Teoria do Sinal e Sistemas

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<p>Teoria do Sinal 1</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Sinais e Sistemas, Contínuos e Discretos</p><p>Campos de aplicação:</p><p>Comunicações modulação; modems; …</p><p>Aeronáut ica e Ast ronáu t ica sensores / rea limentação; …</p><p>Cont rolo de processos química / a limenta r ; máquinas-fer ramenta ; …</p><p>Economia / Demogra fia previsões de mercado bolsista ; aná lise de migrações; …</p><p>Agricultura maturação de cerea is; …</p><p>Produção de energia aná lise de fenómenos t ransitór ios; exploração de pet róleos; …</p><p>Prospecção mineira loca lização / quant ificação de jazigos</p><p>Engenhar ia biomédica diagnóst ico ECG’s; rea lidade vir tua l; …</p><p>Elect rónica projecto de circuitos; …</p><p>Const rução civil compor tamento de est ru turas; …</p><p>Car togra fia recenseamento / planeamento urbano; …</p><p>Ecologia va r iações de populações animais / floresta is; …</p><p>…</p><p>( t em p o con t ín u o ? / t em p o d i scr et o ? )</p><p>Introdução à disciplina</p><p>Teoria do Sinal 2</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Objectivos de estudo</p><p>Caracterização de sistemas</p><p>– análise: por exemplo, o estudo do sistema auditivo</p><p>humano, ou de um ecossistema;</p><p>Projecto de sistemas</p><p>– síntese: por exemplo, restauração de imagens,</p><p>ou filtragem de ruído;</p><p>Modificação de sistemas</p><p>– controlo: por exemplo, controlo de máquinas-ferramenta,</p><p>ou controlo de sistemas financeiros.</p><p>Introdução à disciplina</p><p>dB</p><p>Hz</p><p>Teoria do Sinal 3</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Representação matemática da dependência funcional de determinadas grandezas</p><p>(por omissão, vamos admitir que há uma única variável independente designada</p><p>tempo);</p><p>Exemplos de um sinal contínuo x(t) e de um sinal discreto x[n]:</p><p>Introdução aos sinais</p><p>n</p><p>x[n ]</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>-3 -2 -1 7 8 9 10</p><p>5 6</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 4</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Exemplos de transformações do tipo x(-t), x(2t), x(t/2), x(t-t0), x[-n], x[2n], x[n/2],</p><p>x[n-n0]:</p><p>Transformações da variável independente</p><p>x(t)</p><p>t t</p><p>x(-t)</p><p>x[n]</p><p>n</p><p>x[-n]</p><p>n</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 5</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Exemplos de transformações do tipo x(-t), x(2t), x(t/2), x(t-t0), x[-n], x[2n], x[n/2],</p><p>x[n-n0]:</p><p>Transformações da variável independente</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>x(t-t0)</p><p>t0 t</p><p>x[n]</p><p>n</p><p>x[n-2]</p><p>n n0</p><p>n0 = 2</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 6</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformações da variável independente</p><p>( ) ( ) : ,x t x at b a b→ + ∈ℜ ∈ℜ</p><p>( ) ( )( )bx t x a t a→ +</p><p>Para a transformação genérica seguinte:</p><p>começar por reescrever (p. ex.) na forma:</p><p>e efectuar de seguida, por ordem, as operações de (ver a seguir):</p><p>1º) alteração de escala (incluindo reflecção, se o factor de escala for negativo)</p><p>2º) translação</p><p>Verificação: (a realizar para “pontos característicos” do sinal, como os pontos A, B e C dos</p><p>dois exemplos a seguir)</p><p>ponto A:</p><p>ponto B:</p><p>ponto C:</p><p>N.B.: o processo de verificação constitui, por si mesmo, um método de realização gráfica</p><p>da mudança de variável.</p><p>OBS.: no caso de sinais discretos pode usar-se um método semelhante, tendo o cuidado de</p><p>notar que a variável independente, antes e depois da transformação, só assume</p><p>valores inteiros.</p><p>( )1 1at b t t t b a+ = → = −</p><p>( )2 2at b t t t b a+ = → = −</p><p>0at b t b a+ = → = −</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 7</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformações da variável independente</p><p>Exemplo 1 Exemplo 2</p><p>0 < a < 1 ; b < 0 a < -1 ; b < 0</p><p>tt1 t2</p><p>x(t)</p><p>0</p><p>t+b/at1 /a</p><p>x(a(t+b/a))</p><p>0 t2 /a</p><p>tt1 /a - b/a</p><p>x(a(t+b/a))</p><p>-b/a t2 /a - b/a</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>tt1 t2</p><p>x(t)</p><p>0</p><p>t+b/at1 /a</p><p>x(a(t+b/a))</p><p>0t2 /a</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>t(t1 -b)/a</p><p>x(a(t+b/a))</p><p>-b/a</p><p>(t2 -b)/a</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 8</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformações da variável independente</p><p>( ) ( ), ,x t x at b a b→ + ∈R</p><p>A</p><p>-1 1 t</p><p>x(t)</p><p>Por exemplo, para</p><p>2; 2a b= = − ( ) ( )2 2x t x t→ −</p><p>( ) ( )2y t x t=</p><p>A</p><p>1/2 3/2 t</p><p>z(t) = y(t-1) = x(2t-2)</p><p>Resolução 1:</p><p>1º passo</p><p>2º passo</p><p>( ) ( ) ( )1 2 2z t y t x t= − = −</p><p>A</p><p>-1/2 1/2 t</p><p>y(t) = x(2t)</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 9</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformações da variável independente</p><p>( ) ( ), ,x t x at b a b→ + ∈R</p><p>A</p><p>-1 1 t</p><p>x(t)</p><p>Por exemplo, para</p><p>2; 2a b= = − ( ) ( )2 2x t x t→ −</p><p>( ) ( )2y t x t= −</p><p>A</p><p>1/2 3/2 t</p><p>z(t) = y(2t) = x(2t-2)</p><p>Resolução 2:</p><p>1º passo</p><p>2º passo</p><p>( ) ( ) ( )2 2 2z t y t x t= = −</p><p>A</p><p>1 3 t</p><p>y(t) = x(t-2)</p><p>2</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 10</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Um sinal contínuo é par se</p><p>exemplo:</p><p>ou, no caso discreto, um sinal é par se</p><p>exemplo:</p><p>Sinais pares e sinais ímpares</p><p>( ) ( )txtx =−</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>[ ] [ ]nxnx =−</p><p>x[n]</p><p>n</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 11</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Um sinal contínuo é ímpar se</p><p>exemplo:</p><p>ou, no caso discreto, um sinal é ímpar se</p><p>exemplo:</p><p>Sinais pares e sinais ímpares</p><p>( ) ( )txtx −=−</p><p>[ ] [ ]nxnx −=−</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>x[n]</p><p>n</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 12</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Um sinal contínuo pode ser decomposto em parte par e parte ímpar da seguinte</p><p>forma:</p><p>em que</p><p>- parte par de x(t)</p><p>- parte ímpar de x(t)</p><p>como temos</p><p>Decomposição em parte par e parte ímpar</p><p>( ) ( ) ( )txtxtx ip +=</p><p>( )txp</p><p>( )txi</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )txtxtxtxtx ipip −=−+−=−</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>2</p><p>txtxtxp</p><p>−+</p><p>= ( ) ( ) ( )</p><p>2</p><p>txtxtxi</p><p>−−</p><p>=</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 13</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>No caso discreto temos:</p><p>em que</p><p>- parte par de x[n]</p><p>- parte ímpar de x [n]</p><p>podem ser obtidas da seguinte forma:</p><p>Decomposição em parte par e parte ímpar</p><p>[ ] [ ] [ ]nxnxnx ip +=</p><p>[ ]nxp</p><p>[ ]nxi</p><p>[ ] [ ] [ ]</p><p>2</p><p>nxnxnxp</p><p>−+</p><p>= [ ] [ ] [ ]</p><p>2</p><p>nxnxnxi</p><p>−−</p><p>=</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 14</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>O valor médio de x(t) para o intervalo [t1;t2] é definido da seguinte forma:</p><p>ou para todo o domínio (em regra, neste caso omite-se o índice ∞)</p><p>No caso discreto temos, consoante o caso:</p><p>Valor médio</p><p>( ) [ ] ( )2</p><p>1 2 1;</p><p>1 2</p><p>1 t</p><p>t t t</p><p>x t x t dt</p><p>t t</p><p>=</p><p>− ∫</p><p>( ) ( )2</p><p>2</p><p>1lim</p><p>D</p><p>DD</p><p>x t x t dt</p><p>D −→∞</p><p>= ∫</p><p>[ ] [ ]</p><p>2</p><p>2 11 2</p><p>1</p><p>1</p><p>1[ ; ]</p><p>n</p><p>n nn n</p><p>k n</p><p>x n x k</p><p>− +</p><p>=</p><p>= ∑</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>[ ] [ ]1</p><p>2 1lim</p><p>M</p><p>MM k M</p><p>x n x k</p><p>+→∞</p><p>=−</p><p>= ∑</p><p>Teoria do Sinal 15</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>O sinal x(t) é periódico se existir um valor positivo T para o qual</p><p>– para m inteiro verifica-se que</p><p>– o período fundamental é o menor valor de T</p><p>exemplo:</p><p>No caso discreto um sinal x[n] é periódico se existir um inteiro positivo N tal que</p><p>O menor valor possível de N é o período fundamental. Qualquer múltiplo do período</p><p>fundamental é também um período de x[n].</p><p>Sinais periódicos</p><p>( ) ( ) tTtxtx ∀+=</p><p>( ) ( ) tmTtxtx ∀+=</p><p>-2T -T 0</p><p>x(t)</p><p>T 2T t</p><p>… …</p><p>[ ] [ ] nNnxnx ∀+=</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 16</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Se x(t) é periódico com período T</p><p>em que</p><p>-valor médio de x(t) {ou parte contínua ou componente contínua}</p><p>-parte alternada de x(t)</p><p>Exemplo:</p><p>Decomposição em componentes contínua e alternada</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )ac acT</p><p>x t x t x t x t x t</p><p>∞</p><p>= + = +</p><p>( ) ( )</p><p>T</p><p>x t x t</p><p>∞</p><p>=</p><p>( )txac</p><p>-3 -2 -1 1 2 3 4 t5</p><p>2 …</p><p>v(t)</p><p>…</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>2 11 1 1</p><p>2 20 0</p><p>2 1TT</p><p>T</p><p>v t v t dt v t dt dt= = = =∫ ∫ ∫</p><p>-1 t</p><p>1</p><p>… …</p><p>vac(t)</p><p>( ) ( ) ( )ac T</p><p>v t v t v t= −</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 17</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Para a maioria dos sinais que nos interessam, uma vez que representam fenómenos</p><p>físicos, faz sentido definir a sua energia e a sua potência;</p><p>A energia de um sinal x(t) no intervalo [t1,t2] é dada por:</p><p>e a sua potência média, no mesmo intervalo, é dada por:</p><p>Energia e Potência</p><p>∫=</p><p>2</p><p>1</p><p>2)(</p><p>t</p><p>t</p><p>dttxE</p><p>[ ]</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>;</p><p>2 1</p><p>1 ( )</p><p>t</p><p>t t</p><p>t</p><p>P x t dt</p><p>t t</p><p>=</p><p>− ∫</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 18</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>harmonicamente relacionados, de frequência fundamental</p><p>):</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] [ ] ( )n n</p><p>k k k k k</p><p>k k</p><p>x n a z y n a H z z= =∑ ∑</p><p>1z = j ne Ω</p><p>2 Nπ</p><p>[ ] ( )2 , 0, 1, 2,j k N n</p><p>k n e kπφ = = ± ± …</p><p>Teoria do Sinal 125</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Série de Fourier discreta</p><p>Contrariamente ao caso contínuo, os sinais anteriores apenas incluem N exponenciais</p><p>complexas distintas, uma vez que</p><p>Uma sequência periódica mais geral, de período N, pode ser representada por combinação</p><p>linear de sinais :</p><p>Os somatórios em k estendem-se a apenas N sucessivos valores inteiros, o que se denotará,</p><p>de modo abreviado, por , resultando:</p><p>A anterior representação de x[n] é a série discreta de Fourier.</p><p>[ ] [ ], 0, 1, 2,k k rNn n rφ φ += = ± ± …</p><p>[ ]k nφ</p><p>[ ] [ ] ( )2jk N n</p><p>k k k</p><p>k k</p><p>x n a n a e πφ= =∑ ∑</p><p>k N= 〈 〉</p><p>[ ] ( )2jk N n</p><p>k</p><p>k N</p><p>x n a e π</p><p>=</p><p>= ∑</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>Teoria do Sinal 126</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Série de Fourier discreta</p><p>A determinação dos coeficientes ak, para uma dada sequência x[n], pode ser obtida</p><p>multiplicando ambos os membros por e somando N termos:</p><p>O segundo somatório assume o valor N se k = r, e é nulo se k ≠ r. Portanto,</p><p>O par de relações da série discreta de Fourier (equações de síntese e de análise) pode então</p><p>formular-se como:</p><p>Os coeficientes ak são definidos para N valores consecutivos de k, embora muitas vezes se</p><p>considerem definidos para qualquer valor de k, constituindo uma sequência periódica.