Transformada de Laplace

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Pierre-Simon Laplace.
Transformada de Laplace
Em matemática, a transformada de Laplace é uma transformada integral epónimo a seu descobridor, o
matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace (/ləˈplɑːs/), que utilizou uma forma semelhante em seus trabalhos
de Teoria da Probabilidade. A sua teoria foi desenvolvida mais a fundo entre o século XIX e o início do século XX
por Matyáš Lerch, Oliver Heaviside e Thomas John I'Anson Bromwich.
A transformada gera uma função de variável (frequência) a partir de uma função de variável (tempo) e vice-
versa.
Dada uma simples descrição matemática ou funcional de entrada ou saída de um sistema, a transformada de
Laplace fornece uma descrição alternativa que, em um grande número de casos, diminui a complexidade do
processo de análise do comportamento do sistema ou sintetiza um novo sistema baseado em características
específicas. Nesse sentido, a transformada de Laplace converte uma equação diferencial em equação algébrica e
uma convolução em multiplicação.
A atual aplicação da transformada (principalmente em engenharia) foi inicialmente descoberta durante a Segunda Guerra Mundial e substituiu o
cálculo operacional.
Quando fala-se em "transformada de Laplace" sem especificação, geralmente, refere-se à forma unilateral. A transformada de Laplace é
originalmente definida pela forma bilateral, em que e . Assim, a transformada unilateral em que qualquer argumento
é múltiplo da função de Heaviside, torna-se apenas um caso especial devido ao intervalo de domínio da função de Heaviside.
A transformada de Laplace da função é uma função de , que representa a frequência. Utilizamos então como notação a letra maiúscula
para a transformada e letra minúscula para a função.
Ex: ou .
Para calcular a transformada de Laplace de uma função aplicamos a integral e definimos algumas condições para podermos tirar o limite.
Ex: 
, porém esse limite só existe se o .
Então conclui-se que:
Agora se considerarmos que realizando as integrações necessárias (por partes) concluímos que:
=
=
=
Com isso concluímos uma expressão para a transformada de :
A transformada de Laplace possui diversas aplicações na ciência e na tecnologia.
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_integral
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ep%C3%B3nimo
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Maty%C3%A1%C5%A1_Lerch
https://pt.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside
https://pt.wikipedia.org/wiki/Thomas_John_I%27Anson_Bromwich
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace_aplicada_a_equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_alg%C3%A9brica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Convolu%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Segunda_Guerra_Mundial
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_operacional
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside
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A transformada de Laplace ganhou esse nome em homenagem ao matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace, que usou uma transformada
semelhante em um estudo sobre a teoria da Probabilidade.[1] No final do século XIX e início do século XX, a teoria de geração de funções começou a
ser mais desenvolvida pelo matemáticos Mathias Lerch, Oliver Heaviside e Thomas Bromwich; no entanto, somente após a segunda guerra mundial
que a transformada de Laplace foi difundida (principalmente na engenharia), substituindo o cálculo operacional de Heaviside. O responsável por ter
apresentado as vantagens de utilizar a transformada foi o matemático Gustav Doetsch.
Antes dos estudos de Laplace, alguns métodos de transformadas integrais foram apresentadas, mas pouco desenvolvidos. A partir de 1744, Leonhard
Euler investigou a existência de integrais da forma
com a intenção de resolver equações diferenciais, mas não perseguiu o conceito.
Admirador de Euler, Joseph Lagrange, procurou compreender também, em seus estudos sobre a função densidade, expressões da forma
.
Foram com as mesmas intenções de Euler de resolver equações diferenciais que em 1782 Laplace começou seu estudo sobre esse tipo de integrais.
Entretanto, em 1785, Laplace deu um passo crucial ao desenvolvimento da teoria de transformadas integrais. Ao invés de focar somente em
encontrar soluções de equações a partir do uso da integral, ele passou a aplicar a transformada de modo que fosse encontrada a solução da
transformada em si e não da equação inicial. Para isso, Laplace utilizou uma integral da forma
.
Dada uma função em que a sua integral é dada por: , definida somente para números reais positivos, e se convergir para algum
valor, a integral será a transformada de Laplace da função . Que é representada por .[2]
A integral que define a transformada de Laplace nem sempre converge e, nesse caso, dizemos que a função não possui transformada de Laplace. As
funções e são algumas funções que não possuem transformada de Laplace.
