Mecânica dos Fluidos: Equações e Conceitos

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Universidade Federal de Itajubá – Campus Itabira/IEI 
EMEi23 – Mecânica dos Fluidos 
4ª lista de exercícios – Equações diferenciais para uma partícula de fluido 
1. Definir: escoamento unidimensional; escoamento bidimensional; escoamento 
tridimensional; escoamento em regime permanente; escoamento em regime-
não permanente; escoamento incompressível; escoamento compressível; 
escoamento rotacional; escoamento irrotacional e escoamento turbulento. 
2. Escrever as leis de conservação da massa, conservação da quantidade de 
movimento linear (segunda lei de Newton), conservação da quantidade de 
movimento angular (momento da quantidade de movimento), primeira lei da 
termodinâmica e segunda lei da termodinâmica para um sistema como uma 
equação de taxa temporal. 
3. Dado um campo de velocidade �⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) interpretar fisicamente os seguintes 
resultados: 
a) ∇ ∙ �⃗� = 0; 
b) ∇ × �⃗� = 0 
c) ∇ × �⃗� ≠ 0 
4. Escrever as equações da continuidade na forma diferencial e explicar o 
significado de cada um de seus termos. 
5. A equação de Euler deve ser integrada para se obter a equação de Bernoulli. 
Pede-se: 
a) Explicar o significado da equação de Euler e interpretar cada um de seus 
termos. 
b) Quais as hipóteses simplificadoras que devem ser feitas para se utilizar a 
equação de Bernoulli? 
c) Explique o significado de cada uma das hipóteses simplificadoras do item 
anterior. 
d) Apresentar exemplos práticos de utilização da equação de Bernoulli. 
6. Apresentar uma discussão detalhada sobre as equações de Navier-Stokes. 
7. O escoamento pelo bocal convergente da Figura abaixo pode ser aproximado 
por uma distribuição de velocidades unidimensional 
 
a) Encontre uma expressão geral para a aceleração do fluido no bocal. 
b) Para o caso específico V0 = 3 m/s e L = 150 mm, calcule a aceleração, em g’s, 
na entrada e na saída. 
 
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4ª lista de exercícios – Equações diferenciais para uma partícula de fluido 
 
8. Um modelo simples de escoamento para um bocal convergente bidimensional é 
a distribuição 
 
a) Encontre expressões para as acelerações horizontal e vertical. 
b) Onde está a maior aceleração resultante e qual é seu valor numérico? 
 
9. Um escoamento idealizado incompressível tem a distribuição tridimensional de 
velocidade proposta 
 
Encontre a forma apropriada da função f(y) que satisfaz a relação da 
continuidade. 
 
10. Uma aproximação razoável para a camada-limite laminar incompressível 
bidimensional sobre a superfície plana da Figura abaixo é 
 
a) Admitindo uma condição de não escorregamento na parede, encontre uma 
expressão para o componente de velocidade u(x, y) para y ≤ δ. 
b) Depois encontre o valor máximo de y em x = 1 m, para o caso particular do 
escoamento de ar, quando U = 3 m/s e δ = 1,1 cm. 
 
 
11. Das equações de Navier-Stokes para escoamento incompressível em 
coordenadas polares, encontre o caso mais geral de movimento puramente 
circulatório νϴ(r), νr = νz = 0, para escoamento sem escorregamento entre dois 
cilindros concêntricos fixos, como na Figura abaixo. 
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12. Um filme de espessura constante de um líquido viscoso flui em movimento 
laminar descendo por uma placa inclinada a um ângulo u, como na Figura 
abaixo. O perfil de velocidade é 
u = Cy(2h - y), onde ν = w = 0 
Encontre a constante C em termos do peso específico e da viscosidade e do 
ângulo u. Encontre a vazão volumétrica Q por unidade de largura em termos 
desses parâmetros. 
 
 
 
13. Um escoamento incompressível bidimensional é dado pelo campo de velocidade 
V = 3yi + 2xj, em unidades arbitrárias. Esse escoamento satisfaz a continuidade? 
Em caso afirmativo, encontre a função corrente Ψ(x, y) e faça um gráfico de 
algumas linhas de corrente, com setas. 
 
14. Uma função corrente incompressível é definida por 
 
em que U e L são constantes (positivas). Use essa função corrente para 
encontrar a vazão volumétrica Q que passa por uma superfície retangular, cujos 
cantos são definidos por (x, y, z) = (2L, 0, 0), (2L, 0, b), (0, L, b) e (0, L, 0). Mostre 
a direção de Q. 
 
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15. Considere o potencial de velocidade incompressível bidimensional Ø = xy + x2 – 
y2. 
a) É verdade que ∆2Ø = 0, e em caso afirmativo o que isso significa? 
b) Se ela existe, encontre a função corrente Ψ(x, y) desse escoamento. 
c) Encontre a equação da linha de corrente que passa por (x, y) = (2, 1). 
 
16. Um líquido é drenado por um pequeno furo em um tanque, como mostra a 
Figura abaixo, de forma que o campo de velocidade é dado por 
 em que z = H é a profundidade da água distante do furo. 
Esse padrão de escoamento é rotacional ou irrotacional? 
Encontre a profundidade Zc da água no raio r = R. 
 
 
17. Um escoamento incompressível bidimensional é definido por 
 
Depois mostre que, para o escoamento incompressível, esse potencial satisfaz a 
equação de Laplace nas coordenadas (r, z). 
 
18. Um potencial de velocidade plano em coordenadas polares é definido por 
 
Encontre a função corrente para esse escoamento, faça o esboço de algumas 
linhas de corrente e linhas equipotenciais e interprete o padrão de escoamento. 
 
19. Óleo SAE 10W a 20 °C escoa por um tubo horizontal reto. O gradiente de 
pressão é constante, igual a 400 Pa/m. 
a) Qual é o diâmetro D apropriado do tubo em cm se o número de Reynolds ReD 
do escoamento deve ser exatamente 1.000? 
b) Para o caso a, qual é a vazão Q em m3/h? 
 
20. Uma certa quantidade de microtubos de diâmetro d e 25 cm de comprimento 
estão juntos em um tipo de “favo de colmeia”, cuja área transversal total é 
0,0006 m2. A queda de pressão da entrada até à saída é 1,5 kPa. Deseja-se que a 
vazão volumétrica total seja 5 m3/h de água a 20 °C. 
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4ª lista de exercícios – Equações diferenciais para uma partícula de fluido 
a) Qual é o diâmetro apropriado para o microtubo? 
b) Quantos microtubos estão no conjunto? 
c) Qual é o número de Reynolds de cada microtubo?