Concreto Protendido - Prof. Glauco[1]

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Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO PROTENDIDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Glauco José de Oliveira Rodrigues 
 
Rev. 0 (09/10/2008) 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 2 
Capítulo 1 
INTRODUÇÃO 
 
1.1 - Conceitos gerais 
 
 Concreto protendido pode ser definido como um concreto submetido a um estado 
permanente de tensões internas, introduzidas por uma armadura previamente tracionada, que se 
opõem, até limites desejados, às tensões provocadas por cargas externas. 
 A protensão pode ser introduzida, por exemplo, com o objetivo de eliminar as tensões de 
tração provocadas pelas cargas externas, evitando a fissuração. O concreto pode portanto ser tratado 
como um material elástico e linear desde que as tensões de compressão não atinjam valores 
elevados (< 0,5 fck ). Neste caso, a análise das tensões e deformações pode ser feita facilmente 
empregando conceitos básicos da resistência dos materiais. Seja, por exemplo, a viga abaixo, 
protendida com um cabo reto localizado a uma distância e (excentricidade) do eixo baricêntrico da 
seção transvesal. Sendo: 
 
 P = força de protensão 
 M = momento fletor causado pela carga q 
 I = momento de inércia da seção transversal de concreto 
 A = área da seção transversal de concreto 
 
as tensões resultantes que atuam a uma distância y do cg da seção serão dadas por 
 
I
My
I
Pey
A
P ±±−=σ 
 
onde M é o momento causado pela carga não balanceada q
.
 
 
e
cg c
cyP
P
+ + =
-P/A Pec/I -Mc/I - P/A + Pec/I - Mc/I
-P/A
-Pec/I Mc/I - P/A - Pec/I + Mc/I
q
 
 
Figura 1.1 – Tensões no estádio I numa viga protendida 
 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 3 
 
cgP P
q
b l
f
 
Figura 1.2 – Carga equivalente exercida por um cabo parabólico numa viga protendida 
 
 
 Deve-se ressaltar que os conceitos apresentados acima só são válidos para peças no estado 
não fissurado e sujeitas a tensões de compressão não muito elevadas onde a relação tensão-
deformação do concreto ainda pode ser considerada linear. 
 
1.2 - Classificação 
 
a) Concreto protendido com aderência inicial (Armadura de protensão pré-tracionada) 
 Aquele em que o estiramento da armadura de protensão é feito utilizando-se apoios 
independentes da peça, antes do lançamento do concreto, sendo a ligação da armadura de protensão 
com os referidos apoios desfeita após o endurecimento do concreto; a ancoragem realiza-se apenas 
por aderência. 
 
b) Concreto protendido com aderência posterior (Armadura de protensão pós-tracionada) 
 Aquele em que o estiramento da armadura de protensão é feito após o endurecimento do 
concreto, utilizando-se como apoios partes da própria peça, criando-se posteriormente aderência 
com o concreto de modo permanente. 
 
c) Concreto protendido sem aderência (Armadura de protensão pós-tracionada) 
 Aquele obtido como em (b), porém sem a aderência com o concreto criada após o 
estiramento. 
 
 
1.3 - Sistemas e equipamentos de protensão 
 
 A protensão é um esforço aplicado a uma peça de concreto com a finalidade de anular ou 
reduzir as tensões de tração, melhorando assim o comportamernto da mesma (Fig. 1.3). Entre 
vários processos de aplicação da protensão, o mais comum é por meio de cabos de aço, esticados e 
ancorados no concreto. 
 
 
P
 
 
Figura 1.3 - Exemplo de aplicação de uma força de protensão numa viga 
 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 4 
1.3.1 - Métodos de aplicação da protensão com cabos de aço 
 
a) Protensão mecânica 
 A protensão mecânica é aplicada através de macacos hidráulicos. Ela pode ser feita com a 
armadura pré-tracionada ou pós-tracionada. 
 No caso da armadura pré-tracionada (Fig. 1.4), o cabo é esticado e ancorado em apoios 
provisórios (Leito de protensão). Em seguida, a viga é concretada e, após o endurecimento do 
concreto, o cabo é cortado. A transferência da força de protensão para a viga é feita através da 
aderência cabo/concreto. 
 No caso da armadura pós-tracionada (Fig.1.5), o cabo é esticado após o endurecimento do 
concreto, utilizando-se a própria viga como apoio definitivo para ancoragem do cabo. 
 A protensão mecânica tem se revelado como a mais viável técnica e economicamente. 
 
b) Protensão por meio de aquecimento da armadura 
 Neste método de protensão a barra de aço é envolvida por um material termoplástico 
(enxofre, ligas de baixo ponto de fusão) como ilustrado na Figura 1.6. A peça é concretada com a 
barra no seu interior. Após o endurecimento do concreto, a armadura é aquecida por meio de uma 
corrente elétrica. Com o aquecimento o material termoplástico funde permitindo assim o 
alongamento da armadura. A barra, ainda aquecida, é ancorada com porcas nas extremidades 
rosqueadas. Com o resfriamento, a protensão se desenvolve e a aderência é restaurada com a 
solidificação do material termoplástico. 
 
c) Método "Preflex" (Baes and Lipski, 1953) 
 Este método é empregado em vigas compostas de concreto e de um perfil estrutural de aço 
de alta resistência. O perfil de aço é carregado como indicado na Figura 1.7 e o flange tracionado é 
então revestido com concreto de alta resistência. Após o endurecimento do concreto, a carga é 
removida, a tração no flange de aço é aliviada e o concreto passa a ser comprimido. Em seguida, a 
viga é montada na estrutura e o restante dela é concretado. A viga de aço deve ser construída com 
contraflecha. 
 
 
 
PCabo
 
 
Figura 1.4 - Protensão com armadura pré-tracionada 
 
 
 
PCabo
 
 
Figura 1.5 - Protensão com armadura pós-tracionada 
 
 
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Rosca
Barra de aço
Material
termoplástico
 
 
Figura 1.6 - Protensão por meio de aquecimento da armadura 
 
 
 
Flange tracionado
Aço de alta
resistênciaConcreto
 
 
Figura 1.7 - Protensão pelo método "Preflex" 
 
1.3.2 - Sistemas de protensão com armadura pré-tracionada 
 
 Normalmente emprega-se um leito de protensão (Fig. 1.8) onde os cabos, retos ou 
poligonais, ssão esticados e ancorados em apoios provisórios. Os equipamentos empregados 
consistem de macacos hidráulicos e dispositivos para mudança de direção dos cabos (desviadores). 
A aplicação da força de protensão é feita esticando-se uma cordoalha ou fio de cada vez com 
macacos de pequena capacidade ou empurrando-se a ancoragem móvel (Fig. 1.9) com um conjunto 
de macacos. Esse sistema é ideal para fábricas de peças pré-moldadas protendidas. As ancoragens 
empregadas são reaproveitadas e são, geralmente, do tipo barrilete/cunha (Fig. 1.10). 
 
P
Leito de protensão Desviador
 
 
Figura 1.8 – Leito de protensão para armadura pré-tracionada 
 
 
Macaco
Ancoragem móvel
Cabo
 
 
Figura 1.9 – Protensão com ancoragem móvel 
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Barrilete
Cunha
Fio ou cordoalha
 
 
Figura 1.10 – Ancoragem com barrilete e cunha 
 
 
1.3.3 - Sistemas de protensão com armadura pós-tracionada 
 
 A protensão pode ser feita com cabos internos ou externos. No primeiro caso, os cabos são 
colocados no interior da peça, envolvidos por bainhas metálicas. Após a protensão, aplicada depois 
do endurecimento do concreto, a bainha é preenchida com nata de cimento. Os cabos externos são 
colocados externamente, normalmente envolvidos por bainhas de polietileno a fim de protegê-los 
contra a corrosão. 
 A Figura 1.13 mostra diversas opções para a distribuição dos cabos e ancoragens em peças 
com armadura pós-tracionada. 
 
Principais formas de ancoragens de fios e cordoalhas 
 a) Pela ação de cunha (Fig. 1.12) 
 b) Por pressão direta de placas aparafusadas ou rebitatadas (Figs. 1.13 e 1.14) 
 c) Por aderência ou por meio de alças, também chamadas de ancoragens passivas (Fig. 1.15) 
 
Bloco fixo Bloco móvel
Caboconcentrado com
ancoragens concentradas
Cabos isolados com
ancoragens isoladas
Cabos concentrados com
ancoragens isoladas
Cabos isolados com
ancoragens concentradas
 
 
 
Figura 1.11 - Categorias de cabos e ancoragens 
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Bloco de ancoragem
Cone
Cordoalha ou fio
 
Barra Dywidag
Placa de
ancoragem
Porca
 
 
Figura 1.12 - Ancoragem pela ação de cunha Figura 1.13 - Ancoragem com placas aparafusadas 
 
 
Placas de aço
Fios
 
 
Figura 1.14 - Ancoragem com placas rebitadas (Sistema PRESCON-BBRV) 
 
 
Fio
Fio ou cordoalha
Chapa de aço
 
 (a) (b) 
 
Figura 1.15 - Ancoragem morta (a) por aderência (b) por meio de alças 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 8 
1.4 – Fases da Protensão 
 
1.4.1 – Montagem das armaduras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Consiste na montagem das armaduras passivas e fixação das bainhas seguindo o traçado 
definido pelo projeto . As bainhas podem ser fixadas aos estribos, com ou sem as cordoalhas no seu 
interior, dependento do traçado e da extensão do cabo. 
 
1.4.2 – Montagem das formas e concretagem 
 
 
 
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1.4.3 – Protensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.4 – Criação da aderência (injeção da nata de cimento na bainha) 
 
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1.5 – Vantagens e desvantagens do uso do concreto protendido 
 
1.5.1 – Vantagens: 
 
� Eliminação da fissuração: O grande inconveniente do concreto armado, é que sua armadura 
somente começa a trabalhar quando a peça é solicitada, e com isto, pelo efeito da aderência, a 
deformação do concreto acompanha a do aço, acarretando tensões de tração não só no aço 
como no concreto, levando-o à fissuração. Com isto, o concreto armado perde duas de suas 
capacidades vitais: Proteção da armadura e seção colaborante para inércia, acarretando 
maiores tensões e deformações; 
� A prévia compressão do concreto protendido, combate futuras tensões de tração pois não 
permite (ou pouco permite) que a seção seja tracionada e sim, descomprimida. 
� Redução das dimensões da seção transversal: O emprego obrigatório de aços de alta 
resistência, associado a concretos de maior resistência, permite a redução das dimensões da 
seção transversal, com redução substancial do peso próprio. 
� Diminuição da flecha: A protensão praticamente elimina a presença de seções fissuradas. 
Tem-se, assim, redução da flecha por eliminar a queda da rigidez a flexão correspondente à 
seção fissurada. 
� Desenvolvimento de métodos construtivos: A protensão permite criar sistemas construtivos 
diversos: balanços sucessivos, premoldados, etc. 
 
