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Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
Prova de Recuperação
09 a 12 de outubro de 2022
Nome: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Instruções para a Prova
• Indique as suas respostas na folha de questões. Ela é parte integrante da
prova!
• Justifique as suas respostas na folha de resoluções.
• As questões devem ser resolvidas matematicamente. Resoluções baseadas
em desenhos e figuras podem não receber a nota integral.
1. Em uma modalidade de pôquer os ases, valetes, damas e reis dos quatro naipes
(16 cartas) são distribúıdos entre quatro jogadores (que recebem quatro cartas
cada um). A ordem em que os jogadores recebem suas quatro cartas não é
relevante para o jogo. Pergunta-se:
(a) De quantas maneiras as 16 cartas podem ser distribúıdas entre os quatro
jogadores?
Resposta: (1,5 pontos)
(b) De quantas maneiras as 16 cartas podem ser distribúıdas entre os quatro
jogadores, impondo que os quatro jogadores recebam um ás?
Resposta: (1,5 pontos)
(c) Qual a probabilidade de os quatro jogadores receberem um ás?
Resposta: (1,5 pontos)
(d) Uma casa de apostas paga R$7,00 para cada real apostado na ocorrência
do evento do item 1c. A aposta é justa, favorece a casa, ou favorece o
apostador?
Resposta: (1,5 pontos)
2. A, B, C e D são eventos em um espaço de probabilidade, tais que P (A) =
P (B) = P (C) = P (C) = 0, 8.
(a) Qual o menor valor posśıvel para P (A ∩B)?
Resposta: (1 ponto)
(b) Qual o menor valor posśıvel para P (A ∩B ∩ C)?
Resposta: (1,5 pontos)
(c) É posśıvel que A ∩B ∩ C ∩D = ∅?
Resposta: (1,5 pontos)
.
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
Prova de Recuperação
05 a 07 de janeiro de 2021
Nome: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Instruções para a Prova
• Indique as suas respostas na folha de questões. Ela é parte integrante da
prova!
• Justifique as suas respostas na folha de resoluções.
• As questões devem ser resolvidas matematicamente. Resoluções baseadas
em desenhos e figuras podem não receber a nota integral.
1. Em uma modalidade de pôquer os ases, valetes, damas e reis dos quatro naipes
(16 cartas) são distribúıdos entre quatro jogadores (que recebem quatro cartas
cada um). A ordem em que os jogadores recebem suas quatro cartas não é
relevante para o jogo. Pergunta-se:
(a) De quantas maneiras as 16 cartas podem ser distribúıdas entre os quatro
jogadores?
Resposta: (1,5 pontos)
(b) De quantas maneiras as 16 cartas podem ser distribúıdas entre os quatro
jogadores, impondo que os quatro jogadores recebam um ás?
Resposta: (1,5 pontos)
(c) Qual a probabilidade de os quatro jogadores receberem um ás?
Resposta: (1,5 pontos)
(d) Uma casa de apostas paga R$7,00 para cada real apostado na ocorrência
do evento do item 1c. A aposta é justa, favorece a casa, ou favorece o
apostador?
Resposta: (1,5 pontos)
2. A, B, C e D são eventos em um espaço de probabilidade, tais que P (A) =
P (B) = P (C) = P (C) = 0, 7.
(a) Qual o menor valor posśıvel para P (A ∩B)?
Resposta: (1 ponto)
(b) Qual o menor valor posśıvel para P (A ∩B ∩ C)?
Resposta: (1,5 pontos)
(c) É posśıvel que A ∩B ∩ C ∩D = ∅?
Resposta: (1,5 pontos)
.
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica
2a Prova
27 a 29 de agosto de 2022
Nome: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Instruções para a Prova
• Justifique todas as suas respostas.
1. Uma urna tem oito bolas numeradas de 1 a 8. Extraem-se 4 bolas dessa urna
(sem reposição). Se a bola 8 é extráıda, uma moeda com duas caras é lançada
três vezes. Se a bola 8 não é extráıda, uma moeda honesta é lançada três vezes.
(a) Qual é a probabilidade de a bola 8 ser extráıda? (1,5 pontos)
Resposta: 1
2
(b) Qual é a probabilidade de se observarem três caras? (1,5 pontos)
Resposta: 9
16
(c) Qual é a probabilidade de a bola 8 ter sido extráıda, se foram observadas
três caras? (1,5 pontos)
Resposta: 8
9
(d) Os eventos “a bola 8 é extráıda” e “observam-se 3 caras” são positivamente
correlacionados, negativamente correlacionados, ou independentes?
. (1,5 pontos)
Resposta: São positivamente correlacionados.
2. Sabe-se que a probabilidade de um carro passar por um certo trecho de uma
rodovia que corta o deserto de Nevada num peŕıodo de 20 minutos é 75%.
(a) Qual é a probabilidade de um carro passar por esse mesmo trecho durante
um peŕıodo de 10 minutos? (1 ponto)
Resposta: 50%
(b) Qual é a probabilidade de um carro passar por esse mesmo trecho durante
um peŕıodo de 30 minutos? (1 ponto)
Resposta: 7
8
= 87, 5%
(c) Se você apostar 1 real contra um amigo que nenhum carro passará por esse
trecho durante um peŕıodo de 30 minutos, quanto esse amigo deverá pagar
a você (caso você acerte a aposta) para que a aposta seja justa? (2 pontos)
Resposta: R$7,00
.
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
2a Prova
16 a 18 de dezembro de 2020
Nome: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Instruções para a Prova
• Justifique todas as suas respostas.
1. Um experimento aleatório consiste em duas etapas:
Etapa 1 Lança-se um dado honesto (com seis faces)
Etapa 2 .
• Se o resultado for 1, 2, ou 3 lança-se duas vezes uma moeda honesta.
• Se o resultado for 4 ou 5 lança-se duas vezes uma moeda que mostra
cara com probabilidade 1/4.
• Se o resultado for 6, lança-se duas vezes uma moeda que mostra cara
com probabilidade 3/4.