 Dizemos que uma função é de ordem exponencial se existem constantes , e tal que , . [2]
As funções , e são de ordem exponencial, pois
Tal teorema apresenta condições suficientes para existência da transformada de Laplace. Estas condições não são, contudo, necessárias. Por
exemplo, a função não é contínua na origem(sequer é limitada quando ) mas admite uma transformada de Laplace.[2]
Comportamento no Infinito:
Demonstração: Por definição,
Estabelecendo u = s.t , obtemos:
História
Região de convergência
Condição de existência
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https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathias_Lerch&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Thomas_Bromwich&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gustav_Doetsch
https://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
https://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_densidade
Considerando que é limitada, existe tal que , portanto
Logo, quando resultando
Artigo principal: Função de Heaviside
A função de Heaviside é nula para um argumento negativo e unitária para um argumento positivo. Ela respeita a relação e pode ser
definida como
Ao efetuar-se a mudança de variável , obtém-se a função de Heaviside com descontinuidade em :
Torna-se, naturalmente, importante notar que a função de Heaviside não existe em . Para isso, quando for necessário defini-la neste ponto,
toma-se a "função rampa" como aproximação contínua:
Talvez a mais importante aplicação da função da Heaviside seja a função pulso.
Artigo principal: Delta de Dirac
Para entender matematicamente a função Delta de Dirac, é conveniente utilizar a função de Heaviside, com a condição de que , ou
seja,
Analogamente à função de Heaviside, para representar um impulso num instante de tempo que não zero, realiza-se um deslocamento na equação,
Considera-se então o Deltacomo o limite da função em um curto curto intervalo de tempo, quando o parâmetro tende a zero, isto é,
Assim, define-se a função Delta de Dirac como
Algumas propriedades fundamentais do Delta de Dirac para a transformada de Laplace são:
Função de Heaviside
Função Delta de Dirac
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside#Fun%C3%A7%C3%A3o_pulso
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac#Propriedade_da_Filtragem:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
Artigo principal: Filtragem
Artigo principal: Transformada de Laplace do Delta de Dirac
Uma aplicação em engenharia para a função Delta de Dirac, se dá na utilização da Equação do Helmholtz, usada para cálculos de um sistema de
barragem albufeira, na qual o termo Albufeira significa uma área coberta de água, que foi retida pela construção de uma barragem ou até mesmo
uma represa num rio, formando uma espécie de lago artificial. Pode ser também utilizada para modelagem de águas subterrânea principalmente de
aquíferos, onde a função representa a vazão bombeada por um poço em um ponto específico.
Descrição Domínio do Tempo Domínio s Observações
Linearidade Prova pela lei básica de integração
Derivada no Domínio da
frequência
Derivada Geral do
Domínio da frequência forma geral da derivada de n
Derivada
f é assumido como uma função diferenciável, e sua derivada é
assumida como sendo do tipo exponencial. Isso pode ser obtido pela
integração por partes
Segunda derivada
f é assumido duas vezes diferenciável e a segunda derivada para
ser do tipo exponencial. Segue aplicando a propriedade
diferenciação para f′(t).
N-ésima derivada f s assumido como sendo n-diferenciável, com enésima derivada do
tipo exponencial. Segue por indução matemática.
Isso é deduzido usando a natureza da diferenciação de freqüência e
convergência condicional.
Integração do Tempo u(t) e a função de Heaviside (u ∗ f)(t)e e a Convolução de u(t) e
f(t).
Mudança de frequência
Mudança de Tempo u(t) função de Heaviside
escalamento de tempo
Multiplicação
Convolução Williams 1973
Conjugamento
Relação Cruzada
Função periódica
f(t) é uma função periódica do período T então f(t) = f(t + T), para
todo t ≥ 0. isto e o resultado da mudança do tempo e a propriedade
series geométricas.
A transformada de Laplace possui inúmeras propriedades operacionais que permitem a existência tanto da transformada direta quanto da inversa,
para uma ampla gama de funções observadas na ciência. Suas propriedades são:
Filtragem
Transformada do Delta de Dirac
Aplicação do Delta de Dirac
Tabela de Teoremas e Propriedades
Propriedades
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac#Transformada_de_Laplace_da_Delta_de_Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Helmholtz
https://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9ries_geom%C3%A9tricas
A transformada de Laplace é um operador linear:
Demonstração (REAMAT):
Portanto, tem-se que:
Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da derivada
Suponha que P(X) e Q(x) são polinômios tais que o grau de P é menor que o grau de Q. O polinômio Q(x) pode ser fatorado em polinômios de graus
um e dois:
com isso podemos encontrar constantes tais que:
esse método é usado para calcular integrais de funções racionais e transformadas inversas de Laplace.
Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da derivada
Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da integral
Artigo principal: Propriedade do deslocamento no tempo 
Artigo principal: Propriedade do deslocamento na frequência 
Conhecida como deslocamento ou translação do eixo s, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função desde que
conheçamos a sua transformada, isto é,
Linearidade
Método das frações parciais para calcular transformadas inversas
Transformada de Laplace de uma derivada
Transformada de Laplace de uma integral
Deslocamento no tempo
Deslocamento na frequência
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Operador_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_propriedades_da_transformada_de_Laplace#Derivada
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_propriedades_da_transformada_de_Laplace#Derivada
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_propriedades_da_transformada_de_Laplace#Integral
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_propriedades_da_transformada_de_Laplace#Deslocamento_no_tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_propriedades_da_transformada_de_Laplace#Deslocamento_no_tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_propriedades_da_transformada_de_Laplace#Deslocamento_na_frequ%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_propriedades_da_transformada_de_Laplace#Deslocamento_na_frequ%C3%AAncia
Artigo principal: Teorema do produto de Convolução
Existindo duas funções contínuas por partes em , a convolução de f e g representada por f * g é definida pela integral:
Artigo principal: Transformada de Laplace de uma função periódica
Se é uma função contínua por partes, de ordem exponencial e periódica de período . Então a transformada de Laplace existe e é da forma:
Se , então: .
Esta pode ser demonstrada usando a definição de transformada de Laplace:
A transformada de Fourier continua e equivalente a avaliação bilateral da transformada de Laplace com argumentos imaginários
[3]
A definição de Fourier requer o prefixo na função reversa da transformada de fourier. Esta relação entre as transformadas de Fourier e Laplace e
comumente usada para determinar o espectro de frequência de um sinal ou de um sistema dinâmico. A relação acima é válida somente se a região de
convergência de F(s) contem o eixo imaginário, .
A propriedade que define a integral da transformada de Laplace apresenta-se como:
Esta pode ser demonstrada ao aplicar-se a integração à definição fundamental da transformada de Laplace:
Teorema da Convolução
Transformada de Laplace de uma função de período T
Derivada da transformada de Laplace
Transformada de Fourier
Integral da transformada de Laplace
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_propriedades_da_transformada_de_Laplace#Convolu%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_propriedades_da_transformada_de_Laplace#Transformada_de_Laplace_de_uma_fun%C3%A7%C3%A3o_de_per%C3%ADodo_T
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espectro_de_frequ%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sinal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_din%C3%A2mico
A tabela provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável.[4][5] Para definições e exemplos, veja a nota explanatória
no fim da tabela.
Porque a transformada de Laplace é um operador linear:
 A transformada de Laplace de uma soma éa soma das transformadas de Laplace de cada termo.
 A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.
Tabela de transformadas de Laplace
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_transformadas_de_Laplace
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Operador_linear
Função
Domínio de tempo Laplace s-domínio
Região de Convergência Referência
impulso unitário todo s inspeção
impulso atrasado
mudança de tempo do
impulso unitário
Degrau Unitário Re(s) > 0 integral do impulso unitário
Função Constante Re(s) > 0 Convolução
Degrau atrasado Re(s) > 0
mudança de tempo do
passo único
Função Rampa Re(s) > 0
integral do impulso
unitário duas vezes
n-ésima potência
( para n inteiro)
Re(s) > 0
(n > −1)
Integral do passo
único n vezes
q-ésima potência
(para q complexo)
Re(s) > 0
Re(q) > −1 [6][7]
Re(s) > 0 Deixe q = 1/n acima.
n-ésima potência com mudança
de frequência Re(s) > −α
Integral do passo único
aplique a mudança de frequência
n-ésima potência atrasada
com mudança de frequência Re(s) > −α
Integral do passo único,
aplique a mudança de frequência,
aplique a mudança de tempo
Decaimento exponencial Re(s) > −α
Mudança de frequência do
passo único
Decaimento exponencial bilateral −α ln(a) Adaptação da transformada do decaimento
exponencial
aproximação exponencial Re(s) > 0
passo único menos
decaimento exponencial
Seno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Cosseno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Seno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
Cosseno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
decaimento exponencial
onda senoidal Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
decaimento exponencial
onda cossenoidal Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
Logaritmo natural Re(s) > 0 Williams 1973, p. 88
Nota explicatória:
u(t) representa a Função de Heaviside.
 representa a Delta de Dirac.