1.5.2 – Desvantagens: 
 
� Corrosão do aço de protensão: Assim como os aços do concreto armado, as armaduras de 
protensão também sofrem com a corrosão eletrolítica. Além disso apresentam outro tipo de 
corrosão, denominada de “corrosão sob tensão” (stress-corrosion) fragilizando a seção da 
armadura, além de propiciar a ruptura frágil, motivo pelo qual a armadura protendida deve ser 
muito bem protegida; 
� Perdas da força de protensão: são todas as perdas verificadas nos esforços aplicados aos 
cabos de protensão; 
� Qualidade da injeção de nata nas bainhas e da capa engraxada nas cordoalhas engraxadas; 
� Forças altas nas ancoragens; 
� Controle de execução mais rigoroso, carecendo de mão de obra especializada; 
 
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Capítulo 2 
MATERIAIS 
 
 
2.1 – CONCRETO 
 
 Todas as propriedades do concreto, utilizadas nas estruturas de concreto armado, são 
replicadas nas estruturas de concreto protendido. Entretanto, duas delas têm significado especial ao 
serem computadas as perdas devidas à protensão, que serão detalhadas à diante. Trata-se de 
Retração e da Fluência do concreto, descritas à seguir: 
 
2.1.1 - Retração do concreto 
 
 A quantidade de água empregada na fabricação do concreto é sempre maior do que a 
quantidade necessária para as reações químicas com o cimento. A água em excesso é necessária 
para dar trabalhabilidade ao concreto fresco. Em contato com o ar, o concreto perde parte da água 
não fixada quimicamente durante sua secagem ocorrendo assim uma diminuição do seu volume. Se 
o concreto for imerso em água, ocorre o fenômeno inverso denominado expansão (Fig.2.1). A 
retração é, portanto, a deformação independente de carregamento provocada pela perda da água livre 
quando o concreto se encontra em contato com o ar. Parte da retração é irreversível. 
 
Fatores que influenciam a retração 
1. Idade do concreto: a retração aumenta com a idade. 
2. Umidade do meio ambiente: a retração aumenta com a diminuição da umidade. 
3. Espessura da peça: a retração aumenta com a diminuição da espessura da peça. 
4. Composição do concreto: a retração aumenta com o consumo de cimento e com o aumento do 
fator água/cimento. 
5. Temperatura do meio ambiente: a retração aumenta com a temperatura, 
 
 
 
8 164 12 20 (meses)
-0.4
-0.6
-0.2
R
et
ra
çã
o
0.2
0
-0.8
Ex
pa
n
s
ão
(% )ε o
Na água
 No ar 
 (umidade relat iva 70%, 18 C)
No arNa água
o
 
 
Figura 2.1 - Retração e expansão de um concreto com teor de cimento de 300 kg/m3 
 
 
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2.1.2 - Fluência 
 
 A fluência pode ser definida como o aumento de deformação quando o material se encontra 
sujeito a uma tensão constante. No concreto ela ocorre porque as camadas de água adsorvida se 
tornam mais finas entre as partículas de gel as quais transmitem as tensões. 
 A Figura 2.2 mostra a evolução das deformações ao longo do tempo quando o concreto se 
encontra sujeito a uma tensão constante σ1 aplicada no instante t1. As deformações εci1 e εci2 
são deformações instantâneas provocadas pela aplicação e retirada da tensão σ1 respectivamente. A 
deformação εcc representa a fluência do concreto e é composta de três parcelas. A deformação εcr 
representa a fluência recuperável e a deformação εcf corresponde à parcela irrecuperável da 
fluência. 
 
t t1 2
t t1 2
1
Tempo
Tempo
σ
ε
σ
ccε
ci1ε
ci2ε
crε
cfε
 
 
Figura 2.2 – Deformações no concreto ao longo do tempo 
 
 
2.1.3- Cálculo da fluência e retração do concreto 
 
 O cálculo analítico da fluência e retração do concreto pode ser feito de acordo com o método 
da NBR 6118:2003, Anexo A, e com o programa Reolog. O cálculo aproximado, pela utilização da 
tabela 8.1 da NBR 6118:2003. 
 
Umidade ambiente (%) 40 55 75 90 
Espessura fictícia 
u
Ac2
 (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60 
5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 
30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 
( )0, tt∞ϕ 
60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 
5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 
30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 
( ) 0000, ttcs ∞ε 
t0 
(dias) 
60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09 
 
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2.2 - AÇOS PARA PROTENSÃO 
 
2.2.1 – Fios encruados a frio por trefilação 
 
Classificação (NBR 7482) 
• Conforme a resistência à tração, classificam-se nas categorias CP150, CP160 e CP170 
• Conforme o comportamento à relaxação, classificam-se em relaxação normal (RN) e relaxação 
baixa (RB) 
São fabricados com diâmetros de 4, 5, 6, 7 e 8 mm (pela Belgo-Mineira) 
 
Designação: 
 
 
 
 
 
2.2.2 – Cordoalhas 
 
Cordoalha de sete fios 
Constituída de sete fios de mesmo diâmetro nominal, encordoados, numa forma helicoidal, em torno 
de um fio central 
 
Cordoalha de dois e três fios 
Constituída de dois ou três fios de mesmo diâmetro nominal, encordoados numa forma helicoidal 
 
Classificação (NBR 7482) 
• Cordoalha de sete fios: CP-175 RN ou RB; CP-190 RNou RB 
• Cordoalha de dois ou três fios: CP-180 RN 
 
2.2.3 – Propriedades mecânicas 
fpyk = valor característico da resistência de escoamento 
fpyd = valor de cálculo da resistência de escoamento 
fptk = valor característico da resistência à tração 
fptd = valor de cálculo da resistência à tração 
fpyd = fpyk / γs fptd = fptk / γs γs = 1,15 
fpyk é um valor convencional correspondente à deformação permanente de 0,2%, que é também 
considerado como a tensão correspondente a um alongamento total de 1%. 
 
Módulo de elasticidade: Ep = 210000 MPa para fios 
 Ep = 195000 MPa para cordoalhas 
CP-160 RN 5
Diâmetro
Relaxação normal
Limite de resistência = 1600 MPa
Concreto protendido
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Relação tensão-deformação 
 
ε p
ε uk
σp
fptk
fpyd
fpyk
pE
fptd
ε yd
 ε
uk = 50‰ 
 
Figura 2.3 – Relação tensão-deformação simplificada para os aços de protensão 
 
 
2.2.4 – Relaxação do aço (NBR 7197/89) 
 
O comportamento reológico dos aços de protensão é de suma importância para a análise e 
cálculo de peças de concreto protendido. A perda de tensão do aço sob deformação constante define 
a relaxação desse aço. 
A relaxação dos aços é determinada por meio de ensaios padronizados, medindo a perda de 
tensão em 1.000 horas numa temperatura ambiente de C020 , relativa a uma carga igual a 80% da 
carga de ruptura do aço. A NBR 7197/1989 prescreve a sistemática para a execução desses ensaios. 
Os aços de relaxação baixa são obtidos por meio de um tratamento termo-mecânico, e 
apresentam apenas 20% da relaxação dos aços RN. As cordoalhas e fios não apresentam 
comportamento diferenciado quanto à relaxação, pois a temperatura durante o processo de 
estabilização produz uma acomodação dos fios que compõem as cordoalhas. 
Os aços de RB (aços estabilizados por processo termo-mecânico) possuem melhor 
desempenho para condições normais de aplicação, o que também ocorre para condições 
excepcionais, como no caso de temperaturas mais elevadas. 
 A intensidade da relaxação do aço é determinada pelo coeficiente ( )0, ttψ , que depende do 
tipo de protensão, pré-tensão ou pós-tensão, e é influenciado pelas perdas imediatas de protensão, 
sendo definido por: 
pi
opr
o
tt
tt
σ
σ
ψ
),(),( ∆= 
 
onde ( )0, ttprσ∆ é a perda de tensão por relaxação pura (com comprimento constante) desde o 
instante 0t do estiramento da armadura até o instante t considerado, e piσ é a tensão na armadura 
no instante de seu estiramento. Para piσ variando entre ptkf5,0 e ptkf8,0 , pode-se adotar os valores 
dados na Tabela 2.1. 
 
 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 15 
Tabela 2.1 - Coeficientes de relaxação 1000ψ em percentagem. 
 
Cordoalhas Fios piσ 
RN RB RN RB 
Barras 
ptkf5,0 0 0 0 0 0 
ptkf6,0 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5 
ptkf7,0 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0 
ptkf8,0 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0 
 
Para tempos diferentes de 1.000 horas, com temperatura constante e igual a C020 , o 
coeficiente de relaxação pode ser obtido por meia da expressão (t e t0 em horas): 
150
0
1000 1000
,
o
tt)t,t( 




 −
=ψψ 
 
A NBR 6118/2002 admite que para 18740=
∞
t dias, tempo equivalente a um pouco mais de 
50 anos, que a relaxação atinja seu valor final, dado por: 
150
1000 1000
000450000450
,
.).( 





==
∞
ψψψ 
 
donde tem-se 10005,2 ψψ =∞ . 
 Como os valores e equações apresentados anteriormente apresentam embasamento teórico 
empírico, é comum, na prática, a utilização de valores estimados para perda de tensão pela relaxação 
do aço, conforme será visto no capítulo 4 à diante. 
 
2.2.5 – Cordoalhas para protensão 
 
 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIÂM
NOM. 
ÁREA 
APROX.
ÁREA 
MÍNIMA 
MASSA 
APROX.
CARGA 
MÍNIMA DE 
RUPTURA 
CARGA MÍNIMA A 
1% DE 
ALONGAMENTO 
ALONG. 
APÓS 
RUPT. 
CORDOALHAS 
(mm) (mm2) (mm2) (kg/km) (kN) (kgf) (kN) (kgf) (%) 
CORD CP 190 RB 3x3,0 
CORD CP 190 RB 3x3,5 
CORD CP 190 RB 3x4,0 
CORD CP 190 RB 3x4,5 
CORD CP 190 RB 3x5,0 
6,5 
7,6 
8,8 
9,6 
11,1 
21,8 
30,3 
39,6 
46,5 
66,5 
21,5 
30,0 
39,4 
46,2 
65,7 
171 
238 
312 
366 
520 
40,8 
57,0 
74,8 
87,7 
124,8 
4.080 
5.700 
7.480 
8.770 
12.480 
36,7 
51,3 
67,3 
78,9 
112,3 
3.670 
5.130 
6.730 
7.890 
11.230 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
CORD CP 190 RB 7 
CORD CP 190 RB 7 
CORD CP 190 RB 7 
CORD CP 190 RB 7 
CORD CP 190 RB 7 
CORD CP 190 RB 7 
6,4* 
7,9* 
9,5 
11,0 
12,7 
15,2 
26,5 
39,6 
55,5 
75,5 
101,4 
143,5 
26,2 
39,3 
54,8 
74,2 
98,7 
140,0 
210 
313 
441 
590 
792 
1.126 
49,7 
74,6 
104,3 
140,6 
187,3 
265,8 
4.970 
7.460 
10.430 
14.060 
18.730 
26.580 
44,7 
67,1 
93,9 
126,5 
168,6 
239,2 
4.470 
6.710 
9.390 
12.650 
16.860 
23.920 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
 
TENSÃO MÍNIMA 
DE RUPTURA 
TENSÃO MÍNIMA A 
1% DE 
ALONGAMENTO FIOS 
DI
ÂM
ET
RO
 
NO
M
IN
AL
 
(m
m
) 
ÁR
EA
 
AP
RO
X.
 