Se C1 e C2 denotam respectivamente os eventos de se obter cara no primeiro e
no segundo lançamentos da Etapa 2, responda:
(a) P (C1) = 45, 83% (1 ponto)
Solução:
P (C1) = 1/2× 1/2 + 1/4× 1/3 + 3/4× 1/6 = 1/4 + 1/12 + 1/8
= (6 + 2 + 3)/24 = 11/24 = 45, 83%
(b) P (C2) = 45, 83% (0,5 ponto)
Solução:
P (C2) = 1/2× 1/2 + 1/4× 1/3 + 3/4× 1/6 = 1/4 + 1/12 + 1/8
= (6 + 2 + 3)/24 = 11/24 = 45, 83%
(c) P (C1 ∩ C2) = 23, 96% (1 ponto)
Solução:
P (C1 ∩ C2) = 1/4× 1/2 + 1/16× 1/3 + 9/16× 1/6
= 1/8 + 1/48 + 9/96 = (12 + 2 + 9)/96 = 23/96 = 23, 96%
(d) C1 e C2 são independentes, positivamente correlacionados ou negativa-
mente correlacionados? Por quê?! (2,0 pontos)
Solução:
P (C1)P (C2) = (11/24)× (11/24) = 121/576 = 0, 2101
três
fundos de investimento?
Resposta:
(14
12
)
= 14!
12!×2! = 91 (1 ponto)
(b) De quantas maneiras o investidor pode aplicar o seu capital, se ele pode reservar parte
dele (ou mesmo todo ele) para suas despesas pessoais?
Resposta:
(15
12
)
= 15!
12!×3! = 455 (1 ponto)
(c) De quantas maneiras o investidor pode aplicar o seu capital, se ele precisa reservar
pelo menos 3 unidades monetárias para as suas despesas pessoais?
Resposta:
(12
9
)
= 12!
9!×3! = 220 (1 ponto)
2. Em uma urna há seis bolas brancas, duas bolas amarelas e uma bola verde. As nove bolas
são extráıdas (sem reposição) e dispostas numa sequência linear sobre uma mesa, conforme
a ordem de extração.
(a) Quantas sequências são posśıveis?
Resposta: 9!
6!×2!×1! = 252 (0,5 ponto)
(b) Quantas sequências são posśıveis sem que as bolas coloridas apareçam juntas?
Resposta: 7!
4!×2!×1! = 105 (0,5 ponto)
(c) Quantas sequências são posśıveis com pelo menos duas bolas brancas entre as bolas
coloridas?
Resposta: 5!
2!×2!×1! = 30 (0,5 ponto)
(d) Das sequências do item 2b, em quantas há pelo menos duas bolas brancas entre as
bolas amarelas?
Resposta: 6!
3!×3! + 6!
3!×3! + 7!
4!×3! = 20 + 20 + 35 = 75 (0,5 ponto)
(e) Quais as probabilidades correspondentes aos itens 2b, 2c, 2d?
Resposta: 105
252 = 41, 67%, 30
252 = 11, 90%, 75
252 = 29, 76% (1 ponto)
(f) Qual a probabilidade de duas bolas coloridas aparecerem juntas?
Resposta: 147
252 = 58, 33% (1 ponto)
3. A, B e C são eventos em um espaço de probabilidade, tais que P (A) = P (B) = P (C) = 7
10 .
(a) Qual o menor valor posśıvel para P (A ∩ B)?
Resposta: 0, 4 (1 ponto)
(b) Qual o menor valor posśıvel para P (A ∩ B ∩ C)?
Resposta: 0, 1 (1 ponto)
(c) É posśıvel que A ∩ B ∩ C = ∅?
Resposta: Não. (1 ponto)
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Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
1a Prova
06 a 08 de novembro de 2020
Nome: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Instruções para a Prova
• Indique as suas respostas na folha de questões. Ela é parte integrante da prova!
• Justifique as suas respostas na folha de resoluções.
1. (a) Quantas soluções inteiras possui a equação A + B + C = 10, com A,B,C ≥ 0?
Resposta: 66 (1 ponto)
Solução:
Este é o caso básico estudado na teoria (Aula 6, Pergunta 1). Para cada permutação de
10 bolinhas e 2 gravetos corresponde uma solução inteira não-negativa da equação em
questão. Por exemplo, a permutação ••|•••••|••• gera a solução A = 2, B = 5, C = 3.
Sabemos que há 12!
10!2! = 66 permutações entre as 10 bolinhas e os dois gravetos,
portanto há 66 soluções para a equação A + B + C = 10, com A,B,C ≥ 0.
(b) Quantas soluções inteiras possui a equação A + B + C = 10, com A ≥ 0, B > 0,
C > 1?
Resposta: 36 (1 ponto)
Solução:
Método 1 .
Reservamos uma bolinha para B e duas bolinhas para C. Restam 7 bolinhas
para permutar com os dois gravetos. São 9!
7!2! = 36 permutações, portanto 36
soluções para a equação A + B + C = 10, com A ≥ 0, B > 0, C > 1.
Método 2 .
Fazemos B′ = B−1(⇒ B = B′ + 1) e C′ = C−2(⇒ C = C′ + 2) e substituimos
na equação original para obter A+B′+C′ = 7, com A ≥ 0, B′ ≥ 0, C′ ≥ 0. Essa
nova equação se enquadra no caso básico e possui 9!
7!2! = 36 soluções, portanto a
equação original também possuirá 36 soluções.
(c) Quantas soluções inteiras possui a equação A + B + C = 10, com A ≥ −1, B > 0,
C > 1?
Resposta: 45 (1 ponto)
Solução:
Fazemos A′ = A+ 1(⇒ A = A′− 1), B′ = B− 1(⇒ B = B′ + 1) e C′ = C− 2(⇒ C =
C′ + 2) e substituimos na equação original para obter A′ + B′ + C′ = 8, com A′ ≥ 0,
B′ ≥ 0, C′ ≥ 0. Essa nova equação se enquadra no caso básico e possui 10!
8!2! = 45
soluções, portanto a equação original também possuirá 45 soluções.
(d) Quantas soluções inteiras possui a inequação A + B + C ≤ 10, com A,B,C > 0?
Resposta: 120 (1 ponto)
Solução:
Introduzimos a variável D ≥ 0 para obter a equação A+B+C+D = 10, com A,B,C >
0 e D ≥ 0, cujas soluções são precisamente as soluções da inequação original. Fazendo
A′ = A− 1(⇒ A = A′ + 1), B′ = B − 1(⇒ B = B′ + 1) e C′ = C − 1(⇒ C = C′ + 1)
e substituindo, obtemos a equação A′ +B′ +C′ +D = 7, com A′ ≥ 0, B′ ≥ 0, C′ ≥ 0
e D ≥ 0, que se enquadra no caso básico (com 7 bolinhas e três gravetos) e possui
10!
7!3! = 120 soluções. A inequação original possuirá portanto 120 soluções.