Γ(z) representa a Função gama.
γ é a Constante de Euler-Mascheroni.
t, um número real, tipicamente representa tempo,
embora possa representar qualquer dimensão independente.
s é a Frequência angular complexa, e Re(s) é sua parte real.
α, β, τ, e ω são números reais.
n é um Número inteiro.
Tabela resumida de transformações
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 8/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside
https://pt.wikipedia.org/wiki/Decaimento_exponencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace_bilateral
https://pt.wikipedia.org/wiki/Seno
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cosseno
https://pt.wikipedia.org/wiki/Seno_hiperb%C3%B3lico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cosseno_hiperb%C3%B3lico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_gama
https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia_angular
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro
Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace
podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.
A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo . Este é o motivo de todas as
funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da função de Heaviside, . As entradas desta tabela que envolvem um tempo
de atraso são obrigadas a serem causais. Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso é nulo para todo tempo prévio a
.
Pela lei de Ohm, o resistor é dado pela equação
Como R é uma constante, a transformada de Laplace desta equação é
em que
 e 
A equação no domínio do tempo que relaciona a tensão terminal com a corrente terminal é
A transformada de Laplace desta equação é
Sendo assim, a corrente no indutor é
A corrente terminal em um capacitor inicialmente carregado até volts é
A transformada de Laplace desta equação é
 ou 
Seja um sistema massa mola de equação = , onde é a massa, é a constante de hooke para a mola e é a constante
de atrito.
Os valores iniciais são:
 = posição inicial
 = velocidade inicial
Usando a propriedade da Transformada de Laplace de uma derivada temos:
- - + + - = .
Agora, isolando e supondo o termo forçante = 0, tem-se:
= 
A solução do problema pode ser representado por = 
Domínio frequência
Resistor no domínio frequência
Indutor no domínio frequência
Capacitor no domínio frequência
Aplicação: Oscilador Harmônico
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 9/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_trigonom%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_hiperb%C3%B3lica
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Ohm
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_do_tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Indutor
https://pt.wikipedia.org/wiki/Capacitor
O sistema massa mola pode ser dividido em cinco situações:
i) Oscilador harmônico forçado: Quando há força externa: 
ii) Oscilador harmônico livre: Quando não há força externa: 
iii) Subarmotecido livre: Quando 
iv) Superamortecido livre ( ): 
v) Criticamente amortecido livre : 
Temos a Função de Bessel de ordem zero dada por:
Calculando a transformada, temos:
Logo,
Podemos também demonstrar a transformada de uma função t(k) que leva à Função gama . Para k>0, temos que:
Onde:
Aplicando a Transformada de Laplace, temos:
Obtemos com a seguinte mudança de variáveis :
Artigo principal: Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais
As diversas propriedades da transformada de Laplace possibilitam a transformação de um grande número de equações diferenciais ordinárias em
simples equações algébricas lineares. Alguns tipos mais comuns de equações diferenciais são: Equação diferencial ordinária com
coeficientes constantes
Transformada de Laplace para séries de potências
Aplicações em equações diferenciais
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 10/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Bessel
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_gama
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace_aplicada_a_equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais
Fluxograma que representa o
caminho para a obtenção de
uma solução.
Modelo de Circuito RL com 2 malhas
Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes
Exemplo:
 Equação diferencial ordinária com coeficientes não constantes
Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis
Exemplo:
 Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes
Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias
Exemplo:
 Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes não constantes
Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias
Exemplo:
Em muitas ocasiões são necessários valores iniciais para uma resolução numérica dessas equações diferenciais.