(m
m
2 ) 
ÁR
EA
 
M
ÍN
IM
A 
(m
m
2 
) 
M
AS
SA
 
AP
RO
X.
 
(kg
/k
m
) 
(MPa) ( kgf/mm2 ) (MPa) ( kgf/mm2 ) AL
O
NG
.
 
AP
ÓS
 
RU
PT
UR
A 
(%
) 
CP 145RBL 9,0 63,6 62,9 500 1.450 145 1.310 131 6,0 
CP 150RBL 8,0 50,3 49,6 394 1.500 150 1.350 135 6,0 
CP 170RBE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 
CP 170RBL 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 
CP 170RNE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.450 145 5,0 
CP 175RBE 
CP 175RBE 
CP 175RBE 
4,0 
5,0 
6,0 
12,6 
19,6 
28,3 
12,3 
19,2 
27,8 
99 
154 
222 
1.750 
1.750 
1.750 
175 
175 
175 
1.580 
1.580 
1.580 
158 
158 
158 
5,0 
5,0 
5,0 
CP 175RBL 
CP 175RBL 
5,0 
6,0 
19,6 
28,3 
19,2 
27,8 
154 
222 
1.750 
1.750 
175 
175 
1.580 
1.580 
158 
158 
5,0 
5,0 
CP 175RNE 
CP 175RNE 
CP 175RNE 
4,0 
5,0 
6,0 
12,6 
19,6 
28,3 
12,3 
19,2 
27,8 
99 
154 
222 
1.750 
1.750 
1.750 
175 
175 
175 
1.490 
1.490 
1.490 
149 
149 
149 
5,0 
5,0 
5,0 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 17 
Capítulo 3 
HIPÓTESES BÁSICAS DE DIMENSIONAMENTO 
 
3.1 – Introdução 
 
 A análise das tensões numa viga de concreto protendido é feita admitindo-se as seguintes 
hipóteses: 
1 - As seções planas permanecem planas 
2 - A relação tensão-deformação dos materiais é linear 
3 - As propriedades das seções são baseadas na seção bruta de concreto 
4 - As mudanças de tensões na armadura de protensão causadas por cargas 
 aplicadas são desprezíveis 
 
Convenção de sinais 
• Tensão: (+) tração; (−) compressão 
• Momento: (+) quando tracionar as fibras inferiores; (−) quando tracionar as fibras superiores 
• Distância até o centro de gravidade da seção: (+) abaixo da LN; (−) acima da LN 
• Força de protensão: (−) 
 
 
Flexão reta 
I
My
I
Pey
A
P)y( ++=σ 
 
Onde: 
A = a seção bruta de concreto 
I = momento de inércia da seção bruta 
P = força de protensão 
 
Flexão oblíqua 
y
y
x
x
y
y
x
x
I
xM
I
yM
I
yPe
I
xPe
A
P)y,x( ++++=σ 
onde: 
Mx e My são momentos causados por cargas aplicadas 
Ix é o momento de inércia em torno do eixo x 
Iy é o momento de inércia em torno do eixo y 
 
EXEMPLO 3.1 
 
Dada a viga abaixo, determinar as tensões na seção mais solicitada, nas seguintes situações: 
 
a) Considerando cabo reto centrado; 
b) Considerando cabo reto excêntrico; 
c) Estimando em 15% as perdas de protensão; 
 
 
cg
A p
ye
σ(y)
cg
A p
y
x
xM
My
xe
ey
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 18 
 
 
q = 36 kN/m – sobrecarga acidental 
fck = 30MPa 
( )fckMPaT %103max =σ – tensão máxima à tração permitida 
( )fckMPaC %5015max =σ – tensão máxima à compressão permitida 
b = 1.00m ; h = 1.20m; L = 20.0m 
 
Determinação das características geométricas da seção transversal: 
22,12,10,1 mA =×= (área) 
4
3
144,0
12
2,10,1
mI =×= (momento de inérica) 
324,0
2
2,1
144,0
mW == (módulo resistenteelástico) 
 
Determinação da carga devida ao peso próprio da viga: 
3/25 mkNc =γ 
mkNAg c /302,125 =×== γ 
 
Determinação do momento fletor máximo na seção mais solicitada: 
kNmM g 15008
0,2030 2
=
×
= 
kNmM q 18008
0,2036 2
=
×
= 
 
Cálculo das tensões normais máximas na seção mais solicitada: 
( )MPamkNg 25,6/625024,0
1500 2
==σ 
( )MPamkNq 5,7/750024,0
1800 2
==σ 
 
 Devido à simetria da seção (retangular), os valores de tensões são iguais (em módulo) em 
ambas os bordos (superior e inferior). 
Devido ao fato de se tratar de uma viga bi-apoiada com carregamento transversal vertical ditribuído 
para baixo, as tensões no bordo inferior são trativas (+) e no bordo superior, compressivas (-). 
 
b 
h 
q 
L 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 19 
 Combinação de tensões devidas à g e q na seção mais solicitada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O objetivo é protender a viga de modo à eliminar a tensão trativa no bordo inferior (limitada 
em 3MPa). 
 
a) 1ª hipótese: considerando cabo reto centrado: 
 
 
 
 
 
 
 
 Para que se anulem as tensões de tração no bordo inferior, é necessária uma tensão de 
protensão (compressiva) de mesmo valor, que levará a uma força de protensão P, calculada da 
seguinte forma: 
 
( )tkNmmkNPAP
A
P
P 1650165002,1/13750 22 =×=∴=∴= σσ 
Combinação de tensões devidas à g, q e P na seção mais solicitada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,20m 
+ = 
-6,25MPa 
6,25MPa 
-7,5MPa 
7,5MPa 
-13,75MPa 
13,75MPa 
(g) (q) (total) 
1,20m 
+ = 
-6,25MPa 
6,25MPa 
-13,75MPa 
-13,75MPa 
-20MPa 
-7,5MPa 
(g) (P) (parcial) 
1ª Fase 
1,20m 
+ = 
-20MPa 
-7,5MPa 
-7,5MPa 
7,5MPa 
-27,5MPa 
0 
(parcial) (q) (total) 
2ª Fase 
-13.75MPa 
P P 0.6m 
0.6m 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 20 
 Nota-se que há excesso de tensão de compressão no bordo superior (27,5MPa), pois o limite 
para tensões compressivas é ( )fckMPaC %5015max =σ , conforme dado no enunciado. Sugere-se 
então, baixar a posição do cabo, de modo a induzir uma excentricidade “e” em relação à posição do 
cg, na aplicação da força de protensão “P”, calculada anteriormente. 
 
b) 2ª hipótese: considerando cabo reto excêntrico: 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
M=momento que surge devido à excentricidade e; 
M=Pe 
 
 Conforme visto anteriormente, a tensão trativa no bordo inferior deve ser nula, portanto, 
considerando-se o somatório das tensões atuantes no bordo inferior, temos na seção mais solicitada: 
 
0=iσ 
ePqgi σσσσσ +++= 
0=++
∑
+ ePqg
i
σσσσ
σ
43421
 
0=++∑
i
i W
Pe
A
P
σ 
( ) ( )tkNMNPP
W
e
A
P
i
i 4724719719,4
24,0
5,0
20,1
1
5,725,6
1 =−−=∴
+
+
−=∴
+
−=
∑σ
 compressão 
 
 Observa-se que a força de protensão necessária, nesta hipótese (472t), é bem menor que a 
necessária na hipótese anterior (1650t), aproximadamente 29%. 
 
Combinação de tensões devidas à g, q e P na seção mais solicitada: 
 
( )
( )MPamkN
W
Ne
A
N
MPamkN
W
Ne
A
N
i
P
s
P
8,13/75,13763
24,0
5,04719
20,1
4719
9,5/75,5898
24,0
5,04719
20,1
4719
2
2
−−=
×
−−=−−=
=
×
+−=+−=
σ
σ
 
 
 As tensões devidas à g e q, serão mantidas conforme calculado anteriormente. À elas será 
adicionada a tensão devida à força de protensão que, por sua vez, é composta de duas parcelas de 
tensão normal. 
 A primeira parcela é devida à compressão axial exercida pela força de protensão na seção 
transversal. A segunda, devida ao momento fletor decorrente da excentricidade na aplicação desta 
força axial. Deste fato, decorre ser a protensão um problema de flexão composta. 
0.6m 
e=0.5m 
0.1m
m 
P P 
M 
P 
= 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 21 
 O cálculo das tensões é feito em duas etapas: Na primeira etapa, denominada transferência, 
atuam g e P. Em seguida, na segunda etapa, atua q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A tensão admissível a compressão ( )fckMPaC %5015max =σ , foi respeitada, uma vez que 
MPas 85,7−=σ
. 
 Da mesma forma, a tensão admissível à tração ( )fckMPaT %103max =σ , também foi 
respeitada, uma vez que não surgiram tensões trativas. 
 
c) 3ª hipótese: estimando em 15% as perdas de protensão: 
 
 Conforme será estudado mais detalhadamente à diante, uma parcela da força de protensão P, 
aplicada pelo macaco hidráulico no cabo de aço, se perde desde o ponto de aplicação da força de 
protensão (seção extrema), até a seção mais solicitada. Para efeito de consideração das perdas, 
vamos estimá-las, inicialmente em 15%, e reavaliar o comportamento da seção mais solicitada 
quando consideradas as perdas de protensão. 
 Desta forma, a força de protensão original reduzida em 15%, e as tensões devidas à ela na 
seção mais solicitada seriam: 
 
471985,0 ×=P 
kNP 4011= 
 
( )
( )MPamkN
W
Ne
A
N
MPamkN
W
Ne
A
N
i
P
s
P
7,11/75,11698
24,0
5,04011
20,1
4011
5/75,5013
24,0
5,04011
20,1
4011
2
2
−−=
×
−−=−−=
=
×
+−=+−=
σ
σ
 
1,20m 
+ = 
-6,25MPa 
6,25MPa 
5,9MPa 
-13,8MPa 
-0,35MPa 
-7,55MPa 
(g) (P) (parcial) 
1ª Fase 
1,20m 
+ = 
-0,35MPa 
-7,55MPa 
-7,5MPa 
7,5MPa 
-7,85MPa 
-0,05MPa 
(parcial) (q) (total) 
2ª Fase 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observamos que, mesmo estimando-se as perdas em 15% (valor adotado na prática, maior 
do que o que ocorrerá na realidade), os limites de tensão trativa ( )fckMPaT %103max =σ e 
compressiva ( )fckMPaC %5015max =σ , foram respeitados pelas tensões finais atuantes, 
respectivamente 2,05 MPa e 8,75MPa. 
 
