Transformadas de Fourier

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Murilo Fraga da Rocha
 
Transformadas de Fourier
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Representar os sinais não periódicos pela integral de Fourier.
  Relacionar as propriedades da transformada de Fourier.
  Interpretar a conexão entre as transformadas de Fourier e Laplace.
Introdução
Um sinal representa a variação de uma grandeza como função de uma 
variável independente. Ele pode ser periódico ou não periódico, ou seja, 
o sinal pode ou não se repetir em determinado período. 
O cientista francês Jean Baptiste Joseph Fourier desenvolveu uma 
técnica de análise matemática que demonstra que uma onda periódica 
pode ser representada por um somatório de ondas senoidais com am-
plitudes, frequências e fases específicas. Hoje, essa análise é fundamental 
nas ciências matemáticas e nas engenharias. Fourier também desenvolveu 
uma integral que permite a transformação de sinais no domínio do tempo 
para o domínio da frequência e vice-versa.
Neste capítulo, você vai ver como representar sinais não periódicos 
pela integral de Fourier, relacionando as propriedades da transformada 
de Fourier. Além disso, você vai aprender a interpretar a conexão entre 
as transformadas de Fourier e Laplace.
Representação de sinais não periódicos 
pela integral de Fourier
Um sinal é um fenômeno físico variante no tempo que se aplica à transferência 
de informação. São exemplos de sinais: a voz humana, os campos elétricos 
gerados por transmissores de rádio ou televisores e as variações na intensi-
dade de luz no interior de uma fi bra óptica em uma rede de telefonia ou de 
computadores. Um sinal que não contém informação útil é denominado ruído. 
Esse tipo de sinal é sempre indesejável.
Os sinais são modificados por sistemas. Quando um ou mais estímulos ou 
sinais de entrada são aplicados a uma ou mais entradas do sistema, ele produz 
uma ou mais respostas ou sinais de saída em suas saídas. Na Figura 1, você 
pode ver, em forma de diagrama de blocos, um sistema com uma única entrada 
e uma única saída (ROBERTS, 2010).
Figura 1. Diagrama de blocos de um sistema simples.
Fonte: Adaptada de Roberts (2010).
Os sinais podem ser de vários tipos. Os sinais contínuos no tempo, por 
exemplo, são sinais analógicos, enquanto os sinais discretizados no tempo são 
sinais digitais. Um sinal contínuo no tempo é definido em cada instante de 
tempo para algum intervalo temporal. Um sinal discretizado pode ter apenas 
valores pertencentes a um conjunto discreto. Em um conjunto discreto de 
valores, a magnitude da diferença tomada entre dois valores é maior do que 
um dado número positivo.
A transformada de Fourier é utilizada para representar um sinal não periódico 
de tempo contínuo como uma superposição de senoides complexas. Devido à não 
periodicidade e à continuidade de um sinal de tempo, é necessária a superposição 
de senoides complexas que utilizam frequências que variam de –∞ a +∞.
Então, para representar sinais não periódicos contínuos no tempo, a trans-
formada de Fourier de um sinal de tempo contínuo utiliza a equação a seguir:
Na qual:
Transformadas de Fourier2
Você pode considerar, então, que a equação de x(t) expressa que o sinal 
no tempo é representado pela superposição de senoides ponderadas assim:
Na análise de sinais e sistemas, os sinais são descritos (o mais detalhada-
mente possível) por funções matemáticas. O sinal é o fenômeno físico pro-
priamente dito que contém a informação, e a função é a descrição matemática 
desse sinal. Rigorosamente, os dois conceitos são distintos, porém a relação 
entre um sinal e a sua função matemática, que o descreve, é tão estreita que 
os dois termos (“sinal” e “função”) são usados de maneira intercambiável em 
análise de sinais e sistemas (ROBERTS, 2010).
Um sinal x(t) é dito periódico se para alguma constante positiva T0 o sinal 
puder ser descrito pela seguinte equação: x(t) = x(t + T0), para todo t.
O menor valor de T0 que satisfaz a condição de periodicidade da equação 
é o período fundamental de x(t). A Figura 2 demonstra um sinal periódico 
com período 2.
Figura 2. Sinal periódico com período 2.
Fonte: Lathi (2008).
Já a Figura 3 mostra um sinal periódico com período 1.
Figura 3. Sinal periódico com período 1.
Fonte: Lathi (2008).
3Transformadas de Fourier
Um sinal é não periódico se ele não possui um período. Os sinais da Figura 4 
são todos não periódicos.
Figura 4. Sinais não periódicos.
Fonte: Lathi (2008).