</p><p>( )2jr N ne π−</p><p>[ ] ( ) ( )( ) ( )( )2 2 2jr N n j k r N n j k r N n</p><p>k k</p><p>n N n N k N k N n N</p><p>x n e a e a eπ π π− − −</p><p>= = = = =</p><p>= =∑ ∑ ∑ ∑ ∑</p><p>[ ] ( )2jr N n</p><p>r</p><p>n N</p><p>x n e N aπ−</p><p>=</p><p>=∑</p><p>[ ] ( )</p><p>[ ] ( )</p><p>2</p><p>21</p><p>j k N n</p><p>k</p><p>k N</p><p>j k N n</p><p>k</p><p>n N</p><p>x n a e</p><p>a x n e</p><p>N</p><p>π</p><p>π</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>∑</p><p>∑</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>Teoria do Sinal 127</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Série de Fourier discreta</p><p>Exemplo1: Considere-se o sinal . O sinal só é periódico se for</p><p>inteiro ou racional. No primeiro caso (supondo ), a expansão pela</p><p>relação de Euler determina os coeficientes não-nulos (representá-los, p. ex.</p><p>para N = 5). No segundo caso (supondo 2π /Ω0 = N / m, não havendo factores</p><p>comuns a m e N) representar os coeficientes para N=5 e m=3.</p><p>Exemplo2: Considere-se agora a determinação e representação gráfica dos coeficientes da</p><p>série de Fourier do sinal, de período N=10,</p><p>Exemplo3: Considerando que x[n] é uma sequência rectangular com valor 1 para</p><p>-N1≤n≤N1, e periódica de período N, pode usar-se a equação de análise do par</p><p>série de Fourier para determinar os coeficientes da série, de que resulta</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] 0sinx n n= Ω 02π Ω</p><p>02 Nπ Ω =</p><p>[ ] ( ) ( ) ( )2 2 4</p><p>21 sin 3cos cosN N Nx n n n nπ π π π= + + + +</p><p>Teoria do Sinal 128</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Série de Fourier discreta</p><p>Os coeficientes da série podem ser representados como amostras de uma</p><p>função contínua</p><p>Como no caso de sinais contínuos, também no caso discreto os coeficientes da série de</p><p>Fourier da saída de um sistema LTI se podem calcular a partir dos coeficientes da entrada.</p><p>Sendo a entrada, de período N,</p><p>( )</p><p>( )</p><p>1</p><p>2</p><p>sin 2 1 21</p><p>sin 2k</p><p>k N</p><p>N</p><p>a</p><p>N</p><p>πΩ=</p><p> + Ω =</p><p>Ω</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] ( )2jk N n</p><p>k</p><p>k N</p><p>x n a e π</p><p>=</p><p>= ∑</p><p>( )</p><p>( )</p><p>1</p><p>1</p><p>21</p><p>2 1, 0, , 2 ,</p><p>sin 21 , 0, , 2 ,</p><p>sin 2 2</p><p>k</p><p>N k N N</p><p>N</p><p>a k N N</p><p>k N N</p><p>N k N</p><p>π</p><p>π</p><p>+ = ± ±</p><p>=   +  ≠ ± ±</p><p></p><p>…</p><p>…</p><p>Teoria do Sinal 129</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Série de Fourier discreta</p><p>então a saída produzida por um sistema de resposta impulsional h[n], é</p><p>com</p><p>Exemplo4: Determinar a saída produzida pelo sistema de resposta impulsional</p><p>, para a entrada , e mostrar que,</p><p>para N=4, a saída se pode escrever na forma</p><p>[ ] ( )22 jk N n</p><p>k</p><p>k N</p><p>ky n a H e</p><p>N</p><p>ππ</p><p>=</p><p> =  </p><p> </p><p>∑</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] ( )</p><p>2</p><p>1 cos</p><p>21</p><p>ny n arctgπ α</p><p>α</p><p> = − </p><p> +</p><p>[ ] [ ], 1nh n u nα α= < [ ] ( )cos 2x n n Nπ=</p><p>[ ] ( )22 jk N n</p><p>n</p><p>kH h n e</p><p>N</p><p>ππ +∞</p><p>−</p><p>=−∞</p><p>  = </p><p> </p><p>∑</p><p>Teoria do Sinal 130</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier discreta</p><p>Representação de sinais aperiódicos pela transformada de Fourier discreta</p><p>Por meio de um desenvolvimento paralelo ao que se fez no caso de sinais contínuos, pode-</p><p>se definir o par transformado de Fourier discreto (não confundir com a transformada</p><p>discreta de Fourier designada de modo abreviado por DFT) para sinais aperiódicos:</p><p>Exemplo1: Determinar e representar a transformada de Fourier discreta do sinal</p><p>, para a > 0 e para a < 0.</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] ( )</p><p>( ) [ ]</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>j n</p><p>j n</p><p>n</p><p>x n X e d</p><p>X x n e</p><p>ππ</p><p>Ω</p><p>+∞</p><p>− Ω</p><p>=−∞</p><p>= Ω Ω</p><p>Ω =</p><p>∫</p><p>∑</p><p>[ ] [ ], 1nx n a u n a= <</p><p>Teoria do Sinal 131</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier discreta</p><p>X(Ω)</p><p>Ω</p><p>-2π -π π 2π0</p><p>a=0.5</p><p>a=0.707</p><p>máx=(1+a)/(1-a)</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>Exemplo2: Determinar e representar a transformada de Fourier discreta do sinal</p><p>, para 0<a<1.[ ] , 1nx n a a= <</p><p>Teoria do Sinal 132</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier discreta</p><p>Exemplo3: Considerar o sinal rectangular</p><p>Representar X(Ω), para N1=2 e para N1=3.</p><p>X(Ω)</p><p>Ω</p><p>-2π -π π 2π</p><p>7</p><p>5</p><p>0</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] 1</p><p>1</p><p>1,</p><p>0,</p><p>n N</p><p>x n</p><p>n N</p><p> ≤</p><p>=  ></p><p>N1=2</p><p>N1=3</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>12</p><p>2</p><p>sin 2 1</p><p>sin</p><p>N</p><p>X</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p> + Ω =</p><p>Teoria do Sinal 133</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier discreta. Propriedades.</p><p>Periodicidade</p><p>A transformada de Fourier discreta é sempre periódica em Ω, com período 2π, em</p><p>contraste com o transformada contínua.</p><p>Linearidade</p><p>Simetria conjugada</p><p>Translação temporal e frequencial</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] [ ] ( ) ( )1 2 1 2</p><p>Fax n bx n aX bX+ ←→ Ω + Ω</p><p>( ) ( ) [ ]X X x n real∗Ω = −Ω</p><p>[ ] ( )0</p><p>0</p><p>j nFx n n e X− Ω− ←→ Ω</p><p>[ ] ( )0</p><p>0</p><p>j n Fe x n XΩ ←→ Ω − Ω</p><p>Teoria do Sinal 134</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier discreta. Propriedades.</p><p>Primeira diferença e soma</p><p>Escalamento temporal e frequencial</p><p>Se se definir o sinal</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] [ ] ( ) ( )1 1F jx n x n e X− Ω− − ←→ − Ω</p><p>[ ] ( ) ( ) ( )1 0 2</p><p>1</p><p>n</p><p>F</p><p>j</p><p>m k</p><p>x m X X k</p><p>e</p><p>π δ π</p><p>+∞</p><p>− Ω</p><p>=−∞ =−∞</p><p>←→ Ω + Ω −</p><p>−∑ ∑</p><p>[ ] ( )Fx n X− ←→ −Ω</p><p>( ) [ ] [ ],</p><p>0,k</p><p>x n k para n múltiplo de k</p><p>x n</p><p>para n não múltiplo de k</p><p></p><p>= </p><p></p><p>( ) [ ] ( )F</p><p>kx n X k←→ Ω</p><p>Teoria do Sinal 135</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier discreta. Propriedades.</p><p>Diferenciação na frequência</p><p>Relação de Parseval</p><p>Propriedade de convolução</p><p>Como no caso contínuo, a propriedade de convolução é útil para determinar a resposta de sistemas</p><p>discretos, por inversão do produto das transformadas de Fourier discretas da entrada e da resposta</p><p>impulsional. Para esse efeito, usa-se a decomposição em fracções parciais de Y(Ω), considerado como</p><p>um cociente de polinómios em e-jΩ, procurando-se reconhecer as transformadas inversas por</p><p>inspecção. Pares transformados de maior interesse são:</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] ( )2 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2n</p><p>x n X d</p><p>ππ</p><p>+∞</p><p>=−∞</p><p>= Ω Ω∑ ∫</p><p>[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )Fy n x n h n Y X H= ∗ ←→ Ω = Ω Ω</p><p>[ ] ( )F dX</p><p>n x n j</p><p>d</p><p>Ω</p><p>←→</p><p>Ω</p><p>Teoria do Sinal 136</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier discreta. Propriedades.</p><p>Propriedade de modulação</p><p>A expressão de Y(Ω) representa a convolução periódica de X1(Ω) com X2(Ω).</p><p>[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )1 2 1 22</p><p>1</p><p>2</p><p>Fy n x n x n Y X X d</p><p>π</p><p>θ θ θ</p><p>π</p><p>= ←→ Ω = Ω −∫</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] 1, 1</p><p>1</p><p>Fn</p><p>ja u n a</p><p>ae− Ω< ←→</p><p>−</p><p>( ) [ ]</p><p>( )2</p><p>11 , 1</p><p>1</p><p>Fn</p><p>j</p><p>n a u n a</p><p>ae− Ω</p><p>+ < ←→</p><p>−</p><p>( )</p><p>( ) [ ]</p><p>( )</p><p>1 ! 1, 1</p><p>! 1 ! 1</p><p>Fn</p><p>rj</p><p>n r</p><p>a u n a</p><p>n r ae− Ω</p><p>+ −</p><p>< ←→</p><p>− −</p><p>Teoria do Sinal 137</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier discreta.</p><p>Resposta em frequência de sistemas caracterizados por equações às diferenças</p><p>lineares de coeficientes constantes</p><p>A equação geral deste tipo de sistemas é:</p><p>Admitindo que existem as transformadas de Fourier discretas</p><p>de x[n], y[n] e h[n] (resposta</p><p>impulsional do sistema), obtém-se, usando as propriedades de linearidade, de translação</p><p>temporal e de convolução:</p><p>Verifica-se, portanto, que, como no caso contínuo, a resposta em frequência de sistemas</p><p>descritos por equações às diferenças lineares de coeficientes constantes pode ser escrita</p><p>directamente, por inspecção.</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] [ ]</p><p>0 0</p><p>N M</p><p>k k</p><p>k k</p><p>a y n k b x n k</p><p>= =</p><p>− = −∑ ∑</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>0</p><p>0</p><p>M</p><p>jk</p><p>k</p><p>k</p><p>N</p><p>jk</p><p>k</p><p>k</p><p>b eY</p><p>H</p><p>X a e</p><p>− Ω</p><p>=</p><p>− Ω</p><p>=</p><p>Ω</p><p>Ω = =</p><p>Ω</p><p>∑</p><p>∑</p><p>Teoria do Sinal 138</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier discreta.</p><p>Sistemas de 1ª ordem</p><p>A equação de um sistema LTI causal de 1ª ordem é</p><p>Neste caso,</p><p>A resposta indicial deste sistema é dada por</p><p>Note-se que a constante a desempenha um papel semelhante a τ (constante de tempo) nos</p><p>sistemas contínuos, mas neste caso são possíveis efeitos de overshoot e de ringing, se a<0.</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] [ ] [ ]1 , 1y n ay n x n a− − = <</p><p>( ) [ ] [ ]1</p><p>1</p><p>n</p><p>jH h n a u n</p><p>ae− ΩΩ = =</p><p>−</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ]</p><p>11</p><p>1</p><p>nas n h n u n u n</p><p>a</p><p>+−</p><p>= ∗ =</p><p>−</p><p>Teoria do Sinal 139</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier discreta.</p><p>Sistemas de 2ª ordem</p><p>A equação de um sistema LTI causal de 2ª ordem genérico pode ser</p><p>A resposta em frequência é</p><p>Se , as duas raízes são diferentes, obtendo-se</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ]22 cos 1 2 , 0 1, 0y n r y n r y n x n rθ θ π− − + − = < < ≤ ≤</p><p>( )</p><p>( ) ( )2 2</p><p>1 1</p><p>1 2 cos 1 1j j j j j j</p><p>H</p><p>r e r e re e re eθ θθ − Ω − Ω − Ω − − Ω</p><p>Ω = =</p><p>− +    − −   </p><p>0 e θ θ π≠ ≠</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>2 sin 2 sin</p><p>1 1</p><p>j j</p><p>j j j j</p><p>e e</p><p>j jH</p><p>r e e r e e</p><p>θ θ</p><p>θ θ</p><p>θ θ</p><p>−</p><p>− Ω − − Ω</p><p>Ω = −</p><p>− −</p><p>[ ] ( ) [ ]</p><p>sin 1</p><p>sin</p><p>n n</p><p>h n r u n</p><p>θ</p><p>θ</p><p> + =</p><p>Teoria do Sinal 140</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier discreta.</p><p>Para , resulta</p><p>Para , resulta</p><p>As respostas indiciais são dadas por:</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>0θ =</p><p>θ π=</p><p>( )</p><p>( )</p><p>[ ] ( ) [ ]2</p><p>1 1</p><p>1</p><p>n</p><p>j</p><p>H h n n r u n</p><p>r e− Ω</p><p>Ω = = +</p><p>−</p><p>( )</p><p>( )</p><p>[ ] ( ) ( ) [ ]2</p><p>1 1</p><p>1</p><p>n</p><p>j</p><p>H h n n r u n</p><p>r e− Ω</p><p>Ω = = + −</p><p>+</p><p>[ ] ( ) ( ) [ ]</p><p>1 1</p><p>1 1</p><p>, 0 e</p><p>2 sin 1 2 sin 1</p><p>n nj jj j</p><p>j j</p><p>r e r ee es n u n</p><p>j r e j r e</p><p>θ θθ θ</p><p>θ θ θ θ π</p><p>θ θ</p><p>+ +−−</p><p>−</p><p>    − −    = − ≠ ≠</p><p>    − −</p><p>     </p><p>[ ]</p><p>( ) ( )</p><p>( ) [ ]2 2</p><p>1 1 , 0</p><p>11 1</p><p>n nr rs n r n r u n</p><p>rr r</p><p>θ</p><p> </p><p>= − + + = </p><p>−− −  </p><p>[ ]</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) [ ]2 2</p><p>1 1 ,</p><p>11 1</p><p>n nr rs n r n r u n</p><p>rr r</p><p>θ π</p><p> </p><p>= − − + + − = </p><p>++ +  </p><p>Teoria do Sinal 141</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada Z. Definição bilateral.