Aulas 9 e 10 - Obras de Terra - 2024-2

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Universidade Paulista
DISCIPLINA: Obras de Terra
Aulas: 09 e 10
Curso de Engenharia Civil
SÉRIE: 9 ° /e 10° Semestre
Prof Marcus dos Reis
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Aula ao vivo com atividades 
OT 20h45 as 22h00 
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CONTENÇÃO DE MACIÇOS - EMPUXO
Todas as obras de engenharia que requerem escavações ou
contenção sofrem esforços.
Esforços estes devido ao peso próprio do maciço de terra,
nível de água e até mesmo as sobrecargas geradas por alguns
tipos de elementos construtivos.
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CONTENÇÃO DE MACIÇOS - EMPUXO
A somatória destas cargas são classificadas como sendo os
empuxos, portanto este tipo de carregamento é um grande
problema da engenharia geotécnica e deve ser previsto durante a
fase de projeto.
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CONTENÇÃO DE MACIÇOS - EMPUXO
Para melhor entendimento, podem-se dividir os empuxos em três partes principais,
sendo:
1) Empuxo de terra (peso próprio do solo) gerado pela ação produzida pelo maciço
terroso sobre as obras com ele em contato;
2) Empuxo devido a sobrecargas externas ao solo, podendo ser acidentais ou
permanentes (tais como: edifícios, piso estrutural, equipamentos, rodovias, trafego de
veículos, estocagem de materiais, obras provisórias, estradas, pontes, estabilização de
encostas, fundações, canalizações, saneamento, metrôs entre outras obras que requerem
a contenção do terreno). Importantes as considerações de sobrecargas especiais de
elementos próximo ao talude, vala ou muro.
3) Empuxo devido à água, pressões hidrostáticas geradas pelas condicionantes
hidrogeológicas da região, das permeabilidades das várias camadas de solo. Podemos
afirmar que a influência da água é marcante na estabilidade de uma estrutura de arrimo,
basta dizer que o acúmulo de água por deficiência de drenagem gera esforços que devem
ser aliviados pelos sistemas de drenagem.
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CONTENÇÃO DE MACIÇOS - EMPUXO
Cabe ressaltar que dentre as atividades de projeto propriamente ditas,
devem ser realizadas análises preliminarmente, destacando os seguintes
pontos:
 Perfil geológico-geotécnico;
 Investigação do subsolo.
 Comportamento provável do solo, tendo em vista sua formação geológica e
suas características de resistência e deformabilidade, devido à obra em
questão.
 Efeito da água, o nível de deformações e tensões. Destaca-se que é
importante mapear o entorno a obra para verificar a existência de
adutoras (com ou sem rompimento).
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CONTENÇÃO DE MACIÇOS - EMPUXO
Na Figura, pode-se observar o coeficiente de empuxo lateral e deslocamento
de modelo de muros, baseado nos resultados clássicos de Terzaghi (1934) de
ensaios em modelos de muros de arrimo em areia.
Figura: Coeficiente de empuxo lateral e deslocamento de modelo de muro (Terzaghi, 1934).
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CONTENÇÃO DE MACIÇOS - EMPUXO
Para o dimensionamento de uma obra geotécnica, o valor do empuxo de terra,
assim como a distribuição das tensões ao longo da altura do elemento de
contenção, podem ser calculados por três métodos (clássicos, modernos e
empíricos), tendo como base algumas limitações e critérios de escolha dos
métodos de cálculo dos empuxos de solo sobre as estruturas de contenção. Os
três grupos básicos de métodos com características bem distintas, são eles:
VISÃO GERAL REFERENTE AO EMPUXO PARA O DIMENSIONAMENTO GEOTÉCNICO
Métodos clássicos (Rankine, Coulomb etc.),
Métodos modernos,
Métodos empíricos,
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B) Métodos modernos, ou métodos numéricos, que surgiram com o aparecimento
dos computadores e continuam a ser desenvolvidos, permitindo levar em conta
características de deformabilidade dos maciços e das contenções, dando origem a
cálculos de interação entre maciço e estrutura, como o "método dos elementos
finitos" e os baseados no conceito de "módulos de reação“.
