610 9097 9592 8598 10116 9524 8220
## 1974 7794 9350 10010 8953 9536 7470 10711 12786 11482 13763 11494 7347
## 1975 8190 8208 10132 10298 10797 10002 11013 10100 9449 11738 11053 9548
## 1976 9600 9494 9623 8708 10088 10155 10302 11426 10612 10958 10439 8516
## 1977 6887 7392 8069 3672 6016 5624 5220 6559 6843 6011 5614 5140
## 1978 4785 5870 7197 6331 7656 8079 8241 8851 8623 9373 7689 8992
## 1979 10215 8038 5871 9162 9877 8954 6940 10868 8712 10271 10332 8816
## 1980 9809 9175 9269 3929 8202 10602 7677 9441 11336 12021 10281 9956
## 1981 10522 9402 9478 6620 11142 8800 7716 6865 6419 7990 6643 6220
## 1982 6008 6174 9678 10243 10572 11568 10069 12750 11873 12299 13174 11729
## 1983 10833 7725 7617 6762 9901 8238 8291 9692 7800 8176 8356 9347
## 1984 9264 7819 8847 8651 11731 10765 11064 12616 11026 12815 11714 8630
## 1985 9233 8723 11527 5246 6380 9723 12619 11967 14041 14682 12426 9327
## 1986 10781 10932 12720 14527 12843 12809 11840 10993 13242 13186 10101 8993
## 1987 9562 10440 10787 11711 13655 14591 13511 11701 12353 12469 13276 12641
## 1988 10740 14097 15659 14672 16659 18177 14800 20375 17890 16481 17940 16582
## 1989 16798 15616 14868 12020 12989 19016 17292 21052 20608 17376 15746 19153
## 1990 17285 14174 11644 6987 14338 9669 10417 21687 17136 19688 19848 16843
## 1991 13539 11739 13991 10152 14396 16891 17829 16816 14668 18275 16245 13708
## 1992 11108 14345 13335 14168 15401 16680 17684 14286 16748 18294 19173 13006
## 1993 12583 14311 18629 14581 17015 16996 17068 21404 16948 16928 18515 15168
## 1994 15697 16690 21637 16669 19940 18328 18910 21116 16127 18319 19658 16027
## 1995 11659 18385 20307 18141 22608 25944 17427 20535 17069 18311 16465 15178
## 1996 14770 20856 22715 22621 22722 21311 26366 25567 22228 21644 20737 18667
## 1997 17425 21811 24493 26239 25785 25435 22097 26632 28683 29424 19495 13231
## 1998 16430 17219 24235 22239 25734 22436 20877 20923 20787 13959 13475 8442
## 1999 10782 11647 17302 13489 13797 16138 15554 16956 14695 15126 14862 9561
## 2000 11047 17226 17250 19718 22170 23082 19493 22145 21130 20989 18153 16086
## 2001 12597 16168 23046 19938 22234 18022 15600 14849 14333 14535 14479 13607
## 2002 12812 13068 15407 16451 15556 14540 14367 12926 15431 14979 14705 12731
## 2003 12138 14908 14625 15913 18667 16545 17660 16823 19398 22126 21601 17802
## 2004 19607 21337 24590 22573 24400 24549 25423 27277 29095 29836 30730 29142
## 2005 23655 24557 28446 28098 29453 32091 31524 31659 30353 27866 30892 27314
## 2006 26854 27474 31363 27172 33631 29962 31845 30537 29152 30872 28488 28711
## 2007 23939 23447 32951 29994 29658 31209 34777 37161 34175 39598 37868 31526
## 2008 34379 31638 38006 37215 36939 40608 43283 41296 43961 43106 31850 15861
## 2009 27917 29006 33997 30754 35548 38400 35955 39521 36039 45721 42892 40795
## 2010 37820 37275 5119247115 48007 48076 45899 52234 45952 48166 55830 48912
## 2011 35985 51906 53964 51820 57299 52005 52791 56853 51106 47290 52237 44525
## 2012 37244 36902 46642 47187 47888 44595 47095 52075 48871 48145 48787 46218
## 2013 43855 38855 52187 68451 58570 56721 50283 64764 65196 63195 60558 50015
## 2014 45818 49427 49608 56224 62629 45356 57827 55787 67315 60836 56605 30979
## 2015 28513 29289
plot(y1,xlab="Tempo",ylab="Produção")
Visualmente, observa-se a presença de tendência e sazonalidade na série.
b)Verifique a estabilidade da variância ao longo do tempo (homocedasticidade). Caso observe heterocedasticidade, aplique uma transformação adequada para estabilizar a variância.
lambda=BoxCox.ar(y1, method = "ols")
lambda$mle
## [1] 0.1
y2=BoxCox(y1,lambda$mle)
y2=as.ts(y2)
plot(y2)
c)Aplique um teste de tendência adequado para verificar a presença de tendência nas séries. Em seguida, remova a tendência utilizando o método de sua escolha.
cs.test(y2)
## 
## Cox and Stuart Trend test
## 
## data: y2
## z = 15.297, n = 698, p-value