2. Em uma urna há sete bolas brancas, uma bola azul, uma bola vermelha e uma bola verde.
As dez bolas são extráıdas (sem reposição) e dispostas numa sequência linear sobre uma
mesa conforme a ordem de extração.
(a) Quantas sequências são posśıveis?
Resposta: 720 (0,5 ponto)
Solução:
Aqui temos a permutação de dez objetos, sete dos quais (as bolas brancas) são in-
distingúıveis. Há 10!
7! = 720 permutações entre eles, portanto haverá 720 sequências
posśıveis.
(b) Quantas sequências são posśıveis com pelo menos uma bola branca entre as bolas co-
loridas?
Resposta: 336 (0,5 ponto)
Solução:
Método 1 .
As bolas coloridas permutam entre si de 3! = 6 maneiras: bgr, brg, gbr, grb,
rbg, rgb. Para cada uma dessas permutações reservamos uma bola branca entre
a primeira e a segunda bola colorida e outra bola branca entre a segunda e a
terceira bola colorida. Restam cinco bolas brancas para ocupar quatro posições:
à esquerda da primeira bola colorida, entre a primeira e a segunda bola colorida,
entre a segunda e a terceira bola colorida, à direita da terceira bola colorida.
Sejam x, y, z e w a quantidade de bolas brancas nesses espaços respectivamente.
Temos que x + y + z + w = 5, onde x, y, z, w ≥ 0. Essa equação possui 8!
5!3! = 56
soluções (Aula 6, Pergunta 1), portanto as bolas brancas podem ser distribúıdas
de 56 maneiras entre cada permutação das bolas coloridas. Como há 6 per-
mutações entre as bolas coloridas, haverá 6 ·56 = 336 sequências com pelo menos
uma bola branca entre as bolas coloridas.
Método 2 .
Reservamos uma bola branca para ficar entre a primeira e a segunda bola colorida
e outra bola branca para ficar entre a segunda e a terceira bola colorida. Restam
cinco bolas brancas (indistingúıveis) para permutar livremente com as três bolas
coloridas (distingúıveis), resultando em 8!
5! = 336 permutações. Há, portanto,
336 sequências com pelo menos uma bola branca entre as bolas coloridas.
(c) Quantas sequências são posśıveis com pelo menos duas bolas brancas entre as bolas
coloridas?
Resposta: 120 (0,5 ponto)
Solução:
Método 1 .
As bolas coloridas permutam entre si de 3! = 6 maneiras: bgr, brg, gbr, grb,
rbg, rgb. Para cada uma dessas permutações reservamos duas bolas brancas
entre a primeira e a segunda bola colorida e outras duas bolas brancas entre a
segunda e a terceira bola colorida. Restam três bolas brancas para ocupar quatro
posições: à esquerda da primeira bola colorida, entre a primeira e a segunda
bola colorida, entre a segunda e a terceira bola colorida, à direita da terceira
bola colorida. Sejam x, y, z e w a quantidade de bolas brancas nesses espaços
respectivamente. Temos que x+y+z+w = 3, onde x, y, z, w ≥ 0. Essa equação
possui 6!
3!3! = 20 soluções (Aula 6, Pergunta 1), portanto as bolas brancas podem
ser distribúıdas de 20 maneiras entre cada permutação das bolas coloridas. Como
há 6 permutações entre as bolas coloridas, haverá 6 · 20 = 120 sequências com
pelo menos duas bolas brancas entre as bolas coloridas.
Método 2 .
Reservamos duas bolas brancas para ficar entre a primeira e a segunda bola
colorida e outras duas bolas brancas para ficar entre a segunda e a terceira bola
colorida. Restam três bolas brancas (indistingúıveis) para permutar livremente
com as três bolas coloridas (distingúıveis), resultando em 6!
3! = 120 permutações.
Há, portanto, 120 sequências com pelo menos duas bolas brancas entre as bolas
coloridas.
(d) Das sequências do item 2b, em quantas há pelo menos duas bolas brancas entre a bola
vermelha e a bolaazul?
Resposta: 252 (0,5 ponto)
Solução:
Aqui precisamos analisar separadamente dois casos:
caso 1: rgb e bgr .
Para cada uma dessas duas permutações reservamos uma bola branca entre a
primeira e a segunda bola colorida e outra bola branca entre a segunda e a
terceira bola colorida. Restam cinco bolas brancas para ocupar quatro posições:
à esquerda da primeira bola colorida, entre a primeira e a segunda bola colorida,
entre a segunda e a terceira bola colorida, à direita da terceira bola colorida.
Sejam x, y, z e w a quantidade de bolas brancas nesses espaços respectivamente.
Temos que x + y + z + w = 5, onde x, y, z, w ≥ 0. Essa equação possui 8!
5!3! = 56
soluções (Aula 6, Pergunta 1), portanto as bolas brancas podem ser distribúıdas
de 56 maneiras entre cada permutação das bolas coloridas desse caso. Como
esse caso possui 2 permutações das bolas coloridas, ele comporta 2 · 56 = 112
sequências com pelo menos duas bolas brancas entre a bola vermelha e a bola
azul e pelo menos uma bola branca entre as demais bolas coloridas.
caso 2: rbg, brg, grb e gbr .
Para cada uma dessas quatro permutações reservamos duas bolas brancas para
ficar entre a bola vermelha e a bola azul e outra bola branca para ficar entre a
bola verde e a bola colorida ao centro (que pode ser azul ou vermelha). Restam
quatro bolas brancas para ocupar quatro posições: à esquerda da primeira bola
colorida, entre a primeira e a segunda bola colorida, entre a segunda e a terceira
bola colorida, à direita da terceira bola colorida. Sejam x, y, z e w a quantidade
de bolas brancas nesses espaços respectivamente. Temos que x + y + z + w = 4,
onde x, y, z, w ≥ 0. Essa equação possui 7!
4!3! = 35 soluções (Aula 6, Pergunta
1), portanto as bolas brancas podem ser distribúıdas de 35 maneiras entre cada
permutação das bolas coloridas desse caso. Como esse caso possui 4 permutações
das bolas coloridas, ele comporta 4 · 35 = 140 sequências com pelo menos duas
bolas brancas entre a bola vermelha e a bola azul e pelo menos uma bola branca
entre as demais bolas coloridas.
Somando as sequências dos dois casos, obtemos 112 + 140 = 252 sequências com pelo
menos duas bolas brancas entre a bola vermelha e a bola azul e pelo menos uma bola
branca entre as demais bolas coloridas.