</p><p>No estudo da transformada de Fourier discreta, viu-se que a saída de um sistema LTI, com</p><p>resposta impulsional h[n], para uma entrada exponencial da forma zn, era dada por</p><p>y[n]=H(z) zn, em que</p><p>A transformada-Z (bilateral) de um sinal discreto geral x[n] é definida como</p><p>Note-se que, se z=ejΩ, então</p><p>Por outro lado, se z= r e jΩ, verifica-se facilmente que</p><p>Transformada Z</p><p>( ) [ ] n</p><p>n</p><p>H z h n z</p><p>+∞</p><p>−</p><p>=−∞</p><p>= ∑</p><p>( ) [ ] n</p><p>n</p><p>X z x n z</p><p>+∞</p><p>−</p><p>=−∞</p><p>= ∑</p><p>( ) [ ]{ }jz e</p><p>X z x nΩ=</p><p>=F</p><p>[ ]{ } ( ) [ ]{ }j nx n X re x n rΩ −= =Z F</p><p>Teoria do Sinal 142</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada Z. Região de convergência.</p><p>A região de convergência (ROC) da transformada-Z (gama de valores de z para a qual o</p><p>integral converge) é definida pelo conjunto de valores de r para os quais x[n]r-n tem</p><p>transformada de Fourier discreta.</p><p>A especificação completa de uma transformada-Z exige não só a expressão analítica de</p><p>X(z), mas também a definição da ROC.</p><p>A ROC de uma transformada-Z tem propriedades semelhantes às da transformada de</p><p>Laplace, mas tendo em conta a representação polar ( ), enquanto que na</p><p>transformada de Laplace se usava a representação cartesiana ( ).</p><p>A ROC da transformada-Z é, portanto, limitada por circunferências centradas na origem do</p><p>referencial.</p><p>jz r e Ω=</p><p>Transformada Z</p><p>s jσ= + Ω</p><p>Teoria do Sinal 143</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada Z. Exemplos e inversão.</p><p>Exemplo1: Determinar as transformadas-Z dos sinais</p><p>indicando a respectiva ROC.</p><p>Exemplo2: Determinar a transformada-Z, incluindo ROC, do sinal</p><p>Transformada-Z inversa</p><p>Por definição, a transformada-Z inversa é dada por</p><p>Todavia, em muitos casos, é possível usar a decomposição em fracções parciais como na</p><p>transformada de Laplace.</p><p>Transformada Z</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1n nx n a u n x n a u n= = − − −</p><p>[ ] nx n b=</p><p>[ ] ( ) 11</p><p>2</p><p>nx n X z z dz</p><p>jπ</p><p>−= ∫</p><p>Teoria do Sinal 144</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada Z. Problemas.</p><p>Exemplo 3. Considere o sinal seguinte e determine a sua transformada Z, ROC e diagrama</p><p>zero-polar.</p><p>Exemplo 4. Considere a seguinte transformada Z e determine a respectiva sequência</p><p>temporal, para as seguintes ROC’s: a) |z| > 1/3 ; b) 1/4 < |z| < 1/3 .</p><p>Exemplo 5. Considerando que a transformada Z do exemplo anterior representa a função</p><p>de transferência de um sistema LTI, determine a equação às diferenças que</p><p>caracteriza o sistema.</p><p>[ ] , 0 1, 0</p><p>0, outros</p><p>na n N a</p><p>x n</p><p>n</p><p> ≤ ≤ − ></p><p>= </p><p></p><p>Transformada Z</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>15</p><p>6</p><p>1 11 1</p><p>4 3</p><p>3</p><p>1 1</p><p>z</p><p>H z</p><p>z z</p><p>−</p><p>− −</p><p>−</p><p>=</p><p>− ⋅ −</p><p>Para os sinais discretos temos as seguintes definições equivalentes:</p><p>A energia de um sinal x[n] no intervalo [n1,n2] é dada por:</p><p>e a sua potência média para o mesmo intervalo é dada por:</p><p>em que n2-n1+1 é o número de pontos do intervalo.</p><p>Energia e Potência</p><p>∑</p><p>=</p><p>=</p><p>2</p><p>1</p><p>2][</p><p>n</p><p>nn</p><p>nxE</p><p>[ ]</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>;</p><p>2 1</p><p>1 [ ]</p><p>1</p><p>n</p><p>n n</p><p>n n</p><p>P x n</p><p>n n =</p><p>=</p><p>− + ∑</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 19</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Se quisermos definir energia e potência média no intervalo -∞<t<∞ no caso contínuo</p><p>e -∞<n<∞ no caso discreto, temos, para o caso contínuo, as seguintes expressões</p><p>para a energia e para a potência média:</p><p>e</p><p>e para o caso discreto:</p><p>e</p><p>O valor eficaz de um sinal periódico, contínuo ou discreto, é dado por:</p><p>OBS: Mostre que, para sinais periódicos, a potência média pode ser obtida com um</p><p>domínio de integração de extensão exactamente igual a um período! O que resulta?</p><p>Energia e Potência</p><p>2 21( ) lim ( )</p><p>2</p><p>C</p><p>C</p><p>C</p><p>E x t dt P x t dt</p><p>C</p><p>∞</p><p>∞ ∞ →∞</p><p>−∞ −</p><p>= =∫ ∫</p><p>2 21[ ] lim [ ]</p><p>2 1</p><p>D</p><p>Dn n D</p><p>E x n P x n</p><p>D</p><p>∞</p><p>∞ ∞ →∞</p><p>=−∞ =−</p><p>= =</p><p>+∑ ∑</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>efV P∞=</p><p>Teoria do Sinal 20</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Podemos classificar os sinais em três categorias de acordo com os valores da sua</p><p>energia e da sua potência média.</p><p>Os sinais com energia finita, E∞<∞, são denominados “sinais de energia”. Estes sinais</p><p>têm P∞=0.</p><p>Exemplos:</p><p>Os sinais com potência média finita, P∞<∞, são denominados “sinais de potência”.</p><p>Estes sinais têm E∞=∞.</p><p>Exemplo:</p><p>Finalmente, existe uma categoria de sinais em que E∞ e P∞ são infinitos.</p><p>Exemplo:</p><p>Energia e Potência</p><p></p><p></p><p> <<−</p><p>=</p><p></p><p></p><p> <<−</p><p>=</p><p>n</p><p>n</p><p>nx</p><p>t</p><p>t</p><p>tx</p><p>outros0</p><p>031</p><p>][ou</p><p>outros0</p><p>111</p><p>)(</p><p>7][ou3)( == nxtx</p><p>nnxttx 2][ou)( ==</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 21</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>C</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>a>0</p><p>C</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>a<0</p><p>Exponencial complexa contínua</p><p>• Caso 1: C e a são reais.</p><p>Estamos perante uma exponencial real.</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>atCetx =)(</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 22</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Exponencial complexa contínua</p><p>• Caso 2: a é puramente imaginário.</p><p>Neste caso temos (considerando C = 1, sem perda de generalidade):</p><p>com</p><p>Este sinal é periódico, isto é, existe um valor de T para o qual</p><p>O menor valor de T é dado por: para</p><p>A parte real do sinal é co-sinusoidal e a parte imaginária é sinusoidal:</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>atCetx =)(</p><p>0a jω=</p><p>)(00 Ttjtj ee += ωω</p><p>0</p><p>0</p><p>2T π</p><p>ω</p><p>=</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>0( ) j tx t e ω=</p><p>0 0ω ≠</p><p>( ) ( )0</p><p>0 0( ) cos sinj tx t e t j tω ω ω= = +</p><p>Teoria do Sinal 23</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>C=1+j2</p><p>a=0.1+j1.5</p><p>xR(t)=Re{Ceat}</p><p>cos(1.5 t + arctg 2)</p><p>-|C| e0.1t</p><p>|C| e0.1t</p><p>Exponencial complexa contínua</p><p>• Caso 3: C e a são complexos (caso geral).</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>atCetx =)(</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>0;jC C e a r jθ ω= = +</p><p>( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )0 0</p><p>0( ) ; Re cosr j t j tj rt rt</p><p>Rx t C e e C e e x t x t C e tω ω θθ ω θ+ += = = = +</p><p>Teoria do Sinal 24</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Degrau unitário contínuo (degrau de Heaviside)</p><p>Impulso unitário contínuo (impulso de Dirac)</p><p>O impulso unitário δ(t) relaciona-se com u(t) da seguinte forma:</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>0, 0</p><p>( )</p><p>1, 0</p><p>t</p><p>u t</p><p>t</p><p><</p><p>=  > t</p><p>u(t)</p><p>1</p><p>( )( )</p><p>t</p><p>u t dδ τ τ</p><p>−∞</p><p>= ∫</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>t</p><p>δ(t)</p><p>1</p><p>Teoria do Sinal 25</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Impulso unitário contínuo (impulso de Dirac)</p><p>Se considerarmos o sinal u∆(t)</p><p>e calcularmos chegamos a</p><p>Para obter δ(t) basta fazer</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>t</p><p>u∆(t)</p><p>1</p><p>∆</p><p>( ) ( )</p><p>dt</p><p>tdut ∆</p><p>∆ =δ</p><p>t</p><p>δ∆(t)</p><p>∆</p><p>1/∆</p><p>( ) ( )tt ∆→∆</p><p>= δδ</p><p>0</p><p>lim</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>infinita amplitude</p><p>unitária área</p><p>zero largura</p><p>temtδ</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 26</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Degrau unitário discreto</p><p>Impulso unitário discreto</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>[ ]</p><p></p><p></p><p></p><p>≥</p><p><</p><p>=</p><p>0,1</p><p>0,0</p><p>n</p><p>n</p><p>nu</p><p>[ ]</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>≠</p><p>=</p><p>0,1</p><p>0,0</p><p>n</p><p>n</p><p>nδ</p><p>[ ] [ ] [ ]1−−= nununδ</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>n</p><p>δ[n]</p><p>1</p><p>n</p><p>u[n]</p><p>1 ...</p><p>Teoria do Sinal 27</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Exponencial complexa discreta</p><p>• Caso 1: C e α são reais.</p><p>Estamos perante uma exponencial real.</p><p>Devem ser considerados os seguintes casos: α > 1, 0 < α <1, -1 < α < 0 e α < -1</p><p>•Caso 2: C=1 e β puramente imaginário.</p><p>Neste caso temos com</p><p>Este sinal tem a seguinte relação com o sinal sinusoidal discreto</p><p>[ ] [ ] ββ αα eCenxCnx nn === com,ou</p><p>[ ] njenx 0Ω=</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>[ ] ( ) njjnjj eeAeeAnAny 00</p><p>22</p><p>cos 0</p><p>Ω−−Ω +=+Ω= φφφ</p><p>0jβ = Ω</p><p>Teoria do Sinal 28</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Exponencial complexa discreta</p><p>• Caso 3: C e β são complexos.</p><p>Sendo e temos</p><p>Para |α|=1 as partes real e imaginária são sinusoidais.</p><p>Para |α|<1 a sequência sinusoidal é multiplicada por uma exponencial decrescente.</p><p>Para |α|>1 a sequência sinusoidal é multiplicada por uma exponencial crescente.</p><p>[ ] [ ] ββ αα eCenxCnx nn === com,ou</p><p>[ ] ( ) ( )0</p><p>0 0cos sinn n nj nn jx n C C e e C n j C nΩθ= α = α = α Ω + θ + α Ω + θ</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>θjeCC = 0Ω= jeαα</p><p>Teoria do Sinal 29</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Periodicidade da exponencial complexa discreta</p><p>Ao contrário do caso contínuo, no caso discreto, para a exponencial complexa</p><p>– A taxa de oscilação não cresce indefinidamente com .</p><p>A frequência é a mesma que a frequência .</p><p>A taxa de oscilação cresce desde 0 até π, decrescendo depois até 2π.</p><p>– Para que x[n] seja periódico é necessário que exista um inteiro N para o qual</p><p>ou seja que (m inteiro), isto é</p><p>. x[n] só é periódico se for um número racional.