A aplicação da Transformação de Laplace para resolução de circuitos RL e RC é uma ferramenta interessante na resolução das equações diferenciais
que expressam circuitos RC e RL, pois em determinados casos reduz a quantidade de análises e simplificações inerentes à resoluçãode circuitos
baseado na Teoria de Circuitos. A exemplo do caso abaixo:
Considerando o circuito RL com duas malhas ao lado:
Aplicando lei de Kirchhoff, temos as seguintes expressões:
Como a tensão no indutor é dada pela expressão: 
Considerando 
Chegamos as seguintes expressões:
- Dividindo as equações (I) e (II) e organizando-as temos:
Aplicando a Transformação de Laplace:
Aplicação em Circuitos RL e RC
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 11/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:LTI.png
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Modelo_de_circuito_RL_com_2_malhas.jpg
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace_aplicada_a_equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais#Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_ordin%C3%A1rias_com_coeficientes_constantes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace_aplicada_a_equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais#Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_ordin%C3%A1rias_com_coeficientes_vari%C3%A1veis
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace_aplicada_a_equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais#Sistema_linear_de_equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_ordin%C3%A1rias
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace_aplicada_a_equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais#Sistema_linear_de_equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_ordin%C3%A1rias
https://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_de_valor_inicial
Correntes no circuito RL
Chegamos então ao seguinte sistema:
Para exemplificar uma solução e a curva que refere-se a corrente i(t) no circuito, podemos tomar
, para este caso temos a solução a seguir :
 e 
Assim, aplicando a Transformada de Laplace inversa, voltando para o domínio do tempo, temos a seguinte resposta:
 e A
Como esperado, no domínio do tempo temos uma curva exponencial inicialmente e depois se torna
constante, isso ocorre por que para o indutor se comporta como um curto circuito, sua corrente será
constante.
Agora vamos considerar o circuito RC:
Ao circuito resistor/capacitor é aplicada uma tensão V(t) do tipo pulso:
, ou seja, o circuito estava em repouso até t=a e tensão Vo foi aplicada entre
t=a e t=b. O modelo para a corrente i(t) obedece a lei de Kirchoff:
, onde q(t) é a carga no capacitor, 1/Cq(t) é a tensão no capacitor de capacitância C e
Ri(t) é a tensão no resistor de resistência R.
Vamos usar o fato de que e obtemos uma equação integral para i(t):
.
Para resolver esse problema de valor inicial, aplicamos a Transformada de Laplace e a propriedade da Transformada de Laplace da integral de uma
função, que é:
e obtemos a seguinte expressão:
.
Fazendo , temos a seguinte equação subsidiária:
.
Logo, .
A Transformada Inversa de é: .
Fazendo obtemos: .
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 12/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Correntes_em_circuito_RL.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Correntes_em_circuito_RL.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_integral
Circuito capacitivo
Tensão no circuito RC
Dessa forma, para calcular a função corrente i(t) usaremos a propriedade do deslocamento no eixo t da Transformada de Laplace:
A função corrente i(t) é:
.
Podemos escrever a equação para a função corrente i(t) em uma notação de função definida por partes, fazendo e :
Podemos observar que A>0, B>0 e Ab a corrente é negativa e se aproxima exponencialmente de zero. Essa é a corrente de
descarga.
Para obter a carga q(t) no capacitor, usamos que e obtemos a seguinte expressão, também em notação de função definida por
partes:
Com o intuito de compreender o comportamento de um circuito RC, utilizamos como base o circuito RC da figura ao lado, no qual podemos ver a
tensão da fonte de Heaviside. A figura ao lado mostra uma fonte de tensão DC (10 Volts) que atua no instante 2s segundo até o instante 8s, no qual
ela carrega o capacitor e depois ele descarrega. Utilizando as fórmulas da carga do capacitor e substituindo as resistências (R=150Ω) e capacitância
(C=5mF), encontramos:
O comportamento da carga do capacitor é análogo a da sua tensão, que é mostrado a seguir. Dessa forma, o
comportamento da tensão do capacitor e da fonte Heaviside é mostrado na outra imagem.
[8] [9]
No estudo de circuitos elétricos aplica-se a Transformada de Laplace localmente em cada componente ao
invés de aplicá-la em uma equação diferencial obtida desse mesmo circuito. Trabalhando dessa forma, o
primeiro passo é transformar, pela aplicação de Laplace, o circuito dado no domínio tempo em um novo
circuito no domínio frequência.
Abaixo seguem tabeladas as relações Volt-Ampere de resistor, capacitor e indutor no domínio tempo e suas
correspondentes relações Volt-Ampere no domínio frequência. É fácil verificar que no domínio frequência
todas as relações Volt-Ampere obedecem à Lei de Ohm, enquanto no domínio tempo as relações Volt-
Ampere são relações integro-diferenciais. Portanto a aplicação da Transformada de Laplace na resolução de circuitos RL e RC é uma ferramenta
dominante pela sua simplicidade, dado que pode-se aplicar no domínio frequência as mesmas técnicas simplificadoras de circuitos resistivos.