(e) Quais as probabilidades correspondentes aos itens 2b, 2c, 2d?
Resposta: 46,67%, 16,67%, 35% respectivamente. (1 ponto)
Solução:
item 2b: 336
720 = 46, 67%
item 2c: 120
720 = 1
6 = 16, 67%
item 2d: 252
720 = 35%
(f) Qual a probabilidade de duas bolas coloridas aparecerem juntas?
Resposta: 53,33% (1 ponto)
Solução:
As sequências onde duas bolas coloridas aparecem juntas constituem o evento comple-
mentar das sequências do item 2b, portanto a probabilidade de duas bolas coloridas
aparecerem juntas será 1− 336
720 = 384
720 = 53, 33%.
3. A, B e C são eventos em um espaço de probabilidade, tais que P (A) = P (B) = P (C) = 3
4 .
(a) Qual o menor valor posśıvel para P (A ∩ B)?
Resposta: 1
2 (1 ponto)
Solução:
1 ≥ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)− P (A ∩ B) =
3
4
+
3
4
− P (A ∩ B) =
3
2
− P (A ∩ B)
⇒ P (A ∩ B) ≥
3
2
− 1 =
1
2
(b) Qual o menor valor posśıvel para P (A ∩ B ∩ C)?
Resposta: 1
4 (1 ponto)
Solução:
1 ≥ P (C ∪ (A ∩ B)) = P (C) + P (A ∩ B)− P (A ∩ B ∩ C)
≥
3
4
+
1
2
− P (A ∩ B ∩ C) =
5
4
− P (A ∩ B ∩ C)
⇒ P (A ∩ B ∩ C) ≥
5
4
− 1 =
1
4
(c) É posśıvel que A ∩ B ∩ C = ∅?
Resposta: Não. (1 ponto)
Solução:
Não, pois P (A ∩ B ∩ C) ≥ 1
4 e P (∅) = 0.
1
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
1a Prova
06 de julho de 2015
1. A e B são eventos em um espaço de probabilidade. Classifique como verdadeiras
(V) ou falsas (F) as afirmações abaixo:
(a) (F) Se P (A) = 0, então A = ∅
(b) (F) Se P (B) = 1, então B = Ω
(c) (F) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A)P (B)
(d) (F) P (A ∩B) = P (A) · P (B)
(e) (V) Se P (A) = 1, então P (B ∩A) = P (B)
(f) (V) Se P (B) = 1, então A e B são independentes
(g) (V) Se P (A|B) P (A) + P (B)− P (A)P (B)
(h) (F) Se P (A ∪B) = P (A), então P (B) = 0
Atenção: Você não precisa classificar todos os ı́tens acima, mas cada classificação
errada anulará uma certa.
2. Qual o coeficiente do termo a2b3c no desenvolvimento de (a + b + c)6?(
6
2, 3, 1
)
= 6!
2!3!1!
= 60
3. Cinco bolas idênticas devem ser acondicionadas em três caixas rotuladas por 1,
2 e 3. De quantas maneiras distintas isso pode ser feito, se
(a) admitirem-se caixas vazias.(
7
2
)
= 21
(b) não se admitirem caixas vazias.(
4
2
)
= 6
4. Sabendo-se que A, B, C e D são eventos independentes em um espaço de proba-
bilidade e que P (A) = P (B) = P (C) = P (D) = 1
3
, determine P (A∪B ∪C ∪D)
(a) utilizando a fórmula de inclusão-exclusão.
4 · 1
3
− 6 · 1
9
+ 4 · 1
27
− 1
81
= 65
81
(b) utilizando uma das leis de De Morgan.
1−
(
2
3
)4
= 65
81
5. Uma urna possui duas moedas: uma honesta, a outra com duas caras. Uma
moeda é sorteada e lançada duas vezes. Considere os eventos:
E1 : escolhe-se a moeda honesta.
E2 : escolhe-se a moeda com duas caras.
C1 : observa-se uma cara no primeiro lançamento.
C2 : observa-se uma cara no segundo lançamento.
2
(a) Determine P (C1), P (C2), P (C1 ∩ C2), P (E2|C1) e P (E2|C1 ∩ C2).
P (C1) = P (C2) = 1
2
· 1
2
+ 1 · 1
2
= 3
4
P (C1 ∩ C2) = 1
4
· 1
2
+ 1 · 1
2
= 5
8
P (E2|C1) =
1· 1
2
1
2
1
2
+1 1
2
= 2
3
P (E2|C1 ∩ C2) =
1· 1
2
1
4
1
2
+1 1
2
= 4
5
(b) C1 e C2 são independentes, negativamente correlacionados, ou positiva-
mente correlacionados?
P (C1 ∩ C2) = 5
8
> 9
16
= 3
4
· 3
4
= P (C1) · P (C2).
C1 e C2 estão positivamente correlacionados.
Sugestão: Utilize o Teorema da Probabilidade Total para o obter as probabilidades
não condicionadas e o Teorema de Bayes para obter as probabilidades condicionadas.
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
1a Prova
02 de agosto de 2016
1. A, B e C são eventos em um espaço de probabilidade. Admita que as probabi-
lidades condicionais estejam todas bem definidas e classifique como verdadeiras
(V) ou falsas (F) as afirmações abaixo:
(a) ( ) Se A ⊂ B, então P (A) P (A), então P (B|A) P (Bc)
(e) ( ) Se P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B)P (C), então P (A ∩B) = P (A)P (B)
(f) ( ) P (A ∩B ∩ C) = P (B)P (C|B)P (A|B ∩ C)
(g) ( ) P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|C)P (C)
(h) ( ) Se P (A) = P (B) = P (C) = 1, então P (A ∩B ∩ C) pode não ser 1
(i) ( ) Se P (A|B) = P (A), então P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A)P (B)
(j) ( ) P (A ∪B) + P (A ∩B) + P (A ∪ C) + P (A ∩ C) = 2P (A) + P (B) + P (C)
Atenção: Você não precisa classificar todos os ı́tens acima, mas cada classificação
errada anulará uma certa.
Justifique as suas respostas nas próximas questões.
2. De quantas maneiras diferentes podemos distribuir seis bolas indistingúıveis em
três caixas A, B e C
(a) admitindo que algumas caixas fiquem vazias?
(b) exigindo que nenhuma caixa fique vazia?
(c) Quantos termos (parcelas) tem o desenvolvimento (a+ b+ c)6?
3. Dois dados honestos com quatro faces são lançados sucessivamente. Considere
os seguintes eventos:
S=5: a soma dos dois resultados é 5.