</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>[ ] njenx 0Ω=</p><p>π2</p><p>0Ω</p><p>π20 +Ω</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>0Ω</p><p>0Ω</p><p>0 2N mπΩ =( )0 0j n N j ne eΩ + Ω=</p><p>N</p><p>m</p><p>=</p><p>Ω</p><p>π2</p><p>0</p><p>Teoria do Sinal 30</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>Periodicidade da exponencial complexa discreta</p><p>-1,5</p><p>-1</p><p>-0,5</p><p>0</p><p>0,5</p><p>1</p><p>1,5</p><p>COS</p><p>SIN</p><p>-1,5</p><p>-1</p><p>-0,5</p><p>0</p><p>0,5</p><p>1</p><p>1,5</p><p>COS</p><p>SIN</p><p>-1,5</p><p>-1</p><p>-0,5</p><p>0</p><p>0,5</p><p>1</p><p>1,5</p><p>COS</p><p>SIN</p><p>-1,5</p><p>-1</p><p>-0,5</p><p>0</p><p>0,5</p><p>1</p><p>1,5</p><p>COS</p><p>SIN</p><p>-1,5</p><p>-1</p><p>-0,5</p><p>0</p><p>0,5</p><p>1</p><p>1,5</p><p>COS</p><p>SIN</p><p>0</p><p>0,2</p><p>0,4</p><p>0,6</p><p>0,8</p><p>1</p><p>1,2</p><p>COS</p><p>SIN</p><p>-1,5</p><p>-1</p><p>-0,5</p><p>0</p><p>0,5</p><p>1</p><p>1,5</p><p>COS</p><p>SIN</p><p>-1,5</p><p>-1</p><p>-0,5</p><p>0</p><p>0,5</p><p>1</p><p>1,5</p><p>COS</p><p>SIN</p><p>k=0 v k=8 k=4</p><p>k=1 k=2 k=3</p><p>k=7 k=6 k=5</p><p>ΩB=π/4</p><p>[ ] ( )Bj k nx n e ⋅Ω=</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 31</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Diferenças entre as exponenciais complexas contínua e discreta</p><p>Caso contínuo Caso discreto</p><p>Sinais distintos para distintos Sinais idênticos para exponenciais de</p><p>valores de frequências separadas por 2π</p><p>Periódico para qualquer Periódico apenas se</p><p>valor de</p><p>para m e N > 0 inteiros</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>[ ] njenx 0Ω=( ) tjetx 0ω=</p><p>0ω</p><p>0ω</p><p>N</p><p>mπ2</p><p>0 =Ω</p><p>Teoria do Sinal 32</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Diferenças entre as exponenciais complexas contínua e discreta</p><p>Caso contínuo Caso discreto</p><p>Frequência fundamental Frequência fundamental1</p><p>Período fundamental Período fundamental1</p><p>indefinido para indefinido para</p><p>para para</p><p>1 Válido apenas se m e N não tiverem factores comuns</p><p>Sinais contínuos e discretos básicos</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>[ ] njenx 0Ω=( ) tjetx 0ω=</p><p>0ω</p><p>00 =ω</p><p>m</p><p>0Ω</p><p>00 =Ω</p><p>00 ≠ω 00 ≠Ω</p><p>0</p><p>2</p><p>ω</p><p>π</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Ω0</p><p>2πm</p><p>Teoria do Sinal 33</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Definição</p><p>Um sistema pode</p><p>ser entendido como qualquer processo que resulta na transformação</p><p>de sinais, podendo ser caracterizado como dispondo de um sinal de entrada e de um</p><p>sinal de saída que se relacionam pela transformação do sistema.</p><p>As notações usadas para representar as transformações de sistema, sejam eles</p><p>contínuos ou discretos, são as que seguem:</p><p>Sistemas</p><p>( ) ( )tytx → [ ] [ ]nynx →</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>x(t) y(t) x[n] y[n]</p><p>S. contínuo S. discreto</p><p>Teoria do Sinal 34</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Memória</p><p>Um sistema diz-se sem memória se o seu valor de saída, para um dado valor da</p><p>variável independente (tempo), só depender do valor da entrada nesse mesmo tempo.</p><p>Um sistema contínuo com a seguinte relação entre a entrada e a saída:</p><p>não tem memória.</p><p>Já os sistemas caracterizados pelas seguintes relações entre a entrada e a saída têm</p><p>memória:</p><p>Propriedades dos Sistemas</p><p>( ) ( ) ( )32y t x t x t= +</p><p>( ) ( )1−= txty [ ] [ ]1−= nxny</p><p>( ) ( )1 t</p><p>y t x d</p><p>C</p><p>τ τ</p><p>−∞</p><p>= ∫ [ ] [ ]∑</p><p>−∞=</p><p>=</p><p>n</p><p>k</p><p>kxny</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 35</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Sistemas invertíveis</p><p>Um sistema é invertível se entradas distintas produzirem saídas distintas, ou seja, se a</p><p>observação da saída permitir determinar a entrada. Dito ainda de outra forma, um</p><p>sistema é invertível se for possível construir um outro sistema (sistema inverso) que,</p><p>ligado em série com o primeiro, produza uma saída idêntica à entrada desse.</p><p>Exemplo 1: o sistema</p><p>tem um sistema inverso</p><p>Exemplo 2: o sistema</p><p>tem um sistema inverso</p><p>Propriedades dos Sistemas</p><p>( ) ( )2y t x t=</p><p>[ ] [ ] [ ]1−−= nynynz</p><p>[ ] [ ]∑</p><p>−∞=</p><p>=</p><p>n</p><p>k</p><p>kxny</p><p>( ) ( )tytz</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 36</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Causalidade</p><p>Um sistema é causal se a sua saída, para qualquer instante de tempo, depender apenas</p><p>dos valores presente e passados da entrada, isto é, o sistema não antecipa as entradas.</p><p>Se a um sistema causal forem aplicadas entradas idênticas até um certo instante t0 ou</p><p>n0, as suas saídas devem ser idênticas até esse instante.</p><p>Exemplos: o sistema é causal;</p><p>o sistema não é causal;</p><p>o sistema não é causal;</p><p>o sistema é causal;</p><p>Propriedades dos Sistemas</p><p>( ) ( )2−= txty</p><p>( ) ( ) ( )2+−= txtxty</p><p>[ ] [ ]∑</p><p>−=</p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p>M</p><p>Mk</p><p>knx</p><p>M</p><p>ny</p><p>12</p><p>1</p><p>[ ] [ ] [ ]</p><p>2</p><p>1−−</p><p>=</p><p>nxnxny</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 37</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Estabilidade</p><p>Diz-se que um sistema é estável se, para entradas limitadas, a saída também for</p><p>limitada.</p><p>O sistema</p><p>é estável, porque como a saída corresponde à média de 2M+1 entradas consecutivas,</p><p>se essas entradas forem limitadas, a saída será obrigatoriamente limitada.</p><p>O sistema</p><p>não é estável, porque entradas limitadas podem originar saídas ilimitadas. Se, por</p><p>exemplo, a entrada for um degrau unitário u(t), como a saída corresponde à</p><p>acumulação das entradas desde - ∞, a saída é ilimitada.</p><p>Propriedades dos Sistemas</p><p>[ ] [ ]∑</p><p>−=</p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p>M</p><p>Mk</p><p>knx</p><p>M</p><p>ny</p><p>12</p><p>1</p><p>[ ] [ ]∑</p><p>−∞=</p><p>=</p><p>n</p><p>k</p><p>nxny</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 38</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Invariância temporal</p><p>Um sistema é invariante no tempo se uma translação temporal do sinal de entrada</p><p>originar a mesma translação no sinal de saída.</p><p>Se, no caso contínuo, ou, no caso discreto,</p><p>a invariância temporal implica que</p><p>e</p><p>Propriedades dos Sistemas</p><p>( ) ( ) [ ] [ ]nynxtytx →→</p><p>( ) ( )00 ttyttx −→−</p><p>[ ] [ ]00 nnynnx −→−</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 39</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Linearidade</p><p>Um sistema é linear quando possui a propriedade da sobreposição. Para que um</p><p>sistema seja linear é necessário que:</p><p>– a resposta à entrada seja , em que e</p><p>são as respostas a e respectivamente;</p><p>e que</p><p>– a resposta a seja .</p><p>Combinando a duas propriedades anteriores, aditividade e homogeneidade, temos</p><p>ou, no caso discreto</p><p>Propriedades dos Sistemas</p><p>( ) ( )txtx 21 + ( ) ( )tyty 21 + ( ) ( )tyty 21</p><p>( ) ( )txtx 21</p><p>( )1a x t ( )1a y t</p><p>( ) ( ) ( ) ( )tbytaytbxtax 2121 +→+</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ]nbynaynbxnax 2121 +→+</p><p>Sinais e sistemas, contínuos e discretos</p><p>Teoria do Sinal 40</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Uma propriedade dos sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI), que traduz o</p><p>princípio da sobreposição, determina que a resposta desses sistemas a uma entrada que</p><p>seja a combinação linear de sinais,</p><p>é a mesma combinação linear das respostas do sistema a cada um desses sinais</p><p>componentes,</p><p>Portanto, se for possível representar qualquer sinal de entrada como a combinação</p><p>linear de sinais básicos, basta conhecer a resposta de um sistema LTI a esses sinais</p><p>básicos para se poder determinar a sua resposta a qualquer sinal de entrada.</p><p>Representação de sinais por meio de impulsos</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 ...x t a x t a x t a x t= + + +</p><p>( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 ...y t a y t a y t a y t= + + +</p><p>Teoria do Sinal 41</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>(decomposição em impulsos unitários)</p><p>Caso discreto</p><p>Como</p><p>pode-se escrever</p><p>Caso contínuo</p><p>Como</p><p>substituindo t0 por τ e integrando temos</p><p>Representação de sinais por meio de impulsos</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ],000 nnnxnnnx −=− δδ</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t d x t t d x t t d x tτ δ τ τ δ τ τ δ τ τ</p><p>∞ ∞ ∞</p><p>−∞ −∞ −∞</p><p>− = − = − =∫ ∫ ∫</p><p>[ ] [ ] [ ].∑</p><p>∞</p><p>−∞=</p><p>−=</p><p>k</p><p>knkxnx δ</p><p>( ) ( ) ( ) ( ),000 tttxtttx −=− δδ</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>Teoria do Sinal 42</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Em alternativa, podemos chegar ao mesmo resultado da seguinte forma:</p><p>Se se aproximar um sinal x(t), utilizando impulsos de largura ∆ e amplitude 1/∆,</p><p>obtém-se o seguinte sinal:</p><p>O sinal tende para se fizermos ∆ tender para zero.</p><p>ou seja</p><p>Representação de sinais por meio de impulsos</p><p>( ) ( ) ( )ˆ .</p><p>k</p><p>x t x k t kδ</p><p>∞</p><p>∆</p><p>=−∞</p><p>= ∆ − ∆ ∆∑</p><p>( )tx̂ ( )tx</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>0</p><p>lim ,</p><p>k</p><p>x t x k t kδ</p><p>∞</p><p>∆∆→</p><p>=−∞</p><p>= ∆ − ∆ ∆∑</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>( ) ( ) ( ) .x t x t dτ δ τ τ</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>= −∫</p><p>∆ t</p><p>( )tx</p><p>( )tx̂</p><p>… …</p><p>Teoria do Sinal 43</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>A saída de um sistema discreto linear quando é sujeito ao seguinte sinal de entrada</p><p>é dada pela sobreposição das respostas a cada um dos impulsos. Se a resposta a um</p><p>impulso for então a saída do sistema, y[n], será uma combinação linear</p><p>dos sinais hk[n]</p><p>Sistemas discretos: somatório de convolução</p><p>[ ]kn −δ</p><p>[ ] [ ] [ ]</p><p>k</p><p>x n x k n kδ</p><p>∞</p><p>=−∞</p><p>= −∑</p><p>[ ]nhk</p><p>[ ] [ ] [ ]k</p><p>k</p><p>y n x k h n</p><p>∞</p><p>=−∞</p><p>= ∑</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>Teoria do Sinal 44</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Consideremos um sinal x[n] e</p><p>um sistema para o qual</p><p>conhecemos as respostas a</p><p>impulsos unitários situados em</p><p>n=0, h0[n], e em n=1, h1[n].</p><p>x[n] pode ser decomposto em</p><p>dois impulsos unitários, x[0]δ[n]</p><p>e x[1]δ[n-1].</p><p>A resposta do sistema a x[n],</p><p>y[n], será igual à sobreposição</p><p>das respostas do sistema aos</p><p>impulsos unitários em que foi</p><p>decomposto x[n], isto é, será</p><p>igual à soma de x[0]h0[n] com</p><p>x[1]h1[n].</p><p>Sistemas discretos: somatório de convolução</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>⇒</p><p>⇒</p><p>= +</p><p>x[n] x[0] δ[n] x[1] δ[n-1]</p><p>n n n</p><p>2 2</p><p>-1 -1</p><p>n</p><p>h0[n]</p><p>1</p><p>-1</p><p>n</p><p>x[0]h0[n]</p><p>2</p><p>-2</p><p>n</p><p>h1[n]</p><p>1</p><p>-1</p><p>n</p><p>x[1]h1[n]</p><p>1</p><p>-1</p><p>n</p><p>y[n]</p><p>3</p><p>-2</p><p>1</p><p>Teoria do Sinal 45</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Se o sistema, para além de linear, for invariante no tempo, então as respostas são</p><p>versões transladadas de k da resposta a . Nesse caso o somatório</p><p>transforma-se no somatório de convolução</p><p>em que é a resposta impulsional do sistema.</p><p>Um sistema discreto linear e invariante no tempo (SLIT ou LTI) é completamente</p><p>caracterizado pela sua resposta impulsional, h[n].