Circuitos Elétricos- Representação no domínio frequência (Laplace)
Componente
Domínio tempo Domínio frequência
Resistor
Capacitor
Indutor
Circuitos Elétricos com carga inicial nula- Impedâncias (Laplace)
Aplicação em Circuitos RLC de qualquer ordem
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 13/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Circuito_RC.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Circuito_RC.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tens%C3%A3o_no_circuito_RC.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tens%C3%A3o_no_circuito_RC.jpg
Componente
sem carga
Domínio tempo Domínio frequência
Resistor
Capacitor
Indutor
Exemplo de Circuito RC descarregado no domínio tempo:
Circuito RC de ordem 2 no domínio tempo
Circuito RC transformado para o domínio frequência :
Circuito RC de ordem 2 no domínio frequência
Circuito RC simplificado pelo paralelo de impedâncias:
Circuito RC de ordem 2 no domínio frequência após simplificação.
onde T1(s) é a queda de tensão em Z(s):
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 14/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Figura_3_CKT_RC_Ordem_2_Tempo.png
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Figura_4_CKT_RC_Ordem_2_Frequencia.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Figura_4_CKT_RC_Ordem_2_Frequencia.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Figura_5_CKT_Freq_Simplificado.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Figura_5_CKT_Freq_Simplificado.png
Z(s) é o paralelo de com 
Aplicando Z(s) em T1(s), resulta
Do circuito anterior à simplificação, combinado com o circuito simplificado, observa-se que
Onde T2(s) é divisor de tensão de E1(s)
Aplicando-se E1(s) em Eo(s) temos
onde
resultado em
que é a esperada função de transferência de ordem 2 de um circuito RC de ordem 2.
Finalmente, dado que no domínio tempo temos
obtêm-se no domínio frequência, pela aplicação da Transformada de Laplace
Cálculo em frequência da resposta ao Estado Zero (circuito descarregado em t=0)
Aplicando-se frações parciais obtêm-se
resultando
Cálculo da resposta do circuito RC no domínio tempo :
Basta aplicar a Transformada Inversa de Laplace
do que resulta
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 15/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Divisor_de_tens%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_transfer%C3%AAncia
Conclusão
Neste exemplo optou-sepelo cálculo de eo(t) pela aplicação sucessiva (2 vezes) de divisor de tensão. Para obter-se e1(t), bastaria fazer a
Transformada Inversa de Laplace de E1(s), já obtido no primeiro divisor de tensão.
Por outro lado, o cálculo de eo(t) poderia ter sido desenvolvido pela aplicação da técnica de Equivalente Thevenin ao circuito de Laplace, o que
levaria de forma até mais simples aos resultados de T(s) e Eo(s).
Circuitos RLC são modelados comumente por equações diferenciais, os valores dos componentes que constituem o circuito(Capacitores, Resistores e
Indutores) e a frequência da fonte determinam o tipo de resposta do mesmo: Superamortecida, subamortecida e criticamente amortecida. Em geral
essas equações diferenciais são de segunda ordem ou maior e podem ser resolvidas semelhantemente à resolução de equações diferenciais aplicando
Transformada de Laplace.
As seguintes equações modelam circuitos simples RLC paralelo e série respectivamente:
 e 
Aplicando transformada de Laplace, considerando i(0) = 0 e i'(0) = 0, v(0)=0 e v'(0) =0:
 e 
O que nos dá a seguinte equação característica:
 => Resposta Superamortecida
 => Critica
 Complexos => Subamortecida
Considere uma viga elástica horizontal de comprimento L de seção transversal e material elástico homogêneo. Se aplicarmos uma carga no plano
vertical através da viga o eixo de simetria é dobrado. Colocamos o eixo horizontal com origem no extremo a esquerda da viga e, portanto, x= L é o
outro extremo. Supomos que a viga está sujeita a uma carga que provoca uma deflexão em cada ponto x [0,L] . Logo, para pequenas deflexões
podemos aproximar a curvatura k(x) pela variação instantânea de , onde é o ângulo entre o eixo x e a tangente, ou seja,[10]
Como
Como o é pequeno, , portanto
Derivamos
Substituímos na primeira equação, obtendo
Aplicação em circuitos RLC
Aplicação no cálculo da deflexão em vigas sujeitas a cargas concentradas
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 16/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Circuito_RLC
Sendo E o módulo de Young, I o momento de inércia da viga e M(x) o momento fletor, substituímos a fórmula da lei de Hooke para materiais na
equação anterior.