 
EXEMPLO 3.2 
 
Dada a viga do exemplo anterior, determinar as tensões na seção à ¼ do vão bem como na seção do 
apoio, desprezando-se as perdas de protensão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,20m 
+ = 
-6,25MPa 
6,25MPa 
5MPa 
-11,7MPa 
-1,25MPa 
-5,45MPa 
(g) (P) (parcial) 
1ª Fase 
1,20m 
+ = 
-1,25MPa 
-5,45MPa 
-7,5MPa 
7,5MPa 
-8,75MPa 
2,05MPa 
(parcial) (q) (total) 
2ª Fase 
q=36kN/m 
b 
h 
20,0m 
5,0m 
S 
g=30kN/m 
R R 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 23 
a) Determinação das tensões na seção à ¼ do vão: 
 
Determinação das reações de apoio devidas à cada tipo de carregamento: 
qg RRR += 
kNRg 3602
0,2036
=
×
= 
kNRq 3002
0,2030
=
×
= 
 
Determinação do momento fletor máximo na seção mais solicitada: 
( ) kNmM Sg 13502
0,50,5360,5360 =×−×= 
( ) kNmM Sq 11252
0,50,5300,5300 =×−×= 
 
Cálculo das tensões normais máximas na seção à ¼ do vão: 
( )MPamkNSg 7,4/5,468724,0
1125 2
==σ 
( )MPamkNSq 6,5/562524,0
1350 2
==σ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sugestão: Repetir o exemplo 3.2, estimando em 8% as perdas de protensão na seção à ¼ do vão.
1,20m 
+ = 
-4,7MPa 
4,7MPa 
5,9MPa 
-13,8MPa 
1,2MPa 
-9,1MPa 
(g) (P) (parcial) 
1ª Fase 
1,20m 
+ = 
1,2MPa 
-9,1MPa 
-5,6MPa 
5,6MPa 
-4,4MPa 
-3,5MPa 
(parcial) (q) (total) 
2ª Fase 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 24 
b) Determinação das tensões na seção de apoio: 
 
 Nos apoios não há tensões devidas à g e q, pois os respectivos momentos fletores são nulos. 
Observa-se ainda que, por se tratar do ponto de aplicação direta da força de protensão pelo macaco, 
não são computadas perdas, exatamente como considerado aproximadamente na seção à ¼ do vão. 
 As tensões existentes nos apoios são devidas, exclusivamente à força de protensão sem as 
perdas, ou seja: 
 
( )
( )MPamkN
W
Ne
A
N
MPamkN
W
Ne
A
N
i
P
s
P
8,13/75,13763
24,0
5,04719
20,1
4719
9,5/75,5898
24,0
5,04719
20,1
4719
2
2
−−=
×
−−=−−=
=
×
+−=+−=
σ
σ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observa-se que as seções de apoio ultrapassam os limites admissíveis fixados para tração, 
pois, ( ) MPafckMPaT 5%103max <=σ . 
 Sugere-se então,subir o cabo nos apoios, de modo a reduzir a excentricidade “e”, principal 
causa da tensão de tração. 
 De forma sistemática, delimitado um número finito de seções, entende-se que o traçado ideal 
do cabo de protensão, é aquele que apresenta a máxima excentricidade no meio do vão, e mínima ou 
nula nos apoios. 
 A forma que melhor representa este princípio é a forma parabólica, conforme será mostrado 
no exemplo 4.3, à seguir. 
 Um resumo das tensões nas três seções analisadas (½ do vão, ¼ do vão e apoio), 
desprezando-se as perdas, é o seguinte: 
 
 
Seção Bordo )(MPaσ 
g+P 
)(MPaσ 
g+P+q 
s -0,35 -7,85 ½ do vão 
i -7,55 -0,05 
s 1,2 -4,4 ¼ do vão 
i -9,1 -3,5 
s 5,9 5,9 apoio 
i -13,8 -13,8 
 
 
1,20m 
5,9MPa 
-13,8MPa 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 25 
EXEMPLO 3.3 
 
Dada a viga abaixo, calcular as tensões no concreto na seção média: 
a) na transferência; 
b) quando atuar, além do peso próprio, uma carga adicional de 13,3 kN/m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Força de protensão: P = 1000 kN 
Peso específico do concreto: 25 kN/m3 
Área da seção transversal: A = 1150 cm2 
Momento de inércia I = 361250 cm4 
Distância do bordo superior ao cg: c1 = 22,4 cm 
Distância do bordo inferior ao cg: c2 = 27,6 cm 
 
Solução 
Tensões no concreto 
I
My
I
Pey
A
Py ++=)(σ 
a) Na transferência 
 
Momento fletor devido ao peso próprio 
g = γconc A = 25 × 0,115 = 2,875 kN/m 
Mg = g l2/8 = 2,875 × 122 / 8 = 51,75 kN.m 
• Tensão no bordo superior: 
 
 =
×
−×
+
×
−×−
+
×
×−
= 9
6
9
6
4
6
10623
224107551
10623
224176101
10511
101
,
))(,(
,
))()((
,
σ 
 
 = − 8,7 + 10,9 − 3,2 = −−−− 1,0 MPa 
 
• Tensão no bordo inferior: 
 
 =
×
×
+
×
×−
+
×
×−
= 9
6
9
6
4
6
10623
276107551
10623
276176101
10511
101
,
))(,(
,
))()((
,
σ 
 
 = − 8,7 − 13.4 + 3,2 = −−−− 18,9 MPa 
 
b) Tensões no concreto quando atuar a carga total 
 
g + q = 2,875 + 13,3 = 16,175 kN/m; M = 16,175 × 122 / 8 = 291,15 kN.m 
176 mm
12 m
PP
50 cm
10
30
10
35 cm
10
cg
c = 224 mm
c = 276 mm
1
2
Ap
-1 MPa
-18,2 MPa
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 26 
• Tensão no bordo superior 
 
=
×
−×
+
×
−×−
+
×
×−
= 9
6
9
6
4
6
10623
2241015291
10623
224176101
10511
101
,
))(,(
,
))()((
,
σ 
 
 = − 8,7 + 10,9 − 18,0 = −−−− 15,8 MPa 
 
• Tensão no bordo inferior: 
 
 =
×
×
+
×
×−
+
×
×−
= 9
6
9
6
4
6
10623
2761015291
10623
276176101
10511
101
,
))(,(
,
))()((
,
σ 
 
 = − 8,7 − 13.4 + 22,2 = 0,1 MPa 
 
 
 
0,1 MPa
-15,8 MPa
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 27 
Capítulo 4 
PROJETO DE UMA VIGA PROTENDIDA 
 
 
4.1 – Dados da Estrutura: 
 
Viga Bi-apoiada de 26,0m de vão livre, submetida à carregamento permanente g=8kN/m e carga 
acidental q=20kN/m. O concreto adotado possui fck=26MPa. 
 
Etapas iniciais de projeto: 
 
� Definir seção transversal; 
� Definr o número de cabos; 
� Defnir a armadura passiva. 
 
Algumas considerações são feitas levando-se a definição de questões de ordem prática, tais como: 
 
� A altura da viga deve ser, no máximo de 125cm; 
� A largura da mesa superior deve ser, no máximo de 110cm; 
� A espessura da alma deve ser de, no mínimo 15cm, devido à intenção de se utilizar cabos 
com 7Φ1/2”, de modo a haver espaço suficiente para a concretagem. 
 
4.2 – Pré Dimensionamento: 
 
 Conforme visto anteriormente, devido ao fato de a viga protendida possuir compressão tanto 
no bordo inferior quanto no superior, a geometria mais adequada para absorção destas tensões, é 
com mesa de compressão tanto no bordo superior, quanto no bordo inferior (porém, não tão grande 
quanto no bordo superior), com seção em “I”. 
 
4.2.1 – Módulo resistente elástico necessário 
 
Como critéro de Pré-dimensionamento, pode-se adotar a seguinte expressão: 
Perdasfck
MW neci
−
∆≥
3
2 , onde: 
Wi 
nec
 Módulo resistente elástico necessário da seção, na região abaixo da linha neutra; 
∆M Soma dos momentos devidos a sobrecargas. 
fck Resistência caracaterística a compressão do concreto a ser utilizado; 
Perdas Valor estimado para perdas de tensão de protensão (estimadas inicialmente em 2MPa). 
 
( ) ( )MNmkNmqLM 366,22366
8
0,26208
8
22
=
+
==∆ 
226
3
2
366,2
3
2
−
=
−
∆≥
Perdasfck
MW neci 
315,0 mW neci ≥ 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 28 
Neste exemplo, será adotda inicialmente, a seção “I” padrão, com as seguintes características: 
 
 
 
Esta seção deverá ter as todas as suas propriedades geométricas determinadas, à saber: 
 
4.2.2 – Determinação das propriedades geométricas da seção transversal: 
 
 
n yn (cm) An (cm2) ynAn (cm3) 
1 117.5 1650.0 193875.0 
2 108.3 237.5 25729.2 
3 65.0 1350.0 87750.0 
4 23.3 225.0 5250.0 
5 10.0 1200.0 12000.0 
 4662.50 324604.17 
 
cm
A
Ay
y
n
nn
i 7050,4662
17,324604
===
∑
∑
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 29 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 442323
2
3
2
3
2
3
10,022,9899332601200
12
206067,465,112
36
105,222
51350
12
901533,3875,118
36
55,4725,471650
12
15110
mcm
I
≅=





+
×
+





+
×
+
+





+
×
+





+
×
+





+
×
=
 
 
33 14,003,141419
70
22,9899332
mmWi ≅== 
33 18,086,179987
55
22,9899332
mmWs ≅== 
 
( )falhamWmW ineci 33 14,015,0 =>= Solução: Redimensionar a seção 
 
 ( )atendemWmW ineci 33 19,015,0 =<= 
Recalculando as propriedades geométricas 
como no caso da seção anterior, obtem-se: 
 
n yn (cm) An (cm2) ynAn (cm3) 
1 115.0 2200.0 253000.0 
2 103.3 237.5 24541.7 
3 67.5 1125.0 75937.5 
4 35.0 412.5 14437.5 
5 15.0 2100.0 31500.0 
 6075.00 399416.67 
 
A (m2) 0.61 
yi (m) 0.66 
ys (m) 0.59 
I (m4) 0.12 
Wi (m3) 0.19 
Ws (m3) 0.21 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 30 
4.3 – Análise Estrutural 
 
