Aplicação da Transformada de Laplace

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SISTEMAS 
LINEARES
Taniel Silva Franklin
 
Introdução à aplicação da 
transformada de Laplace
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Descrever a aplicação da transformada de Laplace.
  Definir a gama de sinais aos quais a transformada de Laplace se aplica.
  Mostrar a relaç ã o entre as transformadas de Laplace e a de Fourier.
Introdução
Neste capítulo, você vai conhecer as principais aplicações da transformada 
de Laplace em sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT). Também vai 
aprender a obter a transformada de Laplace de alguns sinais importantes 
por meio da definição. Além disso, vai verificar como a transformada de 
Fourier se relaciona à transformada de Laplace.
Aplicação da transformada de Laplace
A transformada de Laplace oferece outra forma de analisar sistemas LIT. 
Essa abordagem é baseada no domínio da frequência e aproveita o princípio 
da superposição, que permite decompor o sinal de entrada em diversas com-
ponentes exponenciais complexas do tipo x(t) = est. Nesse caso, a variável 
s = 𝜎 + jω representa a frequência complexa do sinal x(t) (LATHI, 2006).
A seguinte equação é denominada transformada de Laplace:
Essa é a transformada de Laplace bilateral, pois a integral é realizada 
de –∞ a ∞ e é mais utilizada em sistemas de telecomunicações. O processo 
inverso para obter a transformada inversa de uma função X(s) é obtido pela 
transformada inversa de Laplace:
A escolha da constante c é necessária para que a integral possa convergir. 
O par transformado de Laplace pode ser representado pela seguinte relação:
As transformadas definidas anteriormente possuem uma atuação mais 
ampla. Mas aqui você vai ver a sua aplicação em sinais e sistemas causais. 
Nesse caso, a transformada de Laplace unilateral é definida como:
A partir de agora, considere que o sinal x(t) é 0 para t 0, você pode reescrever a integral como:
Quando t tende ao infinito, o termo e–st tende a zero:
Transformada da função exponencial 
decrescente unilateral
Sabendo que x(t) = e–atu(t) com a > 0, determine X(s). Veja a Figura 4.
Figura 4. Exponencial decrescente unilateral.
Fonte: Lathi (2006, p. 309).
Introdução à aplicação da transformada de Laplace6
Como o degrau tem valor 1 para t > 0:
Conservando a base, somando os expoentes e colocando o –t em evidência:
Resolvendo a integral da função exponencial:
Quando t tende ao infinito, o termo tende a zero:
Assim, obtém-se o terceiro par transformado:
7Introdução à aplicação da transformada de Laplace
A seguir, você pode ver um exemplo de utilização da integral de definição para calcular 
a transformada de Laplace do sinal x(t) = u(t) – u(t – 2).
Solução
Como o sinal é zero para te sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.
Leitura recomendada
OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; HAMID, S. Sinais e sistemas. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
2010.
11Introdução à aplicação da transformada de Laplace
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da Instituição, você encontra a obra na íntegra.