C) Métodos empíricos, que se valem de medições feitas em modelos,
entre os quais cabe referir-se ao que foi publicado por Reimbert, M. & A.
(1969), para materiais pulverulentos (não coesivos), além de modelos
ensaiados em centrífugas.
A) Métodos clássicos (Rankine, Coulomb etc.), cujas teorias permitem o
cálculo de empuxos ativos e passivos com base apenas em parâmetros
geotécnicos simples. Essa simplicidade faz com que esses métodos continuem a
ser empregados, sobretudo para projeto de obras de pequeno e médio porte,
como para anteprojeto de obras com maior vulto.
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CONTENÇÃO DE MACIÇOS - EMPUXO
Processos clássicos para determinação dos esforços
Serão abordados apenas os processos clássicos de determinação dos esforços
sendo os empuxos baseados nas teorias da Elasticidade, Rankine e Coulomb,
sendo que os empuxos (repouso, ativo e passivo) e coeficientes de empuxos
(repouso, ativo e passivo) são representados a seguir:
 Empuxos nas condições de repouso (E0), passiva (Ep) e ativa (Ea);
 Coeficientes de empuxos em repouso (K0), passivo (Kp) e ativo (Ka).
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CONTENÇÃO DE MACIÇOS - EMPUXO
no ponto “A” em uma
determinada profundidade Z
,,
𝑍 = ℎ = 𝑍 = h = profundidade até ponto A ; 
𝜎 , = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 ; 𝛾 = 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜
𝟎 𝒗
A pressão efetiva lateral que o solo exerce
na profundidade h será dada pela
expressão abaixo, sendo as tensões
vertical (v) e horizontal (h) valores de
tensões efetivas, e não de tensões totais.
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CONTENÇÃO DE MACIÇOS - EMPUXO
Comportamento das tensões horizontais em uma determinada profundidade 
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CONTENÇÃO DE MACIÇOS - EMPUXO
A Figura ilustra o diagrama de pressões horizontais em função da tensão, cuja área
implica na resultante dos esforços para hipótese considerada sem pressão neutra.
(A) representa o diagrama de pressões
horizontais em repouso em função da tensão
efetiva no solo sem pressão
(B) ilustra o diagrama de pressões horizontais
em função da tensão efetiva, cuja área implica
nas resultantes dos esforços para a hipótese
considerada com pressão neutra.
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CONTENÇÃO DE MACIÇOS - EMPUXO
Variações no tipo de empuxo em função do deslocamento da parede solo
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Estado de tensões (ativo, repouso e passivo).
Variação do estado de tensões para solo sem coesão, com a envoltória de ruptura partindo
da origem e ao traçarmos o círculo de Mohr-Coulomb, podemos observar os três estados de
tensões (ativo, repouso e passivo) para um determinado tipos de solos.
𝜎 k . γZ𝜎 é dado por k . γZ.
 σ = γ. Z σ = γ. Z
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EMPUXO ATIVO NA ESTRUTURA QUE SE DESLOCA PARA FORA DO MACIÇO DE TERRA 
Estado de empuxo ativo afasta o solo 
O maciço de solo sofre ação de afastamento do plano interno da estrutura de contenção 
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EMPUXO PASSIVO NA ESTRUTURA SE DESLOCA CONTRA O MACIÇO DE TERRA 
O macio de solo tende a ser comprimido pela estrutura, gerando ao longo do plano de ruptura, uma reação ao
“arrastamento”
Estado de empuxo passivo comprime o solo 
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Para os cálculos/determinações dos Empuxos 
Para determinamos a resultante do empuxo que atua nestes casos, o procedimento
será similar ao demonstrado, alterando apenas o coeficiente de empuxo, ativo ou
passivo, conforme iremos observar nas equações apresentadas a seguir:
Para empuxo ativo: Para empuxo passivo: 
Coeficientes de pressão ativa da terra (Ka) e pressão passiva da terra (Kp).
k =
 ∅
 ∅
 k =
1 + sen ∅
1 − sen ∅
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Empuxo ativo: 
Empuxo passivo
TEORIAS DE RANKINE (1857)
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20
Fala pessoal!!
Quais dúvidas ou comentários?