S=6: a soma dos dois resultados é 6.
D1=4: o resultado do 1o dado é 4.
D2=1: o resultado do 2o dado é 1.
Determine as probabilidades condicionais e estabeleça as correlações (positiva,
negativa, ou nula) entre os seguintes eventos:
(a) P (D1 = 4|S = 5)
(b) P (D2 = 1|S = 6)
(c) P (D1 = 4|S = 6)
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
1a Prova
19 de julho de 2017
1. Considere o desenvolvimento (a + b + c + d)7.
(a) Qual o coeficiente do termo a3b2c1d1? (1 ponto)
Resposta: 7!
3!2!
= 420
(b) Qual a soma dos coeficientes de todos os termos? (1 ponto)
Resposta: 47 = 16.384
(c) Quantos termos há? (1 ponto)
Resposta: 10!
7!3!
= 120
2. Uma prova será constitúıda de quatro questõesretiradas ao acaso de uma lista
de exerćıcios com dez problemas. Um aluno sabe resolver (apenas) cinco desses
dez problemas. Qual a probabilidade de
(a) o aluno acertar as quatro questões da prova. (1 ponto)
Resposta:
C5,4
C10,4
= 2, 38%
(b) o aluno acertar pelo menos três questões da prova. (1 ponto)
Resposta:
C5,4+C5,3C5,1
C10,4
= 26, 19%
3. Uma urna contém cinco moedas, das quais quatro são honestas e uma tem duas
caras. Uma moeda é escolhida ao acaso e arremessada duas vezes.
(a) Qual a probabilidade de se observarem duas caras? (1 ponto)
Resposta: 2
5
(b) Qual a probabilidade de a moeda escolhida ser a de duas caras sabendo-se
que se observaram duas caras? (1 ponto)
Resposta: 1
2
Solução: Seja E1 o evento onde uma moeda honesta é escolhida, E2 o evento onde a
moeda de duas caras é escolhida e A o evento onde observam-se duas caras.
P (A|E1) = 1
4
, P (A|E2) = 1, P (E1) = 4
5
, P (E2) = 1
5
.
P (A) = P (A|E1)P (E1) + P (A|E2)P (E2) = 1
4
4
5
+ 1 1
5
= 2
5
.
P (E2|A) =
P (A|E2)P (E2)
P (A|E1)P (E1)+P (A|E2)P (E2)
=
1 1
5
1
4
4
5
+1 1
5
= 1
2
.
4. Numa modalidade de pôquer as doze figuras (reis, damas e valetes de espadas,
paus, copas e ouros) são distribúıdas em quatro mãos com três cartas cada uma.
Qual a probabilidade de haver um rei em cada mão? (3 pontos)
Resposta:
C4,1C8,2
C12,3
× C3,1C6,2
C9,3
× C2,1C4,2
C6,3
× C1,1C2,2
C3,3
= 16, 36%
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
1a Prova
02 de agosto de 2018
Aviso Importante: Escreva suas respostas claramente nos campos indicados. Não
serão consideradas resoluções sem o preenchimento desses campos!
1. Considere o desenvolvimento (a + b + c)8.
(a) Qual o coeficiente do termo a3b2c3?
Resposta: (1 ponto)
(b) Qual a soma dos coeficientes de todos os termos?
Resposta: (1 ponto)
(c) Quantos termos há?
Resposta: (1 ponto)
(d) Quantos termos há sem expoentes nulos?
Resposta: (1 ponto)
2. No que segue, um dado honesto com n faces é um dispositivo que gera os números
1, 2, 3, ..., n com a mesma probabilidade. Um experimento aleatório consiste
de duas etapas:
Etapa 1: Numa urna há 3 dados honestos: um com uma, outro com duas
e o terceiro com três faces. Um deles é sorteado ao acaso (com 1/3 de
probabilidade para cada dado).
Etapa 2: Lança-se o dado escolhido e anota-se o valor observado.
(a) Qual a probabilidade de se observar o valor 1 na Etapa 2?
Resposta: (1,5 pontos)
(b) Qual a probabilidade de o dado escolhido na Etapa 1 ter sido o dado com
apenas uma face, dado que o valor observado na Etapa 2 foi 1?
Resposta: (1,5 pontos)
3. Numa urna há seis bolas numeradas de 1 a 6. As seis bolas são extráıdas
sequencialmente (sem reposição e com equiprobabilidade) e alocadas em três
caixas numeradas de 1 a 3 (havendo exatamente duas bolas em cada caixa no
final do experimento).
(a) Quantas possibilidades existem para a configuração final desse experi-
mento?
Resposta: (1,5 pontos)
(b) Qual a probabilidade de se obter um número ı́mpar e um número par em
cada caixa?
Resposta: (1,5 pontos)
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
1a Prova
05 de novembro de 2018
Aviso Importante: Escreva suas respostas claramente nos campos indicados. Não
serão consideradas resoluções sem o preenchimento desses campos!
1. Considere o desenvolvimento (a + b + c + d)9.
(a) Qual o coeficiente do termo a3b2c3d?
Resposta: (0.6 ponto)
(b) Qual a soma dos coeficientes de todos os termos?
Resposta: (0.6 ponto)
(c) Quantos termos há?
Resposta: (0.6 ponto)
(d) Quantos termos há sem expoentes nulos?
Resposta: (0.6 ponto)
(e) Qtos termos há se expoentes sobre a e b forem pelo menos 3?
Resposta: (0.6 ponto)
2. Uma urna contém oito bolas: quatro brancas e quatro pretas. Extraem-se 4
bolas e observa-se o resultado.
(a) Qual a probabilidade de se observarem duas bolas brancas e duas bolas
pretas, se não houver reposição.
Resposta: (1.5 pontos)
(b) Qual a probabilidade de se observarem duas bolas brancas e duas bolas
pretas, se houver reposição.
Resposta: (1.5 pontos)
3. Uma urna contém 8 bolas numeradas de 1 a 8. As bolas são extráıdas sequenci-
almente sem reposição e distribúıdas entre quatro pessoas, recebendo cada uma
duas bolas exatamente. A cada pessoa é atribúıda a soma dos números das bolas
que recebeu. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:
(a) as quatro pessoas apresentam somas pares.
Resposta: (2 pontos)
(b) as quatro pessoas apresentam somas ı́mpares.