</p><p>Sistemas discretos: somatório de convolução</p><p>[ ] [ ] [ ] .k</p><p>k</p><p>y n x k h n</p><p>∞</p><p>=−∞</p><p>= ∑</p><p>[ ]nhk</p><p>[ ]nh0 [ ]nδ</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]</p><p>k</p><p>y n x k h n k x n h n</p><p>∞</p><p>=−∞</p><p>= − = ∗∑</p><p>[</p><p>] [ ]nhnh 0=</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>Teoria do Sinal 46</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Exemplo 1: Considere os seguintes sinais:</p><p>Calcule</p><p>Exemplo 2: Considere os seguintes sinais:</p><p>Calcule</p><p>Sistemas discretos: somatório de convolução</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=</p><p>[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=</p><p>[ ] [ ] para 0 1nx n u nα α= < <</p><p>[ ] [ ]h n u n=</p><p>[ ] 1, 0 4</p><p>0, outros</p><p>n</p><p>x n</p><p>n</p><p>≤ ≤</p><p>= </p><p></p><p>[ ] , 0 6</p><p>0, outros</p><p>n n</p><p>h n</p><p>n</p><p>α ≤ ≤</p><p>= </p><p></p><p>n</p><p>h[n]</p><p>1 ...</p><p>n</p><p>x[n]</p><p>1 ...</p><p>x[n]</p><p>1</p><p>n</p><p>n</p><p>h[n]</p><p>1</p><p>Teoria do Sinal 47</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Como já vimos, um qualquer sinal x(t) pode ser expresso da seguinte forma:</p><p>Se aplicarmos o sinal x(t) a um sistema linear, obtemos à saída o seguinte sinal</p><p>em que é a resposta do sistema ao impulso Com ∆ a tender para zero o</p><p>somatório tende para o integral, ou seja</p><p>em que é a resposta a um impulso na posição</p><p>Sistemas contínuos: integral de convolução</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>0</p><p>ˆlim ,k</p><p>k</p><p>y t x k h t</p><p>∞</p><p>∆∆→</p><p>=−∞</p><p>= ∆ ∆∑</p><p>( )thk∆</p><p>ˆ ( ).∆−∆ ktδ</p><p>( ) ( ) ( ) ,y t x h t d</p><p>∞</p><p>τ</p><p>−∞</p><p>= τ τ∫</p><p>( )thτ .τ</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>0</p><p>lim</p><p>k</p><p>x t x k t kδ</p><p>∞</p><p>∆∆→</p><p>=−∞</p><p>= ∆ − ∆ ∆∑</p><p>Teoria do Sinal 48</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Se o sistema, para além de ser linear, for invariante no tempo, é uma versão</p><p>transladada da resposta a um impulso na origem, .</p><p>Nesse caso a equação</p><p>pode ser transformada no integral de convolução</p><p>em que h(t) é a resposta impulsional do sistema.</p><p>Tal como no caso discreto, também os sistemas contínuos lineares e invariantes no</p><p>tempo podem ser completamente caracterizados pela sua resposta impulsional.</p><p>Sistemas contínuos: integral de convolução</p><p>( )thτ</p><p>( )th</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,y t x h t d x t h t</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>= τ − τ τ = ∗∫</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>( ) ( ) ( )y t x h t d</p><p>∞</p><p>τ</p><p>−∞</p><p>= τ τ∫</p><p>Teoria do Sinal 49</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Exemplo 1: Considere os seguintes sinais:</p><p>Calcule</p><p>Exemplo 2: Considere os seguintes sinais:</p><p>Calcule</p><p>Sistemas contínuos: integral de convolução</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>( ) ( ) ( )thtxty ∗=</p><p>( ) ( ) ( )thtxty ∗=</p><p>( ) ( ) 0para >= − atuetx at</p><p>( ) ( )tuth =</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p>>∨<</p><p><<</p><p>=</p><p>Ttt</p><p>Tt</p><p>tx</p><p>0,0</p><p>0,1</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p>>∨<</p><p><<</p><p>=</p><p>Ttt</p><p>Ttt</p><p>th</p><p>20,0</p><p>20,</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>1</p><p>t</p><p>h(t)</p><p>1</p><p>x(t)</p><p>1</p><p>tT</p><p>t</p><p>h(t)</p><p>2T</p><p>2T</p><p>Teoria do Sinal 50</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Um sistema discreto ou contínuo linear e invariante no tempo é completamente</p><p>caracterizado pela sua resposta impulsional.</p><p>A convolução goza das seguintes propriedades:</p><p>– propriedade comutativa</p><p>– propriedade associativa</p><p>– propriedade distributiva</p><p>Propriedades da Convolução</p><p>( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t∗ = ∗</p><p>( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )ththtxththtx 2121 ∗∗=∗∗</p><p>( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )thtxthtxththtx 2121 ∗+∗=+∗</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ]nxnhnhnx ∗=∗</p><p>[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]nhnhnxnhnhnx 2121 ∗∗=∗∗</p><p>[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]nhnxnhnxnhnhnx 2121 ∗+∗=+∗</p><p>Teoria do Sinal 51</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Das propriedades associativa e comutativa resulta que a associação em série de dois</p><p>sistemas LTI é independente da ordem em que esses sistemas ocorrem. Por outro lado,</p><p>considerando a propriedade distributiva, a associação em paralelo de dois sistemas LTI</p><p>é equivalente a um único sistema com resposta impulsional igual à soma das respostas</p><p>impulsionais.</p><p>Propriedades da Convolução</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>x[n]</p><p>x[n]</p><p>x[n]</p><p>x[n]</p><p>y[n]</p><p>y[n]</p><p>y[n]</p><p>y[n]</p><p>h1[n]</p><p>h1[n]</p><p>h1[n]∗h2[n]</p><p>h2[n]</p><p>h2[n]</p><p>h2[n]∗h1[n]</p><p>h1[n]</p><p>h1[n]+h2[n]</p><p>h2[n]</p><p>x[n] y[n]</p><p>x[n] y[n]</p><p>Teoria do Sinal 52</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>As propriedades dos sistemas LTI, já antes analisadas, podem exprimir-se agora em</p><p>relação com a resposta impulsional dos sistemas que, como se viu, determina a relação</p><p>entrada/saída por meio da convolução:</p><p>Propriedades dos Sistemas LTI</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]</p><p>k k</p><p>y n x k h n k h k x n k x n h n</p><p>+∞ +∞</p><p>=−∞ =−∞</p><p>= − = − = ∗∑ ∑</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d h x t d x t h tτ τ τ τ τ τ</p><p>+∞ +∞</p><p>−∞ −∞</p><p>= − = − = ∗∫ ∫</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>Teoria do Sinal 53</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Sistemas com e sem memória</p><p>Das equações anteriores decorre imediatamente que a única forma de a saída de um</p><p>sistema depender apenas do valor da entrada no mesmo tempo é verificar-se, no caso</p><p>discreto, h[k]=0 , , e no caso contínuo, , . Ou seja, a resposta</p><p>impulsional de um sistema sem memória terá que ter a forma</p><p>ou ,</p><p>para um certo valor K constante.</p><p>Os sistemas serão especificados pelas seguintes equações:</p><p>e</p><p>Propriedades dos Sistemas LTI</p><p>0≠k ( ) 0=τh 0≠τ</p><p>[ ] [ ]nKnh δ= ( ) ( )tKth δ=</p><p>[ ] [ ]y n K x n= ( ) ( ) .y t K x t=</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>Teoria do Sinal 54</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Invertibilidade</p><p>A condição para um sistema de resposta impulsional h[n] ou h(t) ser invertível é que</p><p>seja possível determinar um sistema inverso, de resposta impulsional h1[n] ou h1(t),</p><p>que deverá obedecer a</p><p>ou</p><p>Exemplo:</p><p>O sistema “atraso” , com t0 > 0, tem resposta impulsional</p><p>e o seu sistema inverso, sistema “avanço”, tem resposta impulsional</p><p>Propriedades dos Sistemas LTI</p><p>[ ] [ ] [ ]nnhnh δ=∗ 1 ( ) ( ) ( ).1 tthth δ=∗</p><p>( ) ( )0ttxty −=</p><p>( ) ( ),0ttth −= δ</p><p>( ) ( ).01 ttth += δ</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>Teoria do Sinal 55</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Causalidade</p><p>A saída de um sistema causal não pode depender de valores futuros da entrada. Por</p><p>inspecção da soma e do integral de convolução conclui-se que, para um sistema ser</p><p>causal, se deve verificar</p><p>ou</p><p>Estabilidade</p><p>A condição de estabilidade obriga a que um sistema sujeito a uma entrada limitada</p><p>tenha uma saída também limitada. Em termos da resposta impulsional, a estabilidade</p><p>obriga a que</p><p>ou</p><p>Propriedades dos Sistemas LTI</p><p>[ ] 0,0 <= nnh ( ) .0,0 <= tth</p><p>[ ] ∞<∑</p><p>+∞</p><p>−∞=k</p><p>kh ( ) ∞<∫</p><p>+∞</p><p>∞−</p><p>τh</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>Teoria do Sinal 56</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Em muitos casos caracterizam-se os sistemas pela sua resposta a um degrau unitário,</p><p>em vez de pela resposta impulsional. A resposta ao degrau unitário designa-se por</p><p>resposta indicial e exprime-se por s(t) ou s[n].</p><p>A resposta indicial pode relacionar-se com a resposta impulsional.</p><p>Caso discreto</p><p>A resposta indicial é igual a</p><p>s[n] pode ser vista como a resposta de um sistema LTI de resposta impulsional u[n] a</p><p>uma entrada h[n]. Um sistema com resposta impulsional u[n] é um sistema</p><p>“acumulador”, logo</p><p>O sistema inverso tem resposta impulsional</p><p>Resposta de um sistema LTI a um degrau unitário</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nunhnhnuns ∗=∗=</p><p>[ ] [ ].∑</p><p>−∞=</p><p>=</p><p>n</p><p>k</p><p>khns</p><p>[ ] [ ] [ ].1−−= nsnsnh</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>Teoria do Sinal 57</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Caso contínuo</p><p>A resposta indicial é igual a</p><p>De modo semelhante, no caso contínuo, a resposta indicial é a resposta de um</p><p>integrador (que tem resposta impulsional u(t)) a uma entrada h(t). A recuperação da</p><p>resposta impulsional a partir da resposta indicial faz-se por meio do sistema inverso,</p><p>diferenciador:</p><p>Em conclusão, pode-se afirmar que um sistema LTI fica completamente caracterizado</p><p>pela sua resposta impulsional – h(t) ou h[n] – ou, alternativamente, pela sua resposta</p><p>indicial – s(t) ou s[n] – uma vez que, a partir desta última, se pode obter a primeira.</p><p>Resposta de um sistema LTI a um degrau unitário</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )tuththtuts ∗=∗=</p><p>( ) ( )∫</p><p>∞−</p><p>=</p><p>t</p><p>dhts ττ ( ) ( ) ( )ts</p><p>dt</p><p>tdsth ′==</p><p>Sistemas lineares e invariantes</p><p>Teoria do Sinal 58</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Consideremos um sistema contínuo cujas entrada e saída estão relacionadas pela</p><p>seguinte equação diferencial:</p><p>A resposta do sistema está expressa de forma implícita na equação. Para exprimir a</p><p>resposta explicitamente, é necessário resolver a equação diferencial.</p><p>Considere-se, então, que a entrada é o sinal , com k real.</p><p>A solução completa da equação consiste na soma de uma solução particular, yp(t), da</p><p>equação completa,</p><p>com uma solução homogénea, yh(t), da equação sem segundo</p><p>membro.</p><p>Sistemas descritos por equações diferenciais</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( ) ( )txty</p><p>dt</p><p>tdy</p><p>=+ 2</p><p>( ) ( ) ( )0cosx t k t u tω=</p><p>Teoria do Sinal 59</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Pode-se verificar que a solução particular é igual a</p><p>onde . Por outro lado, a solução homogénea tem a forma</p><p>Para que a saída fique completamente determinada pela entrada é necessário fixar</p><p>condições auxiliares (neste caso, apenas uma). Fixando, por exemplo, y(0)=y0, a</p><p>solução geral é</p><p>A solução apresentada não é linear (nomeadamente a saída não é nula quando a</p><p>entrada o é), mas apenas incrementalmente linear.</p><p>Sistemas descritos por equações diferenciais</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( ) ,0,cos</p><p>4</p><p>02</p><p>0</p><p>>−</p><p>+</p><p>= ttktyp θω</p><p>ω</p><p>( )20ωθ arctg=</p><p>( ) .2t</p><p>h Aety −=</p><p>( ) ( ) ( )2 2</p><p>0 02</p><p>0</p><p>cos cos</p><p>4</p><p>t tky t y e t e u tω θ θ</p><p>ω</p><p>− − = + − − </p><p>+</p><p>Teoria do Sinal 60</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Para o sistema ser linear, a condição auxiliar deve ser nula, isto é y0=0.</p><p>Para o sistema ser causal deve-se fazer uma escolha particular das condições</p><p>auxiliares. Trata-se da condição de repouso inicial, que determina que</p><p>Assim, a equação só precisa de ser resolvida para t>t0,</p><p>usando-se a condição auxiliar y(t0)=0,</p><p>que se designa por condição inicial.