4.3.1 – Determinação dos momentos fletores máximos na seção mais solicitada: 
 
mkNApp conc /19,1561,025 =×== γ 
g = 8 kN/m 
q = 20kN/m 
 
kNmppLM pp 12838
0,2619,15
8
22
=
×
== 
kNmgLM g 6768
0,268
8
22
=
×
== 
kNmqLM q 16908
0,2620
8
22
=
×
== 
 
4.3.2 – Determinação das tensões máximas na seção mais solicitada: 
 
s
s
i
i
W
M
W
M
== σσ ; 
 
MPa
W
M
i
ppi
pp 89,619,0
283,1
===σ MPa
W
M
s
pps
pp 21,621,0
283,1
===σ 
MPa
W
M
i
gi
g 63,319,0
676,0
===σ MPa
W
M
s
gs
g 27,321,0
676,0
===σ 
MPa
W
M
i
qi
q 07,919,0
690,1
===σ MPa
W
M
s
qs
q 18,821,0
690,1
===σ 
 
4.3.3 – Determinação da força de protensão necessária: 
 
 Centro de Gravidade do cabeamento (r) = 10cm 
 
mrye i 56,010,066,0 =−=−= 
( )tkNMNPP
W
e
A
P
i
i 4224223223,4
19,0
56,0
61,0
1
59,19
1 =−−=∴
+
−=∴
+
−=
∑σ
 compressão 
 
 Será adotada cordoalha CP 190 RB 7 x 12,5 (Carga máxima de ruptura à 1% de 
alongamento = 149,10 kN) 
 
Nc = 0,82(149,10) = 120kN / cordoalha (onde 0,82 é o coef. de minoração da resistência da 
cordoalha) 
No de cordoalhas = 4223 / 120 = 35 cordoalhas 
Adotados 5 cabos com 7 cordoalhas CP 175 RB 7 x 12,5. 
 
 Tensões (MPa) 
 σi σs 
pp 6.89 6.21 
g 3.63 3.27 
q 9.07 8.18 
Σ 19.59 17.65 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 31 
4.3.4 – Verificação do valor de r e distribuição dos 5 cabos na seção mais solicitada: 
 
 
 
4.3.5 – Determinação dos momentos solicitantes e tensões máximas nos bordos extremos de 
cada seção: 
 
 Para que se possa fazer a análise de tensões, é necessário que se subdivida a viga em seções, 
de modo a se determinar o momento máximo devido a cada tipo de carregamento isolado, em 
cada seção. 
 Assim sendo, dividindo-se o vão da viga em 10 (dez) partes iguais, e tirando proveito da 
simetria da viga, temos a seguinte distribuição por seção: 
 
m
n
L 60,2
10
0,26
===l 
 
 
 
 Para a determinação do momento fletor devido a uma carga uniformemente distribuída q,em 
uma seção S, situada a uma distância x da extremidade, consideremos o seguinte: 
 
 
22
22
2qxqLxM
xqxxqLM
S
S
−=
−=
 
cmr 10
5
13283
=
×+×
= 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 32 
Para cada seção S
n
, a distância x equivalerá à: 
lnSx = 
( )( ) ( )( )
2
1
2
1 2ll −
−
−
=
nnS SqSqLM n 
Assim sendo, o momento na seção 4, devido a g (8kN/m), será: 
 
( )( ) ( )( ) kNmM Sg 5684,2432,8112
60,2148
2
60,2140,268 2
4
=−=
×−
−
×−×
= 
 
 Automatizando o processo, podemos determinar, para cada tipo de carregamento os 
momentos fletores em cada uma das seções, conforme mostrado na tabela à seguir: 
 
seção 1 2 3 4 5 6 
x(m) 0 2.6 5.2 7.8 10.4 13 
pp 0 462 821 1078 1232 1283 
g 0 243 433 568 649 676 
q 0 608 1082 1420 1622 1690 
 
Diagrama de Momentos Fletores
0
462
821
1078
1232 1283
0
243
433
568 649
676
0
608
1082
1420
1622 1690
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 2.6 5.2 7.8 10.4 13
L (m)
M
 
(kN
m
)
pp g q
 
 Como consequência, pode-se determinar as tensões nos bordos superior e inferior de cada 
seção, para cada solicitação. 
 Por exemplo, consideremos a determinação da tensão no bordo superior da seção 4 devido à 
g: 
MPa
W
M
s
S
gs
g 70,221,0
568,044,
===σ 
 
 Automatizando o processo, pode-se facilmente preencher a tabela à seguir, com o valor das 
tensões em ambas as extremidades, para cada seção, devido à todos os carregamentos atuantes 
possíveis: 
 
 1 2 3 4 5 6 
 σi σs σi σs σi σs σi σs σi σs σi σs 
pp 0.0 0.0 2.5 -2.2 4.4 -4.0 5.8 -5.2 6.6 -6.0 6.9 -6.2 
g 0.0 0.0 1.3 -1.2 2.3 -2.1 3.0 -2.7 3.5 -3.1 3.6 -3.3 
Q 0.0 0.0 3.3 -2.9 5.8 -5.2 7.6 -6.9 8.7 -7.8 9.1 -8.2 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 33 
 
4.3.6 – Vista lateral dos cabos e seções: 
 
 
 
 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 34 
 
4.4 – Consideração das perdas de protensão: 
 
Ao ser solicitada, a peça de concreto protendido encurta imediatamente. O aço de protensão irá 
acompanhar este encurtamento e perderá força ao longo do tempo. O valor inicial e o menor valor 
da força do cabo devem ser verificados. Conforme visto em exemplos anteriores, a consideração das 
perdas pode ser decisiva para que os limites admissíveis à tração e compressão respectivamente nos 
bordos inferior e superior. 
As perdas de protensão podem ser subdivididades em dois grupos: As perdas imediatas e as perdas 
lentas. 
 
Perdas de Protensão 
Imediatas Lentas 
Atrito Fluência 
Cravação Retração 
Deformação Imediata Relaxação 
 
 
4.4.1 – Perda por atrito: 
 
 É causada pelo atrito entre o cabo e a bainha ao ser aplicada a força de protensão. Este efeito 
é acentuado nas curvas devido à existência do desvio da trajetória dos cabos nas mesmas e, à 
constituição corrugada da bainha. 
 A perda por atrito é quantificada da seguinte forma: 
 
( )L
x e
βαµ
σσ
+− ∑
= 0 
 
Onde: 
xσ Valor da tensão em cada seção após a atuação da perda por atrito; 
0σ Tensão máxima aplicada pelo macaco à armadura de protensão ; 
µ Coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha; Devem ser acrescidos de 0,1, quando 
 cordoalhas dentro de uma mesma bainha forem protendidas individualmente; 
∑α Soma dos valores absolutos dos ângulos de desvios dos cabos, nas seções de cálculo, em 
 relação à seção S1 (onde é aplicada a força de protensão e onde se fixa a ancoragem); 
β Ondulação média por metro. Valor variável entre 0,015 e 0,006 rad/m); 
L Comprimento acumulado do cabo desde a extremidade da viga, até cada seção analisada, ou 
 seja lnL = , onde n é o número da seção e l é o comprimento de cada trecho, conforme já 
 definido anteriormente. 
 
 Para a quantificação da perda de tensão por atrito, é realizada uma simplificação na 
distribuição dos cabos pelas seções, na qual admite-se um cabo único representativo da família de 
cabos original, hogeneizando a seção transversal. 
 Este cabo único é traçado com a média das excentricidades dos cabos originais em cada 
seção. Assim sendo, no caso em estudo, pode-se representar a família de cabos pelo cabo único, 
conforme mostrado à seguir: 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 35 
 
 
 
Seção/Cabo c1 c2 c3 c4 c5 e Média 
1 20+25+25+20+14=104 25+25+20+14=84 25+20+14=59 20+14=34 14 59 
2 16+19+21+18+34=108 19+21+18+34=92 21+18+34=73 18+34=52 34 72 
3 13+17+15+14+56=115 17+15+14+56=102 15+14+56=85 14+56=70 56 86 
4 5+9+14+11+76=115 9+14+11+76=110 14+11+76=101 11+76=87 76 98 
5 3+8+8+98=117 3+8+8+98=117 8+8+98=114 8+98=106 98 110 
6 5+112=117 5+112=117 5+112=117 112 112 115 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 36 
� Ângulos de inclinação do cabo equivalente nas seções ( )nα : 
l
nn
n
ee
tg
−
=
+1α , onde e representa a excentricidade do cabo equivalente em uma dada seção S
n
. 
 
Por exemplo, vamos calcular o ângulo de inclinação do cabo equivalente em todas as seções: 
 
0
11
12
1 86,2tan050,0260
5972
260
==∴=
−
=
−
= ααα a
ee
tg 
0
22
23
2 08,3tan054,0260
7286
260
==∴=
−
=
−
= ααα a
ee
tg 
0
33
34
3 64,2tan046,0260
8698
260
==∴=
−
=
−
= ααα a
ee
tg 
0
44
45
4 64,2tan046,0260
98110
260
==∴=
−
=
−
= ααα a
ee
tg 
0
55
56
5 10,1tan019,0260
110115
260
==∴=
−
=
−
= ααα a
ee
tg 
06 =αtg (seção de simetria) 
 
 Desta forma, pode-se calcular os ângulos de inclinação do cabo equivalente em todas as 
seções, conforme mostrado na figura à seguir. Os valores dos ângulos mostrados são 
aproximados e foram obtidos em escala com aproximação de uma casa decimal pelo Autocad. 
Para valores analíticos exatos, proceder conforme descrito acima. 
 