Resposta: (2 pontos)
4. (Opcional) A e B são eventos em um espaço de probabilidade. Classifique
as afirmações abaixo como verdadeiras, ou falsas, apresentando uma prova no
primeiro caso, ou um contra-exemplo no segundo caso:
(a) Se P (A) = 1, então P (B ∩A) = P (B).
Resposta: (1 ponto)
(b) Se P (A ∪B) = P (A), então P (B) = 0.
Resposta: (1 ponto)
.
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
1a Prova
02 de agosto de 2019
Nome: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Instruções para a Prova
• Indique as suas respostas na folha de questões. Ela é parte integrante da prova!
• Justifique as suas respostas na folha de respostas.
1. Considere o desenvolvimento do multinômio (a + b + c + d + e)12.
(a) Qual o coeficiente do termo a3b2c3d2e2?
Resposta: (0,5 ponto)
(b) Qual a soma dos coeficientes de todos os termos?
Resposta: (0,5 ponto)
(c) Quantos termos há?
Resposta: (0,5 ponto)
(d) Quantos termos há sem expoentes nulos?
Resposta: (0,5 ponto)
(e) Qtos termos há sem a constante e?
Resposta: (0,5 ponto)
(f) Qtos termos há sem a constante e e com expoente 1 sobre a constante d?
Resposta: (0,5 ponto)
2. Em uma cidade constitúıda por quarteirões, Ebenezer, um cidadão embriagado, a cada ins-
tante n, se desloca uma quadra para o norte: (xn, yn) → (xn, yn + 1) = (xn+1, yn+1), ou
uma quadra para o leste: (xn, yn) → (xn + 1, yn) = (xn+1, yn+1).
Assumindo que Ebenezer se encontre inicialmente no bar do O’Malley (coordenadas (0, 0)),
ou seja (x0, y0) = (0, 0),
(a) Quantos caminhos diferentes ele pode percorrer até o instante n=14?
Resposta: (0,4 ponto)
(b) Quantos caminhos chegam até a sua casa, situada nas coordenadas (8,6)?
Resposta: (0,4 ponto)
(c) Dos caminhos que chegam até a sua casa, quantos passam pela farmácia, situada nas
coordenadas (4,3)?
Resposta: (0,4 ponto)
Assumindo que todos os caminhos são equiprováveis,
(a) Qual a probabilidade de Ebenezer chegar à sua casa?
Resposta: (0.4 ponto)
(b) Qual a probabilidade de Ebenezer chegar à sua casa, passando pela farmácia?
Resposta: (0.4 ponto)
3. (a) De quantas maneiras é posśıvel embaralhar um baralho com 9 cartas vermelhas e 4
cartas pretas (admitindo que as cartas sejam distingúıveis apenas pela cor)?
Resposta: (1 ponto)
(b) De quantas maneiras é posśıvel embaralhar o baralho de modo que as cartas pretas
não apareçam juntas?
Resposta: (1 ponto)
(c) Admitindo-se que o embaralhamento seja perfeito (i.e. que todas as configurações
sejam equiprováveis), qual a probabilidade relativa ao item 3b?
Resposta: (1 ponto)
4. A , B , C e D são eventos em um espaço de probabilidade, tais que P (A) = P (B) = P (C) =
P (D) = 0, 36, P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = P (C ∩ D) = P (D ∩ A) = 0, 12, P (A ∩ C) =
P (B ∩D) = 0, 04, P (A∩B ∩C) = P (A∩B ∩D) = P (A∩C ∩D) = P (B ∩C ∩D) = 0, 04,
P (A ∩ B ∩ C ∩ D) = 0, 04.
(a) P (A ∪ B ∪ C ∪ D)=?
Resposta: (1 ponto)
(b) Pode-se afirmar que A ∪ B ∪ C ∪ D = Ω? Por quê?
Resposta: (1 ponto)
.
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
First Exam
August 9th, 2019
Name: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Guidelines for the Exam
• Write your answers on this question sheet. It’s part of the exam!
• Justify your answers on the answer sheet.
1. Regarding the multinomial (a + b + c + d + e)12,
(a) What is the coefficient of the term a3b2c3d2e2?
Answer: (0.5 point)
(b) What is the sum of the coefficients of all the terms?
Answer: (0.5 point)
(c) How manyterms are there?
Answer: (0.5 point)
(d) How many terms are there without null exponents?
Answer: (0.5 point)
(e) How many terms are there without the constant e?
Answer: (0.5 point)
(f) How many terms are there without the constant e and with exponent 1 over d?
Answer: (0.5 point)
2. Ebenezer, a drunkard townsman, at each (discret) time n, either moves a block to the north:
(xn, yn) → (xn, yn + 1) = (xn+1, yn+1), or a block to the east: (xn, yn) → (xn + 1, yn) =
(xn+1, yn+1).
Assuming that Ebenezer starts his journey at O’Malley’s Pub, whose coordenates are (0, 0)
(i.e. (x0, y0) = (0, 0)),
(a) How many distinct paths can Ebenezer cover until time n=14?
Answer: (0.4 point)
(b) How many paths lead him to his home, whose coordinates are (8,6)?
Answer: (0.4 point)
(c) How many paths leading to his home pass by the drugstore, whose coordinates are
(4,3)?
Answer: (0,4 point)
Assuming all the paths are equiprobable,
(d) What’s the probability that Ebenezer reaches his home?
Answer: (0.4 point)
(e) What’s the probability that Ebenezer reaches his home, passing through the drugstore?
Answer: (0.4 point)
3. (a) In how many ways a deck with 9 red cards and 4 black cards can be shuffled, if the
cards are only distinguishable by their colours?
Answer: (1 point)
(b) In how many shufflings the black cards don’t appear together?
Answer: (1 point)
(c) Assuming that all shufflings are equiprobable, what’s the probability regarding the
event described in item 3b?
Answer: (1 point)
4. A , B , C e D are events in a probability space, such that P (A) = P (B) = P (C) = P (D) =
0.3025, P (A∩B) = P (B∩C) = P (C∩D) = P (D∩A) = 0.055, P (A∩C) = P (B∩D) = 0.01,
P (A∩B∩C) = P (A∩B∩D) = P (A∩C∩D) = P (B∩C∩D) = 0.01, P (A∩B∩C∩D) = 0.01.
(a) P (A ∪ B ∪ C ∪ D)=?
Answer: (1 point)
(b) Is it possible to claim that A ∪ B ∪ C ∪ D = Ω? Why?
Answer: (1 point)
.
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
2a Prova
30 de agosto de 2019
Nome: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Instruções para a Prova
• Indique as suas respostas na folha de questões. Ela é parte integrante da prova!