</p><p>Também se pode provar que a condição inicial nula além de garantir a causalidade do</p><p>sistema, também garante a sua invariância temporal.</p><p>Sistemas descritos por equações diferenciais</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) .para0então,para0)(se 00 tttytttx ≤=≤=</p><p>Teoria do Sinal 61</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>No caso geral, uma equação diferencial linear de coeficientes constantes, de ordem N,</p><p>é dada por</p><p>A ordem N refere-se à derivada mais elevada da saída com coeficiente não nulo.</p><p>Neste caso, para o sistema ser linear, causal e invariante no tempo, devem usar-se as</p><p>condições iniciais seguintes:</p><p>Sistemas descritos por equações diferenciais</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( )</p><p>k</p><p>kM</p><p>k</p><p>k</p><p>N</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>k dt</p><p>txdb</p><p>dt</p><p>tyda ∑∑</p><p>==</p><p>=</p><p>00</p><p>( ) ( ) ( ) .01</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>0 ==== −</p><p>−</p><p>N</p><p>N</p><p>dt</p><p>tyd</p><p>dt</p><p>tdyty</p><p>Teoria do Sinal 62</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>No caso discreto, a equação às diferenças linear de coeficientes constantes, de ordem</p><p>N, é dada por</p><p>A solução de uma tal equação pode ser efectuada por um método inteiramente análogo</p><p>ao usado no caso contínuo.</p><p>No entanto, é possível seguir um caminho alternativo, reconhecendo que a anterior</p><p>equação pode ser reescrita como</p><p>A necessidade de condições auxiliares é evidente nesta formulação, pois para calcular</p><p>y[n], é necessário conhecer y[n-1], ... , y[n-N]. Se a entrada for nula até n=n0, então</p><p>para o sistema ser linear, causal e invariante, devem-se impor condições iniciais</p><p>nulas.</p><p>Uma equação como a anterior designa-se por equação recursiva.</p><p>Sistemas descritos por equações às diferenças</p><p>Análise de Fourier</p><p>[ ] [ ]knxbknya</p><p>M</p><p>k</p><p>k</p><p>N</p><p>k</p><p>k −=− ∑∑</p><p>== 00</p><p>[ ] [ ] [ ] .1</p><p>100 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−−= ∑∑</p><p>==</p><p>N</p><p>k</p><p>k</p><p>M</p><p>k</p><p>k knyaknxb</p><p>a</p><p>ny</p><p>Teoria do Sinal 63</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>No caso especial em que N = 0, a equação reduz-se a</p><p>que é designada por não-recursiva, e pode ser resolvida sem condições auxiliares. Por</p><p>cálculo directo, a resposta impulsional deste sistema é</p><p>A equação às diferenças, neste caso, é o somatório de convolução.</p><p>A resposta impulsional de um sistema não-recursivo só é não-nula num intervalo de</p><p>tempo finito, por essa razão, esses sistemas designam-se por sistemas de resposta</p><p>impulsional finita ou FIR (finite impulse response).</p><p>Os sistemas recursivos têm resposta impulsional de duração ilimitada e designam-se</p><p>por sistemas de resposta impulsional infinita ou IIR (infinite impulse response).</p><p>Sistemas descritos por equações às diferenças</p><p>Análise de Fourier</p><p>[ ] [ ]</p><p>0 0</p><p>M</p><p>k</p><p>k</p><p>by n x n k</p><p>a=</p><p> </p><p>= − </p><p> </p><p>∑</p><p>[ ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>>∨<</p><p>≤≤</p><p>=</p><p>Mnn</p><p>Mn</p><p>a</p><p>b</p><p>nh</p><p>n</p><p>0,0</p><p>0,</p><p>0</p><p>Teoria do Sinal 64</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Sistemas discretos</p><p>Os elementos gráficos básicos a usar são o somador, o multiplicador por um</p><p>coeficiente, e o atraso unitário, representados como segue:</p><p>Como ilustração simples considerem-se os seguintes sistemas (sempre supostos</p><p>inicialmente em repouso):</p><p>Representações de sistemas por diagramas de blocos</p><p>Análise de Fourier</p><p>x1[n]</p><p>x2[n]</p><p>x1[n]+x2[n]</p><p>+</p><p>x[n] a x[n]a</p><p>D</p><p>x[n] x[n-1]</p><p>D</p><p>+x[n] y[n]</p><p>y[n-1]</p><p>- a</p><p>b</p><p>x[n] y[n]</p><p>x[n-1]</p><p>b0</p><p>b1</p><p>D</p><p>+</p><p>[ ] [ ] [ ]nxbnyany =−+ 1 [ ] [ ] [ ]110 −+= nxbnxbny</p><p>Teoria do Sinal 65</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Considere-se agora o sistema descrito por</p><p>A resposta global é a associação em série de dois subsistemas, como se pode mostrar</p><p>considerando o sinal intermédio w[n]:</p><p>Como a resposta de um sistema série não depende da ordem em que ocorrem os</p><p>respectivos componentes é possível redesenhar o diagrama-blocos do sistema</p><p>ou</p><p>Representações de sistemas por diagramas de blocos</p><p>Análise de Fourier</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ]11 10 −+=−+ nxbnxbnyany</p><p>[ ] [ ] [ ]110 −+= nxbnxbnw [ ] [ ] [ ]nwnyany +−−= 1</p><p>+ y[n]</p><p>- a</p><p>x[n]</p><p>b0</p><p>b1</p><p>D</p><p>+</p><p>w[n]</p><p>D</p><p>+ y[n]</p><p>- a</p><p>x[n]</p><p>b0</p><p>b1</p><p>D</p><p>+</p><p>z[n]</p><p>D</p><p>+ y[n]</p><p>- a</p><p>x[n]</p><p>b0</p><p>b1</p><p>D</p><p>+</p><p>Teoria do Sinal 66</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Pode-se aplicar a mesma ideia para representar o diagrama-blocos de um sistema</p><p>recursivo genérico que, como se viu, é descrito pela equação:</p><p>forma directa I forma directa II ou canónica</p><p>Representações de sistemas por diagramas de blocos</p><p>Análise de Fourier</p><p>[ ] [ ] [ ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−−= ∑∑</p><p>==</p><p>N</p><p>k</p><p>k</p><p>N</p><p>k</p><p>k knyaknxb</p><p>a</p><p>ny</p><p>100</p><p>1</p><p>+ y[n]x[n]</p><p>b0</p><p>D</p><p>- a1 b1</p><p>+</p><p>1/a0</p><p>+</p><p>D</p><p>- a2 b2</p><p>+</p><p>+ +</p><p>- aN-1 bN-1+</p><p>D</p><p>- aN bN</p><p>+</p><p>+ y[n]</p><p>- a1</p><p>x[n]</p><p>b0</p><p>b1</p><p>D</p><p>+</p><p>w[n]</p><p>D</p><p>+ +</p><p>bN-1 +</p><p>b2</p><p>D</p><p>+</p><p>bN</p><p>D</p><p>- a2</p><p>D</p><p>+</p><p>- aN-1+</p><p>- aN</p><p>D</p><p>1/a0</p><p>Teoria do Sinal 67</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Sistemas contínuos</p><p>Os elementos gráficos básicos a usar são o somador, o multiplicador por um</p><p>coeficiente, e o diferenciador, representados como segue:</p><p>Representações de sistemas por diagramas de blocos</p><p>Análise de Fourier</p><p>x1(t)</p><p>x2(t)</p><p>x1(t)+x2 (t)</p><p>+</p><p>x (t) a x (t)a</p><p>D</p><p>x (t) d x (t)/dt</p><p>x(t)Devido à dificuldade de realização física de</p><p>elementos diferenciadores, é costume passar-se</p><p>a equação diferencial para uma equação</p><p>integral, usando-se elementos integradores nos</p><p>diagramas-blocos.</p><p>( ) ( )( ) ( )( )</p><p>( )( ) ( ).deordemdeintegraloéqueem</p><p>1 1</p><p>00</p><p>k</p><p>k</p><p>kN</p><p>N</p><p>k</p><p>kNk</p><p>N</p><p>k</p><p>kNk</p><p>N</p><p>dt</p><p>txdNtx</p><p>tyatxb</p><p>a</p><p>ty</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−= ∑∑</p><p>+ y(t)</p><p>bN</p><p>- aN-1 bN-1</p><p>+</p><p>1/aN</p><p>+</p><p>- aN-2 bN-2</p><p>+</p><p>+ +</p><p>- a1 b1+</p><p>- a0 b0</p><p>+</p><p>∫</p><p>∫</p><p>∫</p><p>Teoria do Sinal 68</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Como se viu, a resposta de um sistema linear e invariante no tempo a uma entrada que</p><p>consista numa combinação linear de impulsos unitários é a combinação linear das</p><p>respostas individuais a cada um desses sinais básicos. Essa resposta pode ser</p><p>determinada pelo cálculo da convolução entre o sinal de entrada e a resposta</p><p>impulsional do sistema.</p><p>A representação de sinais por meio de combinações lineares de sinais básicos deve</p><p>respeitar as seguintes propriedades:</p><p>– o conjunto de sinais básicos deve permitir construir uma classe vasta e útil de</p><p>sinais;</p><p>– a resposta de um sistema linear e invariante no tempo a cada sinal básico deve ter</p><p>uma estrutura suficientemente simples, de forma a permitir a conveniente</p><p>representação da resposta do sistema a sinais expressos como combinações</p><p>lineares desses sinais básicos.</p><p>Não é só a decomposição em impulsos unitários que tem estas propriedades.</p><p>Resposta dos sistemas lineares e invariantes</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 69</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>A resposta de um sistema linear e invariante no tempo a uma exponencial complexa é</p><p>também uma exponencial complexa</p><p>Um sinal para o qual a saída do sistema é simplemente o produto da entrada por uma</p><p>constante designa-se por função própria do sistema. A constante por que vem</p><p>multiplicado o sinal de entrada designa-se por valor próprio.</p><p>Se aplicarmos o sinal x(t)=est a um sistema com resposta impulsional h(t) teremos à</p><p>saída o sinal</p><p>Resposta dos sistemas lineares</p><p>e invariantes</p><p>( )st ste H s e→</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t st sy t h x t d h e d e h e dτ ττ τ τ τ τ τ τ</p><p>∞ ∞ ∞</p><p>− −</p><p>−∞ −∞ −∞</p><p>= − = =∫ ∫ ∫</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 70</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>O valor próprio é dado por</p><p>Se soubermos decompor um sinal x(t) numa combinação linear de exponenciais</p><p>complexas, isto é, se</p><p>então a resposta de um sistema linear e invariante no tempo a esse sinal pode ser</p><p>calculada directamente aplicando a propriedade da sobreposição</p><p>Vamos passar a considerar o caso particular em que s = jω.</p><p>Resposta dos sistemas lineares e invariantes</p><p>( ) ( ) sH s h e dττ τ</p><p>∞</p><p>−</p><p>−∞</p><p>= ∫</p><p>( )k ks t s t</p><p>k k k</p><p>k k</p><p>a e a H s e→∑ ∑</p><p>( ) ,∑=</p><p>k</p><p>ts</p><p>k</p><p>keatx</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 71</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Representação de sinais periódicos pela série de Fourier</p><p>Se o conjunto de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas</p><p>tem um período comum T0, uma combinação linear dessas exponenciais</p><p>é também um sinal periódico com período</p><p>Esta decomposição de um sinal periódico designa-se por série de Fourier.</p><p>O termo em k=0 é um termo constante. Os termos em k=-1 e k=1 têm período</p><p>fundamental T0 e são designados por componentes fundamentais. Os termos em k=-N e</p><p>k=N têm período fundamental T0/N e são designados por harmónicos de ordem N.</p><p>Série de Fourier</p><p>( ) ,...2,1,0,0 ±±== ket tjk</p><p>k</p><p>ωφ</p><p>( ) ∑=</p><p>k</p><p>tjk</p><p>keatx 0ω</p><p>.2</p><p>0</p><p>0 ω</p><p>π=T</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 72</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Se x(t) for real, então x(t)=x*(t). Nesse caso temos</p><p>logo Com base neste resultado pode-se reescrever a expressão da série de</p><p>Fourier de seguinte forma:</p><p>Exprimindo ak no forma polar, , obtém-se</p><p>Série de Fourier</p><p>( ) ∑ ∑∑∑ −</p><p>− ==</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>==</p><p>k k</p><p>tjk</p><p>k</p><p>tjk</p><p>k</p><p>k</p><p>tjk</p><p>k</p><p>k</p><p>tjk</p><p>k eaeaeaeatx 0000 **</p><p>*</p><p>ωωωω</p><p>.*</p><p>kk aa −=</p><p>( ) ( ) ( )∑∑</p><p>∞</p><p>=</p><p>−</p><p>∞</p><p>=</p><p>−</p><p>− ++=++=</p><p>1</p><p>*</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>0000</p><p>k</p><p>tjk</p><p>k</p><p>tjk</p><p>k</p><p>k</p><p>tjk</p><p>k</p><p>tjk</p><p>k eaeaaeaeaatx ωωωω</p><p>kj</p><p>k ka A e θ=</p><p>( ) { } ( )0</p><p>0 0 0</p><p>1 1</p><p>2 2 cosjk t</p><p>k k k</p><p>k k</p><p>x t a a e a A k tω ω θ</p><p>∞ ∞</p><p>= =</p><p>= + ℜ = + +∑ ∑</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 73</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Uma das propriedades importantes que já pode ser verificada é a de que se a entrada</p><p>de um sistema LTI for periódica com período T, então a saída também é periódica,</p><p>com o mesmo período. Isto pode ser verificado, para sinais expressos como série de</p><p>Fourier, calculando os coeficientes da série de Fourier da saída a partir dos da entrada.