Pela definição, um sinal periódico x(t) permanece não alterado quando 
deslocado no tempo por um período. Por essa razão, um sinal periódico deve 
começar em t = −∞. Se ele começar em algum instante de tempo finito, como 
t = 0, o sinal deslocado no tempo x(t + T0) começaria em t = T0 e x(t + T0) 
não seria o mesmo que x(t). Portanto, um sinal periódico, por definição, deve 
começar em t = −∞ e continuar para sempre, como mostrado na Figura 5.
Figura 5. Sinal periódico começando em t = −∞.
Fonte: Lathi (2008).
Transformadas de Fourier4
As séries de Fourier são ferramentas utilizadas para representar sinais e 
funções periódicas ou que tenham interesse apenas em intervalos finitos. Para 
representar sinais e funções que não são periódicas e que têm interesse sobre 
todo o eixo x, é necessário utilizar uma ferramenta matemática que é derivada 
das séries de Fourier: as integrais de Fourier (HSU, 2012).
A integral de Fourier de uma função f(x) é uma função a ela relacionada 
de acordo com as equações a seguir.
É possível verificar a consistência dessas relações com o uso da função δ(x). 
Essa função é descrita nas equações a seguir.
A integral de Fourier de uma função f(x) é uma função a ela relacionada 
de acordo com as equações a seguir:
Propriedades da transformada de Fourier
A diferenç a relevante entre um sinal perió dico e um sinal aperió dico é que o 
perió dico se repete em um tempo fi nito T0 denominado perí odo fundamental. 
O sinal vem se repetindo sempre com esse mesmo perí odo fundamental e 
continua a se repetir a cada perí odo fundamental, indefi nidamente. Um sinal 
aperió dico nã o possui um perí odo fi nito. Ele pode repetir um padrã o vá rias 
vezes em certo tempo fi nito, poré m nã o ao longo de todo o tempo. 
5Transformadas de Fourier
A transiç ã o entre a sé rie de Fourier e a integral de Fourier, que também pode 
ser chamada de transformada de Fourier, é obtida por meio da determinaç ã o 
da forma da sé rie de Fourier para um sinal perió dico e, entã o, admitindo-se 
que o perí odo fundamental tende ao infinito. Se o perí odo fundamental tende 
ao infinito, o sinal nã o pode se repetir em um tempo finito. Portanto, deixa 
de ser perió dico (ROBERTS, 2010).
A transformada de Fourier tem vá rias propriedades importantes, como 
você pode ver a seguir. Considere que dois sinais possuem as transformadas 
de Fourier representadas pelas seguintes equações:
F(x(t)) = X( f ) ou X( jω)
e
F(y(t)) = Y( f ) ou Y( jω)
Entã o, as propriedades seguintes se aplicam, nã o importando as formas 
dos sinais.
Deslocamento no tempo e na frequê ncia
Considere que t0 é qualquer constante real e que z(t) = x(t – t0). Entã o, a 
transformada de Fourier de z(t) é Z( f ) = e–j2ft0. Assim, X( f ) e a propriedade 
de deslocamento no tempo podem ser defi nidas como a equação a seguir:
ou
Portanto, deslocar o sinal no tempo equivale a multiplicá -lo pelo nú mero 
complexo e–j2ft0. A expressã o da transformada de Fourier fica de acordo com 
a equação a seguir:
Transformadas de Fourier6
Redimensionamento da escala do tempo
Considere que a é qualquer constante real diferente de zero e que z(t) = x(at). 
Entã o, a transformada de Fourier de z(t) é Z( f ) = (1/|a|)X( f/a), e a propriedade 
de redimensionamento da escala de tempo é descrita pelas seguintes equações:
ou
Redimensionamento da escala da frequê ncia
Considere que a é qualquer constante real diferente de zero e que z(t) = x(at). 
Entã o, a transformada deFourier de z(t) é Z( f ) = (1/|a|)X( f/a), e a propriedade de 
redimensionamento da escala de frequência é descrita pelas seguintes equações:
ou
Transformada de um conjugado
A propriedade da conjugaç ã o é descrita como:
ou
Com essa propriedade, você pode descobrir outra caracterí stica ú til da transfor-
mada de Fourier de sinais de valor real. Se x(t) é de valor real, entã o x(t) = x*(t). 
A transformada de Fourier de x(t) é X( f ), e a transformada de Fourier de x*(t) 
é X*(–f ). Portanto, se x(t) = x*(t), logo X( f ) = X*(–f ). Em outras palavras, se o 
sinal no domí nio do tempo é de valor real, sua transformada de Fourier possui 
7Transformadas de Fourier
a seguinte propriedade: o comportamento para frequências negativas equivale 
ao conjugado complexo do comportamento para as frequências positivas. 