• Justifique as suas respostas na folha de respostas.
• Salvo menção expĺıcita em contrário, condições de equiprobabilidade e independência
são assumidas nessa prova.
1. A urna U1 contém duas bolas numeradas de 1 a 2, a urna U2 contém três bolas numeradas
de 1 a 3 e a urna U3 contém quatro bolas numeradas de 1 a 4. Escolhe-se uma urna ao acaso
e dela extraem-se duas bolas (sem reposição).
(a) Qual a probabilidade de os números sorteados serem 1 e 2?
Resposta: (1 ponto)
(b) Qual a probabilidade de a urna escolhida ter sido a urna U1, sabendo-se que os números
sorteados foram 1 e 2?
Resposta: (1 ponto)
(c) Qual a probabilidade de a urna escolhida ter sido a urna U2, sabendo-se que os números
sorteados foram 1 e 2?
Resposta: (0,5 ponto)
(d) Qual a probabilidade de a urna escolhida ter sido a urna U3, sabendo-se que os números
sorteados foram 1 e 2?
Resposta: (0,5 ponto)
2. (a) Os eventos A, B, C e D são independentes e têm probabilidade 1/2 cada um.
Qual a probabilidade da união dos quatro eventos? Resposta: (1 ponto)
(b) A moeda M1 gera caras com probabilidade de 2/5, as moedas M2 e M3 são honestas e
a moeda M4 gera caras com probabilidade de 3/5. Qual a probabilidade de se observar
pelo menos uma cara, quando as quatro moedas são lançadas?
Resposta: (1 ponto)
3. Uma urna contém quatro bolas numeradas de 1 a 4. Extraem-se duas bolas (com reposição)
e somam-se os dois números extráıdos. O procedimento é repetido até que ocorra a soma 5,
ou a soma 3.
(a) Qual a probabilidade de a soma 5 ocorrer antes da soma 3?
(Faça as contas explicitamente!) Resposta: (1,5 pontos)
(b) Qual a probabilidade de a soma 3 ocorrer antes da soma 5?
(Faça as contas explicitamente!) Resposta: (0,5 ponto)
(c) Qual a probabilidade de nunca ocorrer soma 5, ou soma 3? Isso pode acontecer?
(Argumente com base nos resultados acima.) Resposta: (0,5 ponto)
4. Uma urna contém seis bolas numeradas de 1 a 6. Extraem-se três bolas (sem reposição) e
registra-se o maior número dentre os números das bolas extráıdas. Seja X esse número.
(a) Que valores X pode assumir?
Resposta: (0,5 ponto)
(b) Qual a função massa de probabilidade de X?
Resposta: (1 ponto)
(c) Qual o valor médio de X?
Resposta: (0,5 ponto)
(d) Qual a variância de X?
Resposta: (0,5 ponto)
.
Introduction to Probability and Statistics - BC0406
Second Exam
August 30th, 2019
Name: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Guidelines for the Exam
• Write your answers on this question sheet. It’s part of the exam!
• Justify your answers on the answer sheet.
• Unless otherwise stated, equiprobability and independence conditions are assumed
throughout this exam.
1. Urn U1 contains 2 balls numbered from 1 to 2, urn U2 contains 3 balls numbered from 1 to
3, and urn U3 contains 4 balls numbered from 1 to 4. One urn is chosen randomly and from
it two balls are drawn (without reposition).
(a) What’s the probability that balls number 1 and number 2 are drawn?
Answer: (1.0 point)
(b) What’s the probability that urn U1 has been chosen under the condition that balls
number 1 and number 2 have been drawn?
Answer: (1.0 point)
(c) What’s the probability that urn U2 has been chosen under the condition that balls
number 1 and number 2 have been drawn?
Answer: (0.5 point)
(d) What’s the probability that urn U3 has been chosen under the condition that balls
number 1 and number 2 have been drawn?
Answer: (0.5 point)
2. (a) Events A, B, C and D are independent and have probability 1/2. What’s the proba-
bility of the union of these four events?
Answer: (1.0 point)
(b) Coin C1 shows heads with probability 1/3, coins C2 and C3 are honest and coin C4
shows heads with probability 2/3. What’s the probability of observing at least a head,
when the four coins are tossed together?
Answer: (1.0 point)
3. An urn contains four balls, numbered from 1 to 4. Two balls are drawn (with reposition)
and their numbers are added up. This procedure is repeated until either the sum 5, or the
sum 3 occurs.
(a) What’s the probability that the sum 5 occurs prior to the sum 3? (Calculate explicitly!)
Answer: (1.5 points)
(b) What’s the probability that the sum 3 occurs prior to the sum 5? (Calculate explicitly!)
Answer: (0.5 point)
(c) What’s the probability that neither of these sums ever occurs? Can it happen?
(Argue on the basis of your prior results.) Answer: (1 point)
4. An urn contains three black balls and four white balls. The balls are drawn sequentially
(without reposition) until the first white ball is drawn. Let N be the number of balls that
are drawn from the urn.
(a) Which values can N take on?
Answer: (0.5 point)
(b) Calculate the probability of N taking each one of the values described above.
Answer: (1.5 points)
.
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
Prova Substitutiva
3 de setembro de 2019
Nome: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Instruções para a Prova
• Indique as suas respostas na folha de questões. Ela é parte integrante da prova!
• Justifique as suas respostas na folha de respostas.
• Salvo menção expĺıcita em contrário, condições de equiprobabilidade e independência
são assumidas nessa prova.
1. A cada instante n ∈ N um móvel, partindo da origem (x0, y0) = (0, 0), se desloca uma
unidade de comprimento para a direita ((xn, yn) → (xn + 1, yn) = (xn+1, yn+1)), ou uma
unidade de comprimento para frente ((xn, yn) → (xn, yn + 1) = (xn+1, yn+1)).
(a) Quantas trajetórias posśıveis existem até o instante n = 15?
Resposta: (0,5 ponto)
(b) Quantas trajetórias passam pelo ponto (7, 8)?
Resposta: (0,5 ponto)
(c) Quantas trajetórias passam pelo ponto (3, 4) e pelo ponto (7, 8)?
Resposta: (0,5 ponto)
(d) Qual a probabilidade de o móvel passar pelo ponto (7, 8)?
Resposta: (0,5 ponto)
(e) Qual a probabilidadede o móvel passar pelo ponto (3, 4) e pelo ponto(7, 8)?