 
 
� Ângulos médios em cada seção: 
 
Equivalem à média entre a inclinação do cabo na chegada e na saída de uma determinada seção: 
 
 
0
1 86,2=medα ; 
0
00
2 96,22
08,386,2
=
+
=medα ; 
0
00
3 86,22
64,208,3
=
+
=medα ; 
0
00
4 64,22
64,264,2
=
+
=medα ; 
0
00
5 87,12
10,164,2
=
+
=medα ; 
0
6 0=medα (seção de simetria). 
 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 37 
� ∑α em cada seção: mednmedn ααα −=∑ 1 
 
086,286,21 =−=∑α ( )rad002,010,096,286,2 02 −=−=∑α 
086,286,23 =−=∑α ( )rad004,022,064,286,2 04 =−=∑α 
( )rad017,099,087,186,2 05 =−=∑α ( )rad050,086,2086,2 06 =−=∑α 
 
 O coeficiente de atrito µ , pode assumir qualquer dos valores apresentados a seguir, 
dependendo das condiçõe de projeto: 
 
0,50 entre cabo e concreto (sem bainha); 
0,30 entre barras ou fios com mossas e saliências e bainha metálica; 
0,25 entre fios lisos paralelos ou trançados e bainha metálica; 
0,10 entre fios lisos paralelos ou trançados e bainha metálica lubrificada; 
 
 Neste exemplo serão adotados os valores 25,0=µ e 011,0=β rad/m, considerando-se 
ainda a tensão constante inicial de protensão pelo macaco (dado do fabricante do mesmo), 
MPa14750 =σ . 
 Vale lembrar que 1,175,00 ptkf<σ . 
 No exemplo em estudo, adotando-se cordoalha CP 190 RB 7 x 12,5, MPaf ptk 1900= , 
portanto, 1567,51,1190075,01,175,0 =××=ptkf , o que atende à condição apresentada. 
 Por exemplo, o valor da tensão de protensão após as perdas por atrito na seção 5, pode ser 
calculada da seguinte forma: 
 
( )L
x e
βαµ
σσ
+− ∑
= 0 
 
( ) MPaex 14751475 0011,0025,01 =×= ×+−σ 
( ) MPaex 14641475 6,2011,0002,025,02 =×= ×+−σ 
( ) MPaex 14541475 2,5011,0025,03 =×= ×+−σ 
( ) MPaex 14421475 8,7011,0004,025,04 =×= ×+−σ 
( ) MPaex 14271475 4,10011,0017,025,05 =×= ×+−σ 
( ) MPaex 14061475 13011,0050,025,06 =×= ×+−σ 
 
 Pode-se assim automatizar o processo de determinação das perdas por atrito em cada seção, 
cujos resultados são apresentados à seguir: 
 
Seção e méd. 
(cm) 
α (o) α méd. 
(o) 
L (m) Σα (o) µ(Σα+Βl) 
rad 
σx (MPa) 
1 59 2.86 2.86 0.0 0.00 0.000 1475 
2 72 3.08 2.97 2.6 0.11 0.007 1464 
3 86 2.64 2.86 5.2 0.00 0.014 1455 
4 98 2.64 2.64 7.8 0.22 0.021 1444 
5 110 1.10 1.87 10.4 0.99 0.0321429 
6 115 -1.10 0.00 13.0 2.86 0.047 1408 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 38 
4.4.2 – Perda por cravação: 
 
 No momento da liberação dos cabos dos macacos, e consequente transferência dos esforços 
de protensão para a peça de concreto, ocorre uma acomodação das peças de ancoragem (cunhas). Os 
deslocamentos que ocorrem originam as chamadas perdas por cravação, também chamadas de 
perdas por encunhamento. A cunha sempre penetra na ancoragem quando entra em carga. 
 As perdas por cravação devem ser determinadas experimentalmente ou adotados os valores 
indicados pelos fabricantes de dispositivos de ancoragem. 
 Nos sistemas que utilizam cunha individual para cada fio ou cordoalha, observam-se os 
seguintes valores médios de retorno devido ao encunhamento, para uma dada carga máxima: 
 
Fio mm7=φ mm5=δ 
Cordoalha mm5,12=φ mm6=δ ou mm5=δ (cunha cravada com macaco) 
 
 As perdas por cravação podem ser quantificadas igualando-se a energia de retorno das 
cordoalhas até serem bloqueadas pelas cunhas ( δaE ) com a energia de atrito atuante em sentido 
contrário no interior do cabo, devido à acomodação. 
 
2
δaEU = , onde aE é o módulo de elasticidade da cordoalha (195GPa) 
 
 No exemplo em questão, temos o seguinte gráfico, para perda de tensão por unidade de 
comprimento, devida ao atrito: 
 
Energia consumida nas perdas por atrito
1475 1464 1455 1444
1429
14081408 1408 1408 1408 1408
1360
1380
1400
1420
1440
1460
1480
1500
0,0 2,6 5,2 7,8 10,4 13,0
L (m)
σx (MPa) Tensão S6
 
 
 Observa-se que a função que descreve a perda de energia em cada seção devida ao atrito, é 
uma função aproximadamente liner da posição da seção ao longo do vão da viga (comprimento). 
Pode-se portanto, calculando as áreas acumuladas para cada trecho, obtém-se o valor da perda de 
energia por unidade de comprimento ( )n∆ para cada trecho, da seguinte forma: 
 
( )[ ][ ]
2
12 1
1
+
−
−−
+∆=∆ xnxnnn
n σσl
 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 39 
Trecho 1: Entre as seções 1 e 2. 
( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )mkNmMNxx /14300/30,14
2
1464147560,21120
2
60,2112 21
111 =
−−×
+=
−−×
+∆=∆
−
σσ
 
Trecho 2: Entre as seções 2 e 3. 
( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )mkNmMNxx /53300/30,53
2
1454146460,21223,14
2
60,2122 32
122 =
−−×
+=
−−×
+∆=∆
−
σσ
 
Trecho 3: Entre as seções 3 e 4. 
( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )mkNmMNxx /131300/3,131
2
1442145460,21323,53
2
60,2132 43
133 =
−−×
+=
−−×
+∆=∆
−
σσ
 
Trecho 4: Entre as seções 4 e 5. 
( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )mkNmMNxx /267800/8,267
2
1427144260,21423,131
2
60,2142 54
144 =
−−×
+=
−−×
+∆=∆
−
σσ
 
Trecho 5: Entre as seções 5 e 6. 
( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )mkNmMNxx /513500/5,513
2
1406142760,21528,267
2
60,2152 65
155 =
−−×
+=
−−×
+∆=∆
−
σσ
 
 Calculando-se a energia de cravação total, pode-se determinar uma queda na curva abaixo da 
tensão do meio do vão e determina-se o eixo de simetria: 
 ( ) ( )
mkNEU a /0487500
2
10510195
2
36
=
×
==
−δ
 
( )MPakPaU 22000
60,25
513500487500
5
5
−−=
×
−
=
∆−
=∆
l
 
MPax 1404214066 =−=∆−= σσ 
 
 A perda por cravação é dada então por: ( )σσσσ −−= xnn . Para cada seção temos: 
 
( ) MPa13331404147514041 =−−=σ 
( ) MPa13441404146414042 =−−=σ 
( ) MPa13541404145414043 =−−=σ 
 
( ) MPa13661404144214044 =−−=σ 
( ) MPa13811404142714045 =−−=σ 
( ) MPa14021404140614046 =−−=σ 
 Pode-se ainda, automatizar o processo, à exemplo dos casos anteriores, evitando-se a 
imprecisão numérica devida aos arredondamentos, conforme mostrado na tabela e grafico a seguir: 
 
Trecho ∆ (kN/m) Seção P.Crav. 
(MPa) 
S1-S2 13955 1 1343 
S1-S3 50079 2 1354 
S1-S4 123411 3 1363 
S1-S5 256562 4 1375 
S1-S6 505392 5 1389 
 6 1411 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 40 
Perdas por cravação
1475 1464 1455 1444 1429
1408
1343 1354 1363
1375 1389
1409 1409 1409 1409 1409
1250
1300
1350
1400
1450
1500
0,0 2,6 5,2 7,8 10,4 13,0
L (m)
σx (MPa) P.Crav. (MPa) Eixo de Simetria (MPa)
 
 
 
4.4.3 – Perda por deformação imediata do concreto: 
 
 Ao receber a força de protensão, a viga de concreto sofre uma deformação elástica imdeiata, 
encurtando-se. Concomitantemente ocorre um encurtamento na armadura de protensão, devido à 
aderência desta ao concreto, pela posterior injeção de nata na bainha. À este encurtamento da 
armadura protendida, corresponde um alívio de tensão nos cabos, ocorrendo asim uma perda de 
protensão. 
 No caso em estudo está sendo considerado que a viga sofrerá protensão com aderência 
posterior, e é constituída por vários cabos. Sendo estes cabos tracionados um de cada vez, conforme 
é usual, a deformação do concreto provocado pela força no cabo que está sendo tracionado, acarreta 
perda de tensão nos cabos já ancorados. 
 Portanto, iguala-se o encurtamento do concreto ao do aço em cada seção, apenas levando-se 
em conta que cada cabo protendido, influencia apenas os que já estão protendidos, logo: 
 
n
nEacan 2
1−
=∆ εσ , onde 
c
c
c E
σ
ε = , annna σσσ ∆−= , e ainda: 
 
anσ∆ Perda de protensão na armadura de protensão, devida a deformação imediata do concreto; 
cε Encurtamento do concreto; 
aE Módulo de elasticidade longitudinal da armadura de protensão; 
n Número de cabos. 
 
 O cálculo de cε , será feito no centro de gravidade do cabo equivalente, considerando-se os 
carregamentos de peso próprio e protensão. Para tanto, será necessário calcular o valor da força de 
protensão em cada seção, já consideradas as perdas anteriores, ann nAN σ= . 
 Onde aA , é a área da seção transversal de cada cabo. Para cada cabo com 7 cordoalhas de 
½”, temos a seguinte área: ( ) 2
2
7
4
27,178,0 cmAa =××=
pi
. O valor 0,8, refere-se à redução da área 
de cada cordoalha devido à sua forma irregular. A seguir, temos a obtenção da perda de protensão 
devida à deformação imediata do concreto, para cada seção. 
 Para facilitar a visualização, foram recuperados valores já determinados anteriormente, tais 
como, os momentos fletores seccionais devidos à carga de peso próprio, as excentricidades médias 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 41 
seccionais do cabo equivalente e as propriedades geométricas da seção transversal, observadas à 
seguir: 
 
Seção 1 2 3 4 5 6 
Mpp 
(KNm) 
0 462 821 1078 1232 1283 
 
Seção e méd. 
(cm) 
1 59 
2 72 
3 86 
4 98 
5 110 
6 115 
 
A (m2) 0.61 
yi (m) 0.66 
ys (m) 0.59 
I (m4) 0.12 
Wi (m3) 0.19 
Ws (m3) 0.21 
 
 
 Considerando-se que o fck do concreto pode ainda não ter sido alcançado em sua plenitude 
aos 28 dias, devido à infinita gama de tipos de cimentos utilizados, considerar-se-à, de forma 
conservadora um fck de 24MPa. Portanto, 
 
( ) MPaMPafE ckc 27434245600560028 === ; 
 
 
Seção 1: 
 ( ) kNMNnAN a 46667,410751333 411 ==××== −σ 
0595911 =−=−= smed yee (o cabo passa pelo cg da seção 1) 
01 =ppM 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 7,77649012,0
0
61,0
4666
1
1
1
==+=+=σ 
( )41080,2
27434
7,7
−
===
c
c
c E
σ
ε 
( ) MPa
n
nEaca 9,2152
151950001080,2
2
1 4
1 =
×
−
=
−
=∆ −εσ 
MPaaa 1,13119,211333111 =−=∆−= σσσ 
 