Lei de Hooke:
derivamos a equação duas vezes
Sabendo que a variação do momento de inércia M(x) é a força de cisalamento V(x) 
e a variação da força de cisalamento é a carga 
Logo, 
Substituindo na equação anterior, temos a equação de Euler-Bernoulli
Consideraremos uma viga engastada, ou seja:
A carga está concentrada na posição e tem intensidade , sendo modelada pela seguinte expressão:
Aplicando a transformada de Laplace na equação que anteriormente foi derivada duas vezes, e usando o fato de que , obtemos
Substituindo , e onde e são constantes a determinar:
portanto:
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 17/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Young
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Hooke
O método da resolução de equações diferenciais pela transformada de Laplace não está restrito apenas a equações diferenciais ordinárias. É possível
também resolver certas equações diferenciais parciais. Esse método é conveniente quando pelo menos uma das variáveis independentes não assume
valores negativos, pois pode-se tomar a transformada de laplace com respeito a essa variável e reduzi-la a uma equação diferencial ordinária na
outra variável.
Para o caso de uma corda semi-infinita, deseja-se achar uma função que represente o deslocamento vertical de qualquer ponto da corda em
qualquer instante de tempo . O problema está sujeito às seguintes condições:
Condições iniciais
A corda está inicialmente em repouso, ou seja:
A corda existe em (semi-infinita)
Condições de contorno
O ponto da corda em é excitado de maneira senoidal, ou seja:
Para valores muito distantes, em , o deslocamento da corda é nulo, formalmente:
Solução
A equação que descreve o problema é a conhecida equação da onda:
Onde é a tensão entre dois pontos da corda e é sua densidade linear.
Tomanda a transformada de Laplace em relação à variável :
Pela propriedade da transformada da derivada segunda, definida acima, tem-se:
Aplicando as condições iniciais sabe-se que e são ambos nulos.
Sob a hipótese de que é válido permutar a ordem de integração e diferenciação:
Unindo os dois lados da equação novamente:
Dessa forma o problema foi reduzido à solução de uma equação diferencial ordinária em , cuja solução geral é conhecida e dada por:
A solução deve satisfazer as condições de fronteira, em particular para um x muito grande o deslocamento deve ser nulo:
Aplicação na Solução de Equações Diferenciais Parciais: corda semi-infinita
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 18/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_da_onda
Por meio da expressão acima percebe-se que a transformada de laplace do deslocamento deve satisfazer a mesma condição. Para tanto, o coeficiente
 deve ser de modo que anule o comportamento da exponencial cujo argumento é positivo.
A transformada fica dada então pela expressão: 
A segunda condição de fronteira permite determinar :
Assim a transformada fica dada por . Para obter a transformada inversa basta utilizar a propriedade do deslocamento:
Onde é a função de heaviside.
A função deslocamento encontrada como solução trata-se de nada mais do que um pulso de onda propagando-se no sentido positivo do eixo x
(observando um ponto fixo é necessário que, à medida que o tempo aumente, x aumente proporcionalmente para que o argumento da senoide se
mantenha constante).
A solução resultade pode ser visualizada na animação abaixo:
A condução de calor trata-se da transferência de energia de partículas mais energéticas para as menos energéticas de uma substância devido às
interações entre as partículas. Um dos objetivos principais em uma análise da condução é determinar o campo de temperaturas em um meio
resultante das condições impostas em suas fronteiras. Ou seja, desejamos conhecer a distribuição de temperaturas, que representa como a
temperatura varia com a posição no meio.
É indiscutível que problemas que envolvem aquecimento ou esfriamento de sistemas físicos são muito importantes em várias situações na área de
ciência e tecnologia. Algumas soluções dependentes do tempo da equação de difusão do calor podem ser um tanto complicada. Nesse contexto, a
Transformada de Laplace surge com uma ótima alternativa para resolver problemas de valores de contorno em problemas de condução de calor.
Um sólido semi-infinito x > 0 que está inicialmente em uma temperatura igual a zero, deseja-se encontrar a temperatura em qualquer ponto do
sólido em qualquer tempo, ou seja, u(x, t).