Resposta: (0,5 ponto)
2. Os ases, 2s, 3s, 4s, 5s dos quatro naipes (vinte cartas) são distribúıdos entre 4 mãos com
cinco cartas em cada uma.
(a) De quantas formas as cartas podem ser distribúıdas entre os quatro jogadores?
Resposta: (1 ponto)
(b) De quantas formas as cartas podem ser distribúıdas entre os quatro jogadores de modo
que cada um receba um ás?
Resposta: (1 ponto)
(c) Qual a probabilidade de que cada jogador receba um ás?
Resposta: (0.5 ponto)
3. Uma urna contém quatro bolas numeradas de 1 a 4. Extraem-se duas bolas (com reposição)
e somam-se os dois números extráıdos. Considere os seguintes eventos:
A: a soma é 6.
B: a soma é 5.
C: a primeira bola extráıda tem o número 2.
D: a segunda bola extráıda tem o número 1.
Determine:
(a) P (C|A)
Resposta: (0,5 ponto)
(b) P (D|B)
Resposta: (0,5 ponto)
(c) P (D|A)
Resposta: (0,5 ponto)
Classifique os pares de eventos (C,A), (D,B) e (D,A) como independentes, positivamente
correlacionados ou negativamente correlacionados.
Resposta: (1 ponto)
4. Uma urna contém três bolas pretas e quatro bolas brancas. As bolas são extráıdas sequenci-
almente (sem reposição) até que a primeira bola branca seja retirada. Seja N a quantidade
de bolas extráıdas.
(a) Que valores N pode assumir?
Resposta: (0.5 ponto)
(b) Qual a função massa de probabilidade de N?
Resposta: (1 ponto)
(c) Qual o valor médio de N?
Resposta: (0.5 ponto)
(d) Qual a variância de N?
Resposta: (0.5 ponto)
.
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
Prova Final
10 de outubro de 2019
Nome: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Instruções para a Prova
• Indique as suas respostas na folha de questões. Ela é parte integrante da prova!
• Justifique as suas respostas na folha de respostas.
• Salvo menção expĺıcita em contrário, condições de equiprobabilidade e independência
são assumidas nessa prova.
1. Considere o desenvolvimento do multinômio (a + b + c + d + e)12.
(a) Qual o coeficiente do termo a3b2c3d2e2?
Resposta: (0,5 ponto)
(b) Qual a soma dos coeficientes de todos os termos?
Resposta: (0,5 ponto)
(c) Quantos termos há?
Resposta: (0,5 ponto)
(d) Quantos termos há sem expoentes nulos?
Resposta: (0,5 ponto)
(e) Quantos termos há sem expoentes nulos, ou unitários?
Resposta: (0,5 ponto)
2. (a) De quantas maneiras é posśıvel embaralhar um baralho com 10 cartas vermelhas e 3
cartas pretas (admitindo que as cartas sejam distingúıveis apenas pela cor)?
Resposta: (0,5 ponto)
(b) De quantas maneiras é posśıvel embaralhar o baralho de modo que as cartas pretas
não apareçam juntas?
Resposta: (0,5 ponto)
(c) De quantas maneiras é posśıvel embaralhar o baralho impondo que haja ao menos
duas cartas vermelhas entre as cartas pretas?
Resposta: (0,5 ponto)
(d) Qual a probabilidade relativa ao item 2b?
Resposta: (0,5 ponto)
(e) Qual a probabilidade relativa ao item 2c?
Resposta: (0,5 ponto)
3. (a) Os eventos A, B, C e D são independentes e têm probabilidade 1/3 cada um.
Qual a probabilidade da união dos quatro eventos? Resposta: (1 ponto)
(b) A moeda M1 gera caras com probabilidade de 1/5, as moedas M2 e M3 são honestas e
a moeda M4 gera caras com probabilidade de 3/5. Qual a probabilidade de se observar
pelo menos uma cara, quando as quatro moedas são lançadas?
Resposta: (1 ponto)
4. Os ases, 2s, 3s e 4s dos quatro naipes (dezesseis cartas) são distribúıdos entre 4 mãos com
quatro cartas em cada uma.
(a) De quantas formas as cartas podem ser distribúıdas entre os quatro jogadores?
Resposta: (1 ponto)
(b) De quantas formas as cartas podem ser distribúıdas entre os quatro jogadores de modo
que cada um receba um ás?
Resposta: (1 ponto)
(c) Qual a probabilidade de que cada jogador receba um ás?
Resposta: (1 ponto)
.
Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica - BC0406
Final Exam
October 10th, 2019
Name: Francisco Jose Pereira da Silva Santos Cardoso R.A. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Guidelines for the Exam
• Write your answers on this question sheet. It’s part of the exam!
• Justify your answers on the answer sheet.
• Unless otherwise stated, conditions of independence and equiprobability are assumed
throughout this exam.
1. Regarding the multinomial (a + b + c + d + e)12,
(a) What is the coefficient of the term a3b2c3d2e2?
Answer: (0.5 point)
(b) What is the sum of the coefficients of all the terms?
Answer: (0.5 point)
(c) How many terms are there?
Answer: (0.5 point)
(d) How many terms are there without null exponents?
Answer: (0.5 point)
(e) How many terms are there without either null, or unitary exponents?
Answer: (0.5 point)
2. (a) In how many ways a deck with 10 red cards and 3 black cards can be shuffled, if the
cards are only distinguishable by their colours?
Answer: (0.5 point)
(b) In how many shufflings the black cards don’t appear together?
Answer: (0.5 point)
(c) In how many shufflings there are at least two red cards between the black cards?
Answer: (0.5 point)
(d) What’s the probability regarding the event described in item 2b?
Answer: (0.5 point)
(e) What’s the probability regarding the event described in item 2c?
Answer: (0.5 point)
3. (a) Events A, B, C and D are independent and have probability 1/3 (each one). What’s
the probability of the union of these four events?
Answer: (1.0 point)
(b) Coin C1 shows heads with probability 1/3, coins C2 and C3 are honest and coin C4
shows heads with probability 1/3. What’s the probability of observing at least a head,
when the four coins are tossed together?
Answer: (1.0 point)
4. The aces, 2s, 3s and 4s of the four suits (sixteen cards) are distributed amongst four hands
with four cards in each one.
(a) In how many ways can the cards be distributed amongst the four players?
Answer: (1 point)
(b) In how many ways can the cards be distributed amongst the four players, provided
each player receives one ace?
Answer: (1 point)
(c) What’s the probability that each player receives one ace?
Answer: (1 point)