 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 42 
Seção 2: 
 ( ) kNMNnAN a 47047,410751344 422 ==××== −σ 
cmyee smed 13597222 =−=−= 
kNmM pp 462
2
= 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 2,8821213,012,0
462
61,0
4704
2
2
2
==+=+=σ 
( )41098,2
27434
2,8
−
===
c
c
c E
σ
ε 
( ) MPa
n
nEaca 3,2352
151950001098,2
2
1 4
1 =
×
−
=
−
=∆ −εσ 
MPaaa 1,13203,231344222 =−=∆−= σσσ 
 
 
Seção 3: 
 ( ) kNMNnAN a 47397,410751354 433 ==××== −σ 
cmyee smed 27598633 =−=−= 
kNmM pp 821
3
= 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 6,9961627,012,0
821
61,0
4739
4
3
3
==+=+=σ 
( )41050,3
27434
6,9
−
===
c
c
c E
σ
ε 
( ) MPa
n
nEaca 3,2752
151950001050,3
2
1 4
3 =
×
−
=
−
=∆ −εσ 
MPaaa 7,13263,271354333 =−=∆−= σσσ 
 
 
Seção 4: 
 ( ) kNMNnAN a 47818,410751366 444 ==××== −σ 
cmyee smed 39599844 =−=−= 
kNmM pp1078
4
= 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 34,111134139,012,0
1078
61,0
4781
4
4
4
==+=+=σ 
( )41013,4
27434
34,11
−
===
c
c
c E
σ
ε 
( ) MPa
n
nEaca 2,3252
151950001013,4
2
1 4
4 =
×
−
=
−
=∆ −εσ 
MPaaa 8,13332,321366444 =−=∆−= σσσ 
 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 43 
Seção 5: 
 ( ) kNMNnAN a 48348,410751381 455 ==××== −σ 
cmyee smed 515911055 =−=−= 
kNmM pp 1232
5
= 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 16,131316051,012,0
1232
61,0
4834
5
5
5
==+=+=σ 
( )41080,4
27434
16,13
−
===
c
c
c E
σ
ε 
( ) MPa
n
nEaca 4,3752
151950001080,4
2
1 4
5 =
×
−
=
−
=∆ −εσ 
MPaaa 6,13434,371381555 =−=∆−= σσσ 
 
 
Seção 6: 
 ( ) kNMNnAN a 49079,410751402 466 ==××== −σ 
cmyee smed 565911566 =−=−= 
kNmM pp 1283
6
= 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 03,141403256,012,0
1283
61,0
4907
6
6
6
==+=+=σ 
( )41011,5
27434
03,14
−
===
c
c
c E
σ
ε 
( ) MPa
n
nEaca 9,3952
151950001011,5
2
1 4
6 =
×
−
=
−
=∆ −εσ 
MPaaa 1,13629,391402666 =−=∆−= σσσ 
 
 
 Pode-se, à exemplo das perdas anteriores, considerar as perdas acumulando-as em planilha, 
de modo a considerar a precisão máxima nos cálculos, conforme os resultados apresentados à 
seguir. 
 
Seção N (kN) e (cm) M pp M (kNm) σc (MPa) ∆σa (MPa) σa (MPa) 
1 4702 0 0 12 -8 -22 1321 
2 4739 13 462 -142 -8 -23 1332 
3 4772 27 821 -455 -9 -25 1338 
4 4811 39 1078 -786 -10 -30 1345 
5 4863 51 1232 -1236 -13 -37 1352 
6 4937 56 1283 -1469 -15 -42 1368 
 
 
 
 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 44 
4.4.4 – Perda por deformação lenta ou fluência do concreto: 
 
 Ao longo da vida útil da peça, os cabos vão encurtando gradativamente à medida que o 
concreto se deforma devido à tensão de protensão. Consequentemente, a força de protensão, que 
é una das causas da fluência, está diminuindo. A tensão na armadura de protensão cai 
linearmente durante o período no qual a fluência ocorre. 
 Genericamente, a deformação devido à fluência do concreto, é dada por: 
 
( )0
28
, tt
Ec
c
f ∞= ϕ
σ
ε 
 
afnbn Eεσ = 
 Onde: 
 
cσ Tensão na seção de concreto, na fibra do CG do cabo equivalente; 
28cE Módulo de elasticidade na idade de 28 dias ( )MPaEc 2743428 = , conforme caso anterior; 
( )0, tt∞ϕ Coeficiente de fluência. 
 
( ) tebdc KKKKKtt =∞ 0,ϕ 
 
 Onde: 
 
K
c
 Coeficiente que depende das condições climáticas; 
Kd Coeficiente que depende do grau de endurecimento do concreto; 
Kb Coeficiente que depende da composição do concreto; 
K
e
 Coeficiente que depende da espessura fictícia da viga de concreto protendido; 
Kt Coeficiente que depende do tempo. 
 
 Entretanto, em casos onde não é necessária grande precisão, pode-se obter os valores finais 
do coeficiente de fluência, a partir da tabela 8.1 da NBR 6118:2003, como função da umidade 
ambiente (considerada 75% neste exemplo) e da espessura fictícia da viga 





u
A2
, onde A, é a área 
da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com o ar. No exemplo em questão, 
temos: 
 
cmm
u
A 26,2222,0
48,5
61,022
==




 ×
=





. Entrando-se com estes valores na tabela 8.1, obtemos os 
seguintes valores, para 30 dias: 
 
( ) 0,2, 0 =∞ ttϕ 
( ) 00020,020,0, 0000 −=−=∞ ttcsε (deformação específica de retração) 
 
 A deformação específica de retração, será utilizada para cálculo das perdas por retração 
conforme será visto a diante. 
 Incentiva-se também, a utilização do programa Reolog para obtenção precisa das 
informações anteriormente descritas, como por exemplo mostrado a seguir: 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 45 
 
 
 
 
( ) 012,2, 0 =∞ ttϕ 
( ) ( ) 00040 18,0000183651,01083651,1, −=−=−= −∞ ttcsε (deformação específica devida retração do 
concreto) 
 
 Observa-se que os valores obtidos a partir da utilização da tabela 8.1 da NBR6118:2003, 
apresentam-se como uma boa aproximação dos valores analíticos obtidos pela utilização do 
programa Reolog. 
 
Seção 1: 
 ( ) kNMNnAN aa 45886,410751,1311 411 ==××== −σ 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 5,77522012,0
0
61,0
4588
1
1
1
==+=+=σ 
( ) ( )40 1052,5012,227434
5,7
,
−
∞
=== tt
Ec
c
f ϕ
σ
ε 
( ) MPaEafb 6,1071950001052,5 41 ===∆ −εσ 
MPabab 5,12036,1071,1311111 =−=∆−= σσσ 
 
Seção 2: 
 ( ) kNMNnAN aa 46206,410751,1320 422 ==××== −σ 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 1,8807413,012,0
462
61,0
4620
2
2
2
==+=+=σ 
( ) ( )40 1092,5012,227434
1,8
,
−
∞
=== tt
Ec
c
f ϕ
σ
ε 
( ) MPaEafb 5,1151950001092,5 42 ===∆ −εσ 
MPabab 6,12045,1151,1320222 =−=∆−= σσσ 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 46 
Seção 3: 
 ( ) kNMNnAN aa 46436,410757,1326 433 ==××== −σ 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 5,9945927,012,0
821
61,0
4643
3
3
3
==+=+=σ 
( ) ( )40 1094,6012,227434
5,9
,
−
∞
=== tt
Ec
c
f ϕ
σ
ε 
( ) MPaEafb 3,1351950001094,6 41 ===∆ −εσ 
MPabab 4,11913,1357,1326333 =−=∆−= σσσ 
 
Seção 4: 
 ( ) kNMNnAN aa 46686,410758,1333 444 ==××== −σ 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 2,111115639,012,0
1078
61,0
4668
4
4
4
==+=+=σ 
( ) ( )40 1018,8012,227434
2,11
,
−
∞
=== tt
Ec
c
f ϕ
σ
ε 
( ) MPaEafb 5,1591950001018,8 44 ===∆ −εσ 
MPabab 3,11745,1598,1333444 =−=∆−= σσσ 
 
Seção 5: 
 ( ) kNMNnAN aa 47027,410756,1343 455 ==××== −σ 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 9,121294451,012,0
1232
61,0
4702
5
5
5
==+=+=σ 
( ) ( )40 1049,9012,227434
9,12
,
−
∞
=== tt
Ec
c
f ϕ
σ
ε 
( ) MPaEafb 1,1851950001049,9 45 ===∆ −εσ 
MPabab 5,11581,1856,1343555 =−=∆−= σσσ 
 
Seção 6: 
 ( ) kNMNnAN aa 47678,410751,1362 466 ==××== −σ 
MPakPae
I
M
A
N pp
c 8,131380256,012,0
1283
61,0
4767
6
6
6
==+=+=σ 
( ) ( )40 1010,10012,227434
8,13
,
−
∞
=== tt
Ec
c
f ϕ
σ
ε 
( ) MPaEafb 4,1971950001010,10 46 ===∆ −εσ 
MPabab 7,11644,1971,1362666 =−=∆−= σσσ 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 47 
 Pode-se ainda, a exemplo das perdas anteriormente calculadas, acumular as perdas por 
deformação lenta ou fluência do concreto, através de uma planilha de cálculos eletrônica, cujos 
resultados apresentados a seguir, diferem pouco dos anteriormente apresentados, por questão de 
arredondamento. A planilha utilizada utiliza a precisão máxima das operações matemáticas. 
 
Seção Mpp 
(kNm) 
N (kN) e (m) M (kNm) σc (MPa) ε (%o) ∆σb 
(MPa) 
σb (MPa) 
1 0 4625 0,00 12 8 0,000558 109 1213 
2 462 4660 0,13 -132 8 0,000573 112 1220 
3 821 4684 0,27 -431 9 0,000635 124 1214 
4 1078 4708 0,39 -746 10 0,000741 145 1201 
5 1232 4732 0,51 -1169 13 0,000927 181 1171 
6 1283 4790 0,56 -1387 14 0,001041 203 1165 
 
 
4.4.5 – Perda por retração do concreto: 
 
 A protensão só é aplicada à peça depois que o concreto já adquiriu resistência suficiente para 
suportar as tensões decorrentes da protensão e do peso próprio. Nessa época, uma parte da retração 
do concreto já ocorreu. A protensão deve ser adiada tanto quanto possível, com o objetivo de 
diminuir as perdas de protensão, pois a retração é mais intensa nas primeiras idades do concreto. 
 Admite-se também na pós-tensão, de forma simplificada, que a deformação do concreto é 
igual à do aço. 
 