Por conseguinte, se você sabe a forma funcional na frequência positiva da 
transformada de Fourier de um sinal de valor real, conhece també m a forma 
funcional na frequência negativa. Esse comportamento é aná logo à propriedade 
previamente observada, em que as amplitudes harmô nicas da transformada de 
Fourier complexa de um sinal real ocorrem nos pares conjugados complexos 
(ROBERTS, 2010).
Dualidade multiplicaç ã o-convoluç ã o
Considere que a convoluç ã o entre x(t) e y(t) é dada pela seguinte equação:
A transformada de Fourier de z(t) é Z( f ) = X( f )Y( f ). Então, a propriedade da 
convoluç ã o no domí nio do tempo é descrita pelas equações a seguir:
ou
A transformada de Fourier de z(t) é Z( f ) = X( f )Y( f ). Então, a propriedade 
da convoluç ã o no domí nio da frequência é descrita pelas equações a seguir:
ou
Transformadas de Fourier8
Conexão entre as transformadas 
de Fourier e Laplace
Quando se estende a sé rie de Fourier à s transformadas de Fourier, o perí odo 
fundamental de um sinal perió dico aumenta até o infi nito, fazendo as fre-
quências discretas kf0 na série de Fourier se fundirem em um contí nuo de 
frequências f na transformada de Fourier. Esse procedimento permite duas 
defi niç õ es alternativas da transformada de Fourier, que você pode ver nas 
equações a seguir:
ou
Assim, você pode considerar que a transformada de Laplace é um modo 
poderoso para se caracterizar um sistema. Se você simplesmente generalizar 
a transformada de Fourier direta pela substituiç ã o das senoides complexas por 
exponenciais complexas, vai obter a transformada de Laplace, como definido 
pela equação a seguir:
A equação define a transformada de Laplace direta, sendo que a variá vel 
s pode ter valores em qualquer lugar do plano complexo; ela possui uma parte 
real e uma parte imaginá ria. Considere que s é representada como s = σ + jω. 
Logo, para o caso especial em que a parte real de s (σ) é zero e a transformada 
de Fourier da funç ã o x(t) existe no sentido estrito, a transformada de Laplace 
direta é equivalente à transformada de Fourier direta. Usando s = σ + jω na 
transformada de Laplace direta, você obtém a equação a seguir:
9Transformadas de Fourier
Uma forma de demonstrar a transformada de Laplace é determinar que ela 
é equivalente a uma transformada de Fourier do produto da funç ã o x(t) por um 
fator de convergê ncia exponencial real da forma e–σt, como mostra a Figura 6.
Figura 6. Demonstração da transformada de Laplace.
Fonte: Roberts (2010).
A integral da Figura 6 nã o converge, e a transformada de Fourier determi-
nada por essa té cnica é denominada transformada de Fourier generalizada, 
da qual o impulso faz parte. Você pode verificar que, para instantes t > 0, esse 
fator de convergê ncia é o mesmo na transformada de Laplace e na transfor-
mada de Fourier generalizada. Poré m, na transformada de Laplace, o limite, 
à medida que σ tende a zero, nã o é calculado. 
Considere a transformada de Fourier em função de ω. As funç õ es GF ( � ) 
= GL ( � ) correspondem matematicamente à mesma funç ã o. A conversã o de 
uma forma para a outra entre as transformadas de Fourier representadas na 
forma ω e a transformada de Laplace equivale simplesmente a um processo 
de troca de argumentos funcionais entre s e jω. Assim, nã o são necessários 
os subscritos F e L. Você pode simplesmente escrever G( jω) = G(s) para 
s → jω. Esse é o principal motivo pelo qual a forma em ω da transformada 
de Fourier de uma funç ã o x(t) foi escrita com a notaç ã o funcional X( jω) em 
lugar de X(ω) (ROBERTS, 2010).
Transformadas de Fourier10
O par de transformadas de Laplace
torna-se o par de transformadas de Fourier
Fonte: Roberts (2010).
HSU, H. P. Sinais e sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. 
ROBERTS, M. J. Fundamentos em sinais e sistemas. Porto Alegre: AMGH, 2010. 
Leituras recomendadas
CARVALHO, J. M.; GURJÃO, E. C.; VELOSO, L. R. Análise de sinais e sistemas. São Paulo: 
Elsevier, 2015.
GIROD, B.; RABENSTEIN, R.; STENGER, A. Sinais e sistemas. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
KREYSZIG, E. Matemática superior para engenharia. 9. ed. São Paulo: LTC, 2009. v. 2.
LATHI, B. P. Modern digital and analog communication systems. 3. ed. New York: Oxford 
University Press, 1998.
11Transformadas de Fourier
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.