</p><p>Sendo a entrada x(t), a resposta impulsional do sistema h(t), e a saída y(t), então</p><p>em que os valores próprios são</p><p>Isto é, se {ak} for o conjunto de coeficientes da série de Fourier de x(t), então</p><p>{akH(kω0)} é o conjunto dos coeficientes da saída y(t).</p><p>Série de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( ) 0</p><p>0 ,jk t</p><p>k</p><p>k</p><p>y t a H k e ωω</p><p>+∞</p><p>=−∞</p><p>= ∑</p><p>( ) ( ) 0</p><p>0 .jkH k h e dω τω τ τ</p><p>+∞ −</p><p>−∞</p><p>= ∫</p><p>Teoria do Sinal 74</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Série de Fourier</p><p>Exemplo 1: Considere o seguinte sinal periódico x(t) com frequência fundamental 2π:</p><p>onde</p><p>Represente-o graficamente.</p><p>Exemplo 2: Considere que o sinal do exemplo anterior foi aplicado à entrada de um</p><p>sistema com a seguinte resposta impulsional:</p><p>Calcule o sinal à saída do sistema,</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ,</p><p>3</p><p>3</p><p>2∑</p><p>−=</p><p>=</p><p>k</p><p>tjk</p><p>keatx π</p><p>.3</p><p>1,2</p><p>1</p><p>,4</p><p>1,1</p><p>3322</p><p>110</p><p>====</p><p>===</p><p>−−</p><p>−</p><p>aaaa</p><p>aaa</p><p>( ) ( ).tueth t−=</p><p>( ) ,</p><p>3</p><p>3</p><p>2∑</p><p>−=</p><p>=</p><p>k</p><p>tjk</p><p>keatx π</p><p>( ) ( ) 0</p><p>3</p><p>03</p><p>jk t</p><p>kk</p><p>y t a H k e ωω+</p><p>=−</p><p>= ∑</p><p>Teoria do Sinal 75</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Se um sinal periódico x(t) pode ser representado por uma série de Fourier, é necessário</p><p>determinar os coeficientes ak.</p><p>Esses coeficientes obtêm-se da seguinte forma:</p><p>Se se multiplicarem ambos os membros da equação de definição da série de Fourier</p><p>por e-jnω0t, obtém-se</p><p>e integrando de 0 até T0=2π/ω0, isto é, durante um período fundamental, fica</p><p>ou</p><p>Série de Fourier</p><p>( ) 0 0 0jn t jk t jn t</p><p>k</p><p>k</p><p>x t e a e eω ω ω</p><p>∞</p><p>− −</p><p>=−∞</p><p>= ∑</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ∫ ∑∫</p><p>∞</p><p>−∞=</p><p>−− =</p><p>0</p><p>00</p><p>0</p><p>0</p><p>00</p><p>T</p><p>k</p><p>tjntjk</p><p>k</p><p>T</p><p>tjn dteeadtetx ωωω</p><p>( ) ( )∑ ∫∫</p><p>∞</p><p>−∞=</p><p>−−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>k</p><p>T</p><p>tnkj</p><p>k</p><p>T</p><p>tjn dteadtetx</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>00</p><p>ωω</p><p>Teoria do Sinal 76</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Pode-se mostrar, usando a relação de Euler, o seguinte:</p><p>logo</p><p>Esta equação designa-se por equação de análise. A equação de análise e a equação de</p><p>síntese</p><p>definem completamente a série de Fourier. Os coeficientes ak são designados por</p><p>coeficientes da série de Fourier ou por coeficientes espectrais de x(t).</p><p>Série de Fourier</p><p>( ) 0</p><p>00</p><p>1 jk t</p><p>k T</p><p>a x t e dt</p><p>T</p><p>ω−= ∫</p><p>( ) ∑</p><p>∞</p><p>−∞=</p><p>=</p><p>k</p><p>tjk</p><p>keatx 0ω</p><p>Análise de Fourier</p><p>( )</p><p>0</p><p>0 0</p><p>0</p><p>,</p><p>0</p><p>T</p><p>j k n t T k n</p><p>e dt</p><p>k n</p><p>ω− =</p><p>=  ≠</p><p>∫</p><p>Teoria do Sinal 77</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Exemplo 3: Calcule os coeficientes da série de Fourier do seguinte sinal:</p><p>Exemplo 4: Calcule os coeficientes da série de Fourier do seguinte sinal:</p><p>Exemplo 5: Calcule os coeficientes da série de Fourier do sinal periódico da figura:</p><p>cujo período se define da seguinte forma</p><p>Série de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( )0sinx t tω=</p><p>( ) ( ) ( ) ( )0 0 01 sin 2cos cos 2 4x t t t t πω ω ω= + + + +</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p><<</p><p><</p><p>=</p><p>2</p><p>,0</p><p>,1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>TtT</p><p>Tt</p><p>tx</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>......</p><p>T1 T0/2 T00</p><p>Teoria do Sinal 78</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>A decomposição de sinais em exponenciais complexas, de que resulta a série de</p><p>Fourier, verifica a primeira das propriedades apontadas como desejáveis para essa</p><p>representação:</p><p>‘o conjunto de sinais básicos deve permitir construir uma classe vasta e útil de sinais’.</p><p>De facto, a representação pela série de Fourier é válida para qualquer sinal periódico</p><p>que seja contínuo, o que representa já uma vasta classe de sinais.</p><p>Por outro lado, o conjunto de sinais representáveis é ainda mais vasto, podendo incluir</p><p>descontinuidades, desde que sejam satisfeitas as três condições de Dirichlet:</p><p>1. x(t) deve ser absolutamente integrável ao longo de um período, isto é,</p><p>Série de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>( )</p><p>0T</p><p>x t dt < ∞∫</p><p>Teoria do Sinal 79</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>2. Em qualquer intervalo de tempo finito, x(t) deve ser de variação limitada, isto é,</p><p>não deve haver mais do que um número finito de máximos e mínimos durante</p><p>um período do sinal.</p><p>3. Em qualquer intervalo de tempo finito, x(t) deve ter apenas um número finito de</p><p>descontinuidades, as quais devem ser finitas.</p><p>Exemplo 6 (Fenómeno de Gibbs):</p><p>Verifique o que ocorre com a aproximação à onda quadrada, quando só se tomam em</p><p>consideração 2N+1 termos, isto é, fazendo</p><p>com N=1, 3, 7, 19, 79.</p><p>Série de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ∑</p><p>−=</p><p>=</p><p>N</p><p>Nk</p><p>tjk</p><p>keatx 0ω</p><p>Teoria do Sinal 80</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Série de Fourier</p><p>Fenómeno de Gibbs (N = 1, 3, 5, 7)</p><p>N=1</p><p>N=3 N=5</p><p>N=7</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 81</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Como vimos a série de Fourier só permite a representação de sinais periódicos.</p><p>Uma forma de chegar a uma representação baseada na decomposição em exponenciais</p><p>complexas que possa ser aplicada a sinais aperiódicos, consiste na extensão da</p><p>representação pela série de Fourier, fazendo o sinal periódico tender para um sinal</p><p>aperiódico.</p><p>No caso da onda quadrada, se fizermos o período T0 tender para infinito, obtemos o</p><p>seguinte sinal aperiódico</p><p>Transformada de Fourier</p><p>x(t)</p><p>tT1-T1</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 82</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Partindo da expressão para os coeficientes da série de Fourier da onda quadrada</p><p>podemos representar T0ak da seguinte forma:</p><p>A função é a envolvente de T0ak, isto é, os coeficientes T0ak são amostras</p><p>dessa função espaçadas de ω0.</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( )0 1</p><p>0</p><p>0 0 0</p><p>2sin 2,k</p><p>k T</p><p>a</p><p>k T T</p><p>ω πω</p><p>ω</p><p>= =</p><p>( ) ( )</p><p>0</p><p>0 1 1</p><p>0</p><p>0</p><p>2sin 2sin</p><p>k k</p><p>k T T</p><p>T a</p><p>k ω ω</p><p>ω ω</p><p>ω ω == =</p><p>( ) ωω 1sin2 T</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 83</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>T0ak</p><p>T0ak</p><p>Se T0 tender para infinito a onda</p><p>rectangular tende para um sinal</p><p>aperiódico e de certa forma os</p><p>coeficientes da série de Fourier</p><p>multiplicados</p><p>por T0 tendem para a</p><p>função envolvente.</p><p>As figuras mostram esta evolução</p><p>para os valores T0=4T1 e T0=16T1.</p><p>Teoria do Sinal 84</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Se considerarmos um sinal x(t) de duração finita, isto é x(t)=0 para |t|>T1, é possível</p><p>formar um sinal periódico , de período T0, coincidente com x(t) num período.</p><p>Se T0 tender para infinito, tende para x(t).</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( )tx~</p><p>( )tx~</p><p>Análise de Fourier</p><p>x(t)</p><p>tT1-T1</p><p>x(t)</p><p>tT1-T1</p><p>~</p><p>... ...</p><p>T0</p><p>Teoria do Sinal 85</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Como pode ser representado pela série de Fourier, temos</p><p>e</p><p>Como para |t|<T0/2 e x(t)=0 fora desse intervalo, a equação de análise pode</p><p>ser reescrita da seguinte forma</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( )tx~</p><p>( )</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>0 2</p><p>1 .</p><p>T</p><p>jk t</p><p>k</p><p>T</p><p>a x t e dt</p><p>T</p><p>ω−</p><p>−</p><p>= ∫( ) ∑</p><p>∞</p><p>−∞=</p><p>=</p><p>k</p><p>tjk</p><p>keatx 0~ ω</p><p>( ) ( )txtx =~</p><p>( )∫</p><p>∞</p><p>∞−</p><p>−= dtetx</p><p>T</p><p>a tjk</p><p>k</p><p>0</p><p>0</p><p>1 ω</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 86</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Definindo a envolvente X(ω) de T0ak por</p><p>os coeficientes da série de Fourier são dados por</p><p>e a equação de síntese pode ser reescrita da seguinte forma (2π/T0=ω0)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( )0</p><p>0</p><p>1 ωkX</p><p>T</p><p>ak =</p><p>( ) ( ) ,∫</p><p>∞</p><p>∞−</p><p>−= dtetxX tjωω</p><p>( ) ( ) .</p><p>2</p><p>1~</p><p>00</p><p>0∑</p><p>∞</p><p>−∞=</p><p>=</p><p>k</p><p>tjkekXtx ωω</p><p>π</p><p>ω</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 87</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Fazendo T0 tender para infinito, tende para x(t). Além disso, nesta situação,</p><p>e o segundo membro passa a integral.</p><p>Isto mesmo se pode confirmar pela representação gráfica seguinte:</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( )tx~</p><p>Análise de Fourier</p><p>00 →ω</p><p>X(ω)e jω t</p><p>X(kω0)e jkω0 t</p><p>área = X(kω0)e jkω0 tω0</p><p>kω0 (k+1)ω0 ω</p><p>Teoria do Sinal 88</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Nestas condições pode escrever-se</p><p>Esta equação em conjunto com a seguinte</p><p>definem a transformada de Fourier. A última designa-se por transformada de Fourier</p><p>e a primeira designa-se por transformada inversa de Fourier.</p><p>A transformada X(ω) é geralmente referida como espectro de x(t), uma vez que dá</p><p>informação sobre a composição de x(t) no domínio das frequências.</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( ) ( )∫</p><p>∞</p><p>∞−</p><p>−= dtetxX tjωω</p><p>( ) ( ) .</p><p>2</p><p>1 ωω</p><p>π</p><p>ω deXtx tj∫</p><p>∞</p><p>∞−</p><p>=</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 89</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Embora no desenvolvimento antecedente se tenha admitido que o sinal era de duração</p><p>finita, o par transformado resultante é aplicável também a uma vasta gama de sinais</p><p>aperiódicos de duração infinita. Como no caso da série de Fourier, as seguintes</p><p>condições de Dirichlet são suficientes para assegurar a convergência da transformada</p><p>de Fourier, de modo a que a reconstrução de x(t) seja exacta, excepto nas</p><p>descontinuidades, em que assume o valor médio dessas descontinuidades:</p><p>1. deve ser absolutamente integrável, isto é,</p><p>2. deve ter um número finito de máximos e mínimos em qualquer intervalo</p><p>finito;</p><p>3. deve ter um número finito de descontinuidades em qualquer intervalo finito,</p><p>devendo essas descontinuidades ser finitas.