( ) ( ) 00040 18,0000183651,01083651,1, −=−=−= −∞ ttcsε (obtido através do programa Reolog) 
( ) acs tt εε =∞ 0, ( )41083651,1 −−=aε ( ) MPaEaaA 8,351950001083651,1 4 =×==∆ −εσ 
 
4.4.6 – Perda por relaxação do aço: 
 
 A armadura de protensão tracionada e mantida com o comprimento constante, sofre alívio de 
tensão ao longo do tempo. Este fenômeno é chamado de relaxação do aço. 
 Os fabricantes de armadura de protensão, fornecem os valores de perda máxima por 
relaxação após 1000 horas a 20ºC, para carga inicial de 80% da carga de ruptura. Para cordoalhas de 
3 a 7 fios da Belgo Mineira de relaxação baixa, este valor é de 3,5% da tensão na armadura de 
protensão no instante da aplicação da força de tração. 
 Em termos práticos e, de forma conservadora, admite-se uma queda de tensão da ordem de 
60MPa para os aços de baixa relaxação(RB), como o utilizado neste exemplo. 
 Desta forma, pode-se determinar em cada seção, o valor das tensões quando da atuação das e 
perdas imediatas, e a subsequente queda devida às perdas lentas: 
 Exatamente como nos casos anteriores, pode-se automatizar a elaboração do quadro de 
perdas de tensão através da utilização de uma planilha eletrônica, conforme pode ser visto abaixo, 
onde apresenta-se primeiramente uma tabela elaborada manualmente e, em seguida, pode-se ver a 
tabela originada pela automatização dos cálculos através de planilha eletrônica. 
 Onserva-se claramente, pequena diferença no valor total, devido à arredondamentos feitos na 
elaboração da tabela manualmente. Automaticamente, os dados numéricos são relacionados 
diretamente, garantindo assim a exatidão numérica. 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 48 
4.4.7 – Quadro de tensões: 
 
Tabela de perdas de tensão obtida manualmente: 
Seção Tensões após 
as perdas 
imediatas 
(MPa) 
Perdas lentas de tensão (MPa) 
Total de 
perdas 
lentas de 
tensão 
(MPa) 
Total de 
Perdas de 
tensão 
(MPa) 
1 1311,1 107,6 35,8 60 203,4 1107,7 
2 1320,1 115,5 35,8 60 211,3 1108,8 
3 1326,7 135,3 35,8 60 231,3 1131,4 
4 1333,8 159,5 35,8 60 255,3 1078,5 
5 1343,6 185,1 35,8 60 280,9 1062,7 
6 1362,1 197,4 35,8 60 293,2 1168,9 
 
 Obtido o total de perdas de tensão em cada seção, pode-se obter os valores das forças de 
protensão reais necessário em cada seção. Para tanto, basta multiplicar a tensão em cada seção após 
as perdas imediatas, pela área total da seção dos cabos. 
 Conforme visto anteriormente, a área de um cabo com 7 cordoalhas de ½” é: 
( ) 22 7
4
27,178,0 cmAa =××=
pi
. 
 Portanto, para 5 cabos a área é de 23575 cm=× . Pode-se então, apresentar a tabela de 
perdas de tensão obtida automaticamente pela planilha eletrônica, contabilizando-se a força de 
protensão necessária em cada seção, considerando-se o somatório das perdas. Pode-se observar 
ainda, o percentual de perdas de protensão em cada seção, lembrando-se que a força de protensão 
aplicada, foi de 4223kN : 
 
 σ (MPa) σ (MPa) σ (MPa) N (kN) N (kN) N (kN) Perdas 
Seção per.imed. per.lent. per. final per.imed
. 
per.lent. final (%) 
1 1321 205 1117 4625 716 3908 7,5 
2 1332 207 1124 4660 726 3934 6,8 
3 1338 220 1119 4684 768 3915 7,3 
4 1345 240 1105 4708 841 3866 8,4 
5 1352 276 1075 4732 968 3764 10,9 
6 1368 299 1070 4790 1046 3744 11,4 
 
 Os valores das tensões devidas à ação da protensão, podem ser obtidas através da fórmula de 
determinação de tensões normais, devidas à flexão composta (flexo compressão ou flexo tração, 
conforme o caso), apresentada anteriormente. 
 
s
s
i
i
W
Ne
A
N
W
Ne
A
N
+−=
−−=
η
η
; 
s
s
i
i
W
Ne
A
N
W
Ne
A
N
−+=∆
++=∆
η
η
 
 
 Onde: η Tensão de protensão após a ocorrência das perdas imediatas; 
 η∆ Tensão de protensão após a ocorrência das perdas lentas. 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 49 
 Lembrado as propriedades geométricas da seção transversal considerada: 
A (m2) 0.61 
yi (m) 0.66 
ys (m) 0.59 
I (m4) 0.12 
Wi (m3) 0.19 
Ws (m3) 0.21 
 
 Tem-se os valores das tensões em cada seção, função da sua excentricidade e: 
 Seção e (m) ηi (MPa) ηs (MPa) ∆ηi 
(MPa) 
∆ηs 
(MPa) 
1 0,00 -7,6 -7,7 1,2 1,2 
2 0,13 -10,9 -4,8 1,7 0,7 
3 0,27 -14,4 -1,6 2,4 0,3 
4 0,39 -17,5 1,1 3,1 -0,2 
5 0,51 -20,7 3,8 4,2 -0,8 
6 0,56 -22,2 5,0 4,9 -1,1 
 
 Finalmente, pode-se observar o quadro final de tensões, no qual devemos observar sempre as 
seguintes condições: 
 
Bordo inferior da seção: 
( )fckMPaC 3/23,17max =σ 
( )fckMPaT %106,2max =σ 
 
Bordo superior da seção: 
( )fckMPaC %5013max =σ 
( )fckMPaT %106,2max =σ 
Seção Tensão 
(MPa) 
pp prot i sp perdas sa 
1 σi p 0,0 -7,6 0,0 1,2 0,0 
 Σ - -7,6 -7,6 -6,4 -6,4 
 σs p 0,0 -7,7 0,0 1,2 0,0 
 Σ - -7,7 -7,7 -6,5 -6,5 
2 σi p 2,5 -10,9 1,3 1,7 3,3 
 Σ - -8,4 -7,1 -5,4 -2,1 
 σs p -2,2 -4,8 -1,2 0,7 -2,9 
 Σ - -7,0 -8,2 -7,5 -10,4 
3 σi p 4,4 -14,4 2,3 2,4 5,8 
 Σ - -10,0 -7,7 -5,3 0,5 
 σs p -4,0 -1,6 -2,1 0,3 -5,2 
 Σ - -5,6 -7,7 -7,4 -12,7 
4 σi p 5,8 -17,5 3,0 3,1 7,6 
 Σ - -11,8 -8,7 -5,6 2,1 
 σs p -5,2 1,1 -2,7 -0,2 -6,9 
 Σ - -4,1 -6,9 -7,1 -13,9 
5 σi p 6,6 -20,7 3,5 4,2 8,7 
 Σ - -14,1 -10,6 -6,3 2,4 
 σs p -6,0 3,8 -3,1 -0,8 -7,8 
 Σ - -2,1 -5,3 -6,1 -13,9 
6 σi p 6,9 -22,2 3,6 4,9 9,1 
 Σ - -15,3 -11,7 -6,8 2,2 
 σs p -6,2 5,0 -3,3 -1,1 -8,2 
 Σ - -1,2 -4,4 -5,5 -13,7 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 50 
 Nas células em amarelo, observamos as tensões finais no bordo inferior de cada seção. Nas 
células em verde, observamos as tensões finais no bordo superior de cada seção. 
 Observa-se que a tensão de compressão no bordo superior superou o limite estabelecido. 
Aumentando-se o f
ck para 28MPa, temos os seguintes limites,e o seguinte quadro de tensões: 
 
Bordo inferior da seção: 
( )fckMPaC 3/27,18max =σ 
( )fckMPaT %108,2max =σ 
 
Bordo superior da seção: 
( )fckMPaC %5014max =σ 
( )fckMPaT %108,2max =σ 
 
 
Seção Tensão 
(MPa) 
pp prot i sp perdas sa 
1 σi p 0,0 -7,6 0,0 1,1 0,0 
 Σ - -7,6 -7,6 -6,4 -6,4 
 σs p 0,0 -7,7 0,0 1,2 0,0 
 Σ - -7,7 -7,7 -6,5 -6,5 
2 σi p 2,5 -10,9 1,3 1,7 3,3 
 Σ - -8,4 -7,1 -5,4 -2,2 
 σs p -2,2 -4,8 -1,2 0,7 -2,9 
 Σ - -7,0 -8,2 -7,5 -10,4 
3 σi p 4,4 -14,4 2,3 2,3 5,8 
 Σ - -10,0 -7,7 -5,4 0,4 
 σs p -4,0 -1,7 -2,1 0,3 -5,2 
 Σ - -5,6 -7,7 -7,5 -12,7 
4 σi p 5,8 -17,6 3,0 3,1 7,6 
 Σ - -11,8 -8,7 -5,6 2,0 
 σs p -5,2 1,1 -2,7 -0,2 -6,9 
 Σ - -4,1 -6,9 -7,1 -13,9 
5 σi p 6,6 -20,7 3,5 4,1 8,7 
 Σ - -14,1 -10,6 -6,5 2,2 
 σs p -6,0 3,8 -3,1 -0,8 -7,8 
 Σ - -2,1 -5,3 -6,0 -13,9 
6 σi p 6,9 -22,2 3,6 4,7 9,1 
 Σ - -15,4 -11,7 -7,0 2,1 
 σs p -6,2 5,0 -3,3 -1,1 -8,2 
 Σ - -1,2 -4,4 -5,5 -13,7 
 
 
Concreto Protendido – Notas de Aula – Prof Glauco J. de O. Rodrigues 51 
4.5 – Diminuição da força cortante para cálculo de estribos: 
 
 Conforme é sabido, a máxima força cortante em uma viga bi-apoiada, ocorre na região dos 
apoios e vale 
2max
QLV = 
 
 Onde, q é o valor da carga assumida para cada tipo de carregamento. Lembrando que o vão 
total L=26,0m, para os carregamentos fornecidos, teríamos os seguintes cortantes máximos: 
 
mkNApp conc /19,1561,025 =×== γ 
g = 8 kN/m 
q = 20kN/m 
 
 
Q Vmax (kN) 
pp 197 
g 104 
q 260 
Total 561 
 Observando o desenho, podemos obter (ou calcular analíticamente), os ângulos de saída dos 
cabos na seção do apoio, onde ocorrem estes momentos máximos, conforme mostrado na figura a 
seguir: 
 
 
 
 
 Pode-se então obter facilmente a inclinação do cabo equivalente: 
 ( ) 000000 8,2
5
9,08,11,30,44,4
=
++++
=medα 
 
� Força de tração média nos cabos na S1, após todas as perdas: NP = 3908kN 
 
� Cortante de protensão: 
6,1938,23908 0 =×== sensenNV medPP α 
 
� Cortante para cálculo da armação de estribos: 
kNVVV Pmáx 3686,193561 =−=−= (34% de redução) 
 
O cálculo da armadura de estribos é feito exatamente como em uma viga de concreto armado.