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De acordo com Caputo e Caputo, 2017, a teoria de Rankine constitui a base de um
método que permite determinaras pressões sobre uma determinada estrutura de
suporte rígida quando está em contato com um maciço em estado de equilíbrio limite.
Foi originalmente desenvolvida pelo autor em 1857, com algumas observações
diferentes da teoria de Coulomb (1776).
Os processos clássicos utilizados para a determinação dos empuxos de terra
utilizam-se dos métodos de equilíbrio limite. Nestes métodos admite-se que a cunha
de solo situada em contato com a estrutura de suporte esteja num dos possíveis
estados de plastificação, ativo ou passivo.
Ele considera a totalidade da massa de solo em estado de equilíbrio plástico. Esta
cunha tenta deslocar-se da parte fixa do maciço e sobre ela são aplicadas as análises
de equilíbrio dos corpos rígidos (indeformável). A análise de Rankine se apoia nas
equações de equilíbrio interno do maciço.
TEORIAS DE RANKINE (1857)
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Rankine, no desenvolvimento de sua teoria, impõe algumas condições iniciais
pressupostas como fundamentais para os primeiros passos da análise da resistência ao
cisalhamento das massas de solos.
TEORIAS DE RANKINE (1857)
Empuxo ativo: Estado de tensões e plano de ruptura. 
- Cunha acompanha o movimento do deslocamento do muro, afastando-a no sentido
horizontal, devido (maior) = .
- Resist. ao cisalhamento desenvolvida ao longo do plano de ruptura reduz a ação de 
movimento.
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Para a condição de c = 0 (coesão nula), 𝟑 𝒉 e , temos:
Empuxo ativo
,
Portanto
ou
ou
 
sendo para a coesão =0, temos ,
logo
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Condição do empuxo passivo, conforme podemos observar na Figura.
Empuxo passivo: Estado de tensões e plano de ruptura
Cunha acompanha o movimento do muro, vencendo o seu peso e a resistência interna
ao cisalhamento, afastando-a no sentido vertical para cima, devido (menor)= .
Resistência ao cisalhamento desenvolvida ao longo do plano de ruptura soma-se ao
peso da cunha agindo sobre o parâmetro vertical, a maior possível. (maior) = .
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Para condição passiva, temos: e
Empuxo passivo: 
Substituindo na equação acima, tem-se:
Portanto,
Em função das expressões obtidas, temos:
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No caso de haver sobrecarga no terrapleno: 
Diagrama de tensões considerando uma sobrecarga no terrapleno
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No caso de haver sobrecarga no terrapleno: 
Sendo q = .h0
Sendo: 
𝟎
Altura equivalente de solo = 
O diagrama de tensões verticais terá uma pressão inicial devido à
altura equivalente de terra (ho), para a condição ativa, a saber:
Isto é, corresponde ao produto do coeficiente de empuxo ativo pela
tensão vertical atuante daquela “cota” (tensão horizontal função da
tensão vertical).
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NO CASO DE CONSIDERAR O SOLO TAMBÉM COESIVO: 
No caso de se considerar a ocorrência de fração fina (argilosa) no solo, o que implica
em também considerar a coesão “C” no cálculo, a equação analítica da ruptura
permanece completa, ou seja: .
No caso ativo:
O valor de ` será:
Ou ainda:
Logo: 
Portanto: 
. .
.
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– Diagrama de tensões (ativo) considerando o solo coesivo e aspecto de fendas de tração que tendem a ocorrer nos solos.
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– Diagrama de tensões (ativo) considerando o solo coesivo e aspecto de fendas de tração que tendem a ocorrer nos solos.
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Na equação a seguir, podemos observar a equação do empuxo ativo na consideração de resultante de empuxo,
temos:
𝐸 = 𝜎 . 𝑑𝑧 = 
1
2
𝛾𝑍 , 𝑡𝑔 45 −
𝜑
2
− 2𝐶ℎ. 𝑡𝑔 45 −
𝜑
2
 →
Sendo a profundidade ℎ :
𝛾ℎ 𝑡𝑔 45 − = 2𝐶ℎ. 𝑡𝑔 45 − → ℎ = ℎ𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 = 
.