No tempo t = 0, é aplicado e mantido uma temperatura constante uo > 0 na face x = 0. Além disso, iremos considerar a temperatura é constante para
todo tempo.
 x > 0, t > 0
u(x, 0) = 0
u(0, t) = uo
Aplicação em problemas com condições de contorno: condução de calor
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 19/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Laplacepde2.gif
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Condu%C3%A7%C3%A3o_t%C3%A9rmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estriamento
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncia_e_tecnologia_do_Brasil
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_de_difus%C3%A3o_do_calor&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Condu%C3%A7%C3%A3o_de_calor
Aplicando a transformada de Laplace encontramos que:
 [1] ou [2]
onde:
Resolvendo [1] encontramos que:
Escolhendo c1 igual a zero de modo que u esteja limitado quanto x tende ao infinito, e então teremos que:
Por [2] teremos que c2 = uo/s, de maneira que:Pela transformada inversa temos que:
Considere o mecanismo simplificado de reação química apresentado a seguir:
onde a concentração de R, S e T são dadas em mol/l por x(t), y(t) e z(t), respectivamente e são regidas pelo seguinte sistema de equações diferenciais
ordinárias:
onde α e γ são constantes positivas. Sabendo que as concentrações iniciais são dadas por:
Usando a teoria das Transformadas de Laplace, vamos obter a solução dada pelas funções x(t), y(t) e z(t) quando α = 1, e γ = 2. Calculamos a
Transformada de Laplace do sistema usando a propriedade da linearidade e da derivada:
Da primeira equação, temos:
Da segunda equação, temos:
Da terceira equação temos:
Aplicação em Reações Químicas
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 20/22
Gráfico das fuções x(t), y(t)
e z(t).
Gráfico da função que modela o
metabolismo de um medicamento em um
organismo
Agora, podemos obter as funções x(t), y(t) e z(t) através da Transformada Inversa de Laplace:
onde usamos a propriedade da convolução na passagem da primeira para a segunda liha.
A figura a seguir apresenta o gráfico das funções x(t), y(t) e z(t).
Durante um período de consumo de uma medicação, a concentração da substância ingerida na corrente sanguínea evolui segundo um modelo
simples da seguinte forma:
No caso de ausência de dosagens, a variação da concentração é proporcional a concentração.
O organismo metaboliza o medicamento com uma taxa Τ .
As doses de medicamento são liberadas e entra na corrente sanguínea instantaneamente e homogeneamente.
O modelo que descreve esse fenômeno é:
onde é a concentração e representa a dosagem ao longo do tempo . Em geral, as dosagens não são únicas e são tomadas periodicamente.
Seja a concentração administrada instantaneamente a cada período Τ, então
Supondo que , ou seja, inicialmente não havia substância no organismo, vamos calcular . Começamos aplicando a transformada de
Laplace:
E encontramos:
Calculamos a transformada inversa usando a propriedade do deslocamento no eixo .
O gráfico da concentração é apresentado na figura ao lado, usando , e .
Artigo principal: Laplace transform
Como já visto neste artigo, a Transformada de Laplace é uma interessante ferramenta de resolução de problemas de diversas modelagens, auxiliando
assim em problemas da física e engenharia, por exemplo, contribuindo para a obtenção de importantes equações.
Decaimento Radioativo
n é o número de núcleos radioativos;
λ é a constante de desintegração;
O número de núcleos que decaem por unidade de tempo é proporcional ao número de núcleos radioativos
Aplicando a Transformada de Laplace, temos:
Aplicação no metabolismo de um medicamento
Outro exemplo: aplicação na física nuclear
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 21/22
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Grafico_reacao_quimica.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Grafico_reacao_quimica.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:MedicamentoEDO.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:MedicamentoEDO.png
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Nuclear_physics
Aplicando a transformada inversa de Laplace, temos a expressão para o decaimento radioativo
Onde:
n é número de núcleos radioativos remanescentes após um tempo t;
n(0) é número de núcleos radioativos na amostra num tempo t = 0.
1. «Des Fonctions génératrices» [On generating functions], Théorie analytique des Probabilités [Analytical Probability Theory] (https://archive.org/d
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Referência
Outras Fontes
29/04/2025, 11:34 Transformada de Laplace – Wikipédia, a enciclopédia livre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 22/22
https://archive.org/details/thorieanalytiqu01laplgoog
https://archive.org/details/thorieanalytiqu01laplgoog
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