. 𝑡𝑔 45 + = 2. 𝑍
Logo, podemos afirmar que a altura crítica para o empuxo ativo sobre a parede AB apresentado na Figura
anterior se anula. Nota-se que para esta altura, o macio se mantém estável sem alteração mesmo não tendo
nenhuma contenção.
Partindo do princípio, no caso da tensão horizontal, uma profundidade onde o empuxo ativo se anula. Nesse
caso, a condição para que se anule é:
Portanto as argilas moles, com 𝜑 = 0 , esses valores são descritos a seguir:
𝐸 = 
1
2
𝛾ℎ − 2𝑐ℎ 𝑒 ℎ = 
4𝑐
𝛾
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Para os solos coesivos, deve-se considerar a resultante de empuxo (Ea) como a tensão
correspondente a representada pela área do triângulo inferior
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Para o caso passivo, não implica apenas em substituir o coeficiente, como se vê:
No caso passivo:𝜎 = 𝜎 . 𝑁 + 2. 𝐶. 𝑁
O valor de 𝜎 será:𝜎 = 𝐾 . 𝜎 +2. 𝐶. 𝑘
O diagrama de tensões corresponde ao ilustrado na Figura 6.17, em que se pode observar que a parcela da
coesão 𝐸" é somada, e não subtraída à primeira parcela 𝐸 .
Resultante de empuxo passivo considerando o solo coesivo 
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NO CASO DE HAVER MAIS DE UMA CAMADA 
Para o perfil do subsolo com mudança das camadas de solos, devemos calcular o
comportamento das tensões desenvolvidas em cada camada individualmente, gerando assim
uma descontinuidade no gráfico, por haver alteração do coeficiente K uma vez que ,
 , e se , ,
Diagrama de tensões considerando ocorrência de várias camadas (Ex. φ2>φ1). 
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Assim, a camada 1 atuará como sobrecarga:
Em relação ao solo da camada 2 atuará como sobrecarga:
. .
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Camada de solo com nível de água (NA) 
o lençol freático estiver a uma profundidade ztendo uma altura de 3,5m, para conter um solo arenoso. A figura
a seguir representa as características técnicas do muro além do parâmetros geológico geotécnico do solo que
estará encostado no muro.
Cabe ressaltar que como sobrecarga devemos considerar “carga de multidão” distribuída sobre o
terrapleno, estimar em 50%, por motivo de segurança.
Pede-se calcular o parâmetros, considerando teoria de Rankine:
a) Determinação do diagrama de tensões de empuxo e os respectivos resultados;
b) Determinação do empuxo resultante (E);
c) Determinação do ponto de aplicação da resultante de empuxo (d) e
Exercício de aplicação 01
d) Considerando o conceito de “momento de tombamento” 𝑀 = 𝐸 . 𝑑 sendo “d” o “braço de
alavanca” considerando a distância na vertical do ponto de aplicação da resultante em relação ao ponto “A”
de “rotação” do muro, de acordo com a representação do muro fornecida.
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a) Diagrama de tensão horizontal (caso é de empuxo ativo)
Solução:
Resolução do exercício
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Resolução do exercício
Sobrecarga de multidão. Considerado 6 pessoas/m2.1,5, temos:
Obs.: Com majoração de 50% equivale a 6 pessoas de 80 kgf/m2
Tensões no topo e na base do muro:
 
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Resolução do exercício
Representação do diagrama de tensões de empuxo (a) e ilustração por meio de um croqui das
resultantes de empuxo (b):
b) representação dos resultados do empuxo corresponde ao diagrama de distribuição de pressão ao
longo da profundidade
𝐸 = 𝐸 + 𝐸 𝐸 = 𝑏 . ℎ + 
 .
𝐸 = 2,52 . 3,5 + 
, . ,
 𝐸 = 8,82 + 39,655 = 48,47 𝑘𝑁/𝑚 
c) Determinação e representação do local de aplicação do empuxo final (d=?)
𝐸. 𝑑 = 𝐸 . 𝑑 + 𝐸 . 𝑑 (𝑚) 
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Resolução do exercício
d) Determinação do momento de tombamento da terra em
relação ao muro, dado a equação do momento
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Chat
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Fim da aula
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ATÉ A PRÓXIMA!