</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ;x t dt</p><p>+∞</p><p>−∞</p><p>< ∞∫</p><p>Teoria do Sinal 90</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Exemplo1: Determine e represente graficamente a transformada de Fourier dos</p><p>seguintes sinais:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>Exemplo2: Determine e represente graficamente o sinal x(t) cuja transformada de</p><p>Fourier é dada por:</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( ) , 0 ;atx t e u t a−= ></p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p>></p><p><</p><p>=</p><p>W</p><p>W</p><p>X</p><p>ω</p><p>ω</p><p>ω</p><p>,0</p><p>,1</p><p>( ) ;0, >= − aetx ta</p><p>( ) ( );ttx δ=</p><p>( ) .</p><p>,0</p><p>,1</p><p>1</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p>></p><p><</p><p>=</p><p>Tt</p><p>Tt</p><p>tx</p><p>Teoria do Sinal 91</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Os resultados dos exemplos 1.d) e 2. ilustram uma propriedade da transformada de</p><p>Fourier, designada por dualidade. Em ambos os casos surge uma função particular que</p><p>é designada por seno cardinal, e cuja forma genérica é:</p><p>O seno cardinal tem a seguinte representação gráfica:</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) .sinsinc</p><p>x</p><p>xx</p><p>π</p><p>π</p><p>=</p><p>-0,2</p><p>0,2</p><p>0,6</p><p>1</p><p>-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5</p><p>Teoria do Sinal 92</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier de sinais periódicos</p><p>Já se observou que os coeficientes da série de Fourier, ak, de um sinal periódico</p><p>podem ser considerados como amostras duma envolvente, que se mostrou ser a</p><p>transformada de Fourier, X(ω), dum sinal aperiódico x(t), igual a um período de ;</p><p>como se viu, os coeficientes da série de Fourier relacionam-se com a transformada de</p><p>Fourier por meio de:</p><p>Note-se que a relação anterior é válida desde que x(t) corresponda a um qualquer</p><p>período de , o que não significa que a transformada de Fourier seja a mesma para</p><p>diferentes selecções do intervalo em que x(t)= , mas apenas que as amostras</p><p>são idênticas.</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>( )tx~</p><p>( ).1</p><p>0</p><p>0</p><p>ωkX</p><p>T</p><p>ak =</p><p>( )tx~</p><p>( )0ωkX</p><p>( )tx~</p><p>Teoria do Sinal 93</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Exemplo3: Mostrar que os sinais x1(t) e x2(t), ambos extraídos de , permitem</p><p>calcular os coeficientes da série de Fourier de .</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>( )tx~</p><p>( )tx~</p><p>x(t)</p><p>tT1-T1</p><p>~</p><p>……</p><p>T0-2T0 2T0-T0</p><p>x1(t)</p><p>tT1-T1</p><p>x2(t)</p><p>tT0T1</p><p>Teoria do Sinal 94</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Antes ainda de calcular a transformada de Fourier de um sinal periódico, considere-se</p><p>o sinal x(t) cuja transformada de Fourier é um único impulso de área 2π, localizado em</p><p>, isto é, .</p><p>A aplicação da transformada inversa permite obter .</p><p>De uma forma mais geral, se X(ω) for uma combinação linear de impulsos igualmente</p><p>espaçados em frequência, isto é</p><p>então, por aplicação da transformada inversa obtém-se</p><p>que é exactamente a série de Fourier de um sinal periódico.</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>0ωω = ( ) ( )02 ωωδπω −=X</p><p>( ) tjetx 0ω=</p><p>( ) ( )∑</p><p>+∞</p><p>−∞=</p><p>−=</p><p>k</p><p>k kaX 02 ωωδπω</p><p>( ) ∑</p><p>+∞</p><p>−∞=</p><p>=</p><p>k</p><p>tjk</p><p>keatx 0ω</p><p>Teoria do Sinal 95</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>A transformada de Fourier de um sinal periódico, com coeficientes da série de Fourier</p><p>{ak}, pode ser interpretada como um trem de impulsos que ocorrem nas frequências</p><p>harmonicamente relacionadas, com áreas que são 2π vezes o respectivo coeficiente.</p><p>Considerando mais uma vez a onda rectangular simétrica, de período T0 e duty-cycle</p><p>2T1/T0, com coeficientes da série de Fourier dados por</p><p>pode-se concluir que a sua transformada de Fourier é dada por</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>k</p><p>Tkak π</p><p>ω 10sin</p><p>=</p><p>( ) ( ) ( )0</p><p>10</p><p>0</p><p>sin22 ωωδωωωδπω k</p><p>k</p><p>TkkaX</p><p>kk</p><p>k −=−= ∑∑</p><p>+∞</p><p>−∞=</p><p>+∞</p><p>−∞=</p><p>Teoria do Sinal 96</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Exemplo4: Determine e represente as transformadas de Fourier dos sinais</p><p>seguintes:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>Exemplo5: Determine e represente a transformada de Fourier do trem de impulsos</p><p>periódico seguinte:</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ;sin 01 ttx ω=</p><p>( ) .cos 02 ttx ω=</p><p>( ) ( )∑+∞</p><p>−∞=</p><p>−=</p><p>k</p><p>kTttx δ</p><p>Teoria do Sinal 97</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Propriedades</p><p>Para simplificar a notação usa-se muitas vezes F{x(t)} para indicar a transformada de</p><p>Fourier de x(t) e F-1{X(ω)} para indicar a transformada inversa de X(ω).</p><p>O par transformado x(t) e X(ω) é frequentemente representado da seguinte forma:</p><p>• Linearidade</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( ) ( )ωXtx F→←</p><p>( ) ( ) ( ) ( )ωω 2121 XbXatxbtxa F ⋅+⋅→←⋅+⋅</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 98</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Propriedades</p><p>• Simetria</p><p>Se x(t) for real,</p><p>Desta propriedade decorrem as seguintes, no caso de x(t) ser real:</p><p>– a parte real da transformada de Fourier é par,</p><p>– a parte imaginária da transformada de Fourier é ímpar,</p><p>– o módulo da transformada de Fourier é par,</p><p>– a fase da transformada de Fourier é ímpar,</p><p>– se x(t) for par, a transformada de Fourier é real e par,</p><p>– se x(t) for ímpar, a transformada de Fourier é imaginária e ímpar.</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( ) ( )ωω *XX =−</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 99</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Propriedades</p><p>• Translação temporal</p><p>A translação temporal apenas se manifesta numa translação da fase</p><p>da transformada de</p><p>Fourier (de valor ωt0); o módulo da transformada de Fourier não é afectado.</p><p>• Diferenciação e Integração</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( ) ( )ωω Xettx tjF 0</p><p>0</p><p>−→←−</p><p>( ) ( )ωωXj</p><p>dt</p><p>tdx F→←</p><p>( ) ( ) ( ) ( )1 0</p><p>t</p><p>Fx d X X</p><p>j</p><p>τ τ ω π δ ω</p><p>ω−∞</p><p>←→ +∫</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 100</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Propriedades</p><p>• Escalonamento no tempo e na frequência</p><p>• Dualidade</p><p>Partindo do par transformado</p><p>a transformada de Fourier do sinal f(t) é dada por</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( ) 1Fx at X</p><p>a a</p><p>ω ←→  </p><p> </p><p>( ) ( ),ωftg F→←</p><p>( ) ( )2Ff t gπ ω←→ −</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 101</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Propriedades</p><p>( ) ( )0</p><p>0</p><p>j t Fe x t Xω ω ω←→ −</p><p>( ) ( )F d X</p><p>j t x t</p><p>d</p><p>ω</p><p>ω</p><p>− ←→</p><p>( ) ( ) ( ) ( )1 0 Fx t x t X d</p><p>jt</p><p>ω</p><p>π δ η η</p><p>−∞</p><p>− + ←→ ∫</p><p>•Translação frequencial, diferenciação frequencial, e integração frequencial</p><p>Partindo da dualidade é possível estabelecer as seguintes propriedades, tendo em</p><p>conta as suas correspondentes no domínio temporal.</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 102</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Propriedades</p><p>• Relação de Parseval</p><p>• Propriedade da convolução</p><p>Para sistemas lineares e invariantes no tempo, enquanto que no domínio dos tempos a</p><p>saída do sistema é igual à convolução da entrada com a resposta impulsional do</p><p>sistema, no domínio das frequências a transformada de Fourier da saída é igual ao</p><p>produto da transformada de Fourier da entrada pela transformada de Fourier da</p><p>resposta impulsional, isto é, pela resposta em frequência do sistema.</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( ) ( )∫∫</p><p>∞</p><p>∞−</p><p>∞</p><p>∞−</p><p>= ωω</p><p>π</p><p>dXdttx 22</p><p>2</p><p>1</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Fy t h t x t Y H Xω ω ω= ∗ ←→ = ⋅</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 103</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Propriedades</p><p>•Propriedade da modulação</p><p>Esta propriedade designa-se por propriedade da modulação porque a multiplicação de</p><p>um sinal por um outro sinal específico, uma sinusóide, corresponde a um tipo de</p><p>modulação de amplitude.</p><p>As modulações são usadas nos sistemas de comunicações para adaptar o sinal que se</p><p>pretende transmitir ao canal de transmissão.</p><p>Esta propriedade é a dual da propriedade da convolução.</p><p>Transformada de Fourier</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ωω</p><p>π</p><p>ω PSRtptstr F ∗=→←⋅=</p><p>2</p><p>1</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 104</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Exemplo 6: Determinar a saída de um sistema LTI, com resposta impulsional</p><p>, quando a entrada é ,</p><p>usando análise de Fourier. (Nota: no caso a=b , pode-se usar a</p><p>propriedade dual de diferenciação para inverter Y(ω)).</p><p>Exemplo 7: Seja s(t) um sinal com espectro S(ω), tal como se mostra a seguir:</p><p>Considere-se também o sinal . Determinar o espectro de</p><p>r(t)=s(t) p(t).</p><p>( ) ( ), 0ath t e u t a−= > ( ) ( ), 0btx t e u t b−= ></p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) 0cosp t tω=</p><p>ω1-ω1 ω</p><p>S(ω)</p><p>0</p><p>A</p><p>Teoria do Sinal 105</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Exemplo8: Considerando os mesmos sinais r(t) e p(t) do exemplo anterior, determinar o</p><p>espectro do sinal g(t)=r(t) p(t).</p><p>Supondo que g(t) é aplicado, como entrada, a um sistema LTI cuja resposta em</p><p>frequência é constante para , e nula para , como será a saída?</p><p>Exemplo9: Considere-se o sinal s(t) seguinte (admitindo )</p><p>e o sinal [Nota: , como se</p><p>viu no Exemplo5]. O sinal r(t)=s(t) p(t) é constituído por amostras de s(t)</p><p>espaçadas a intervalos de duração T. Como é R(ω)? É possível recuperar</p><p>s(t) a partir de r(t)?</p><p>1ω ω< 0ω ω></p><p>( ) 10,S ω ω ω= ></p><p>s(t)</p><p>t0</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( )</p><p>k</p><p>p t t kTδ</p><p>+∞</p><p>=−∞</p><p>= −∑ ( ) 2 2</p><p>k</p><p>kP</p><p>T T</p><p>π πω δ ω</p><p>+∞</p><p>=−∞</p><p> = − </p><p> </p><p>∑</p><p>Teoria do Sinal 106</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Resposta em frequência de sistemas de 1ª e 2ª ordem, caracterizados por</p><p>equações diferenciais lineares de coeficientes constantes</p><p>Uma classe muito importante de sistemas contínuos LTI é aquela em que a entrada e a</p><p>saída satisfazem uma equação diferencial linear de coeficientes constantes, da forma geral:</p><p>A aplicação da transformada de Fourier a ambos os membros da equação, levando em</p><p>conta as propriedades de linearidade e de diferenciação, permite obter:</p><p>A resposta em frequência de um sistema contínuo LTI descrito por uma equação</p><p>diferencial linear de coeficientes constantes é uma função racional (uma razão de</p><p>polinómios) em jω. A resposta em frequência destes sistemas pode ser imediatamente</p><p>determinada, por simples inspecção.</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( )</p><p>0 0</p><p>k kN M</p><p>k kk k</p><p>k k</p><p>d y t d x t</p><p>a b</p><p>dt dt= =</p><p>=∑ ∑</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>0</p><p>0</p><p>M</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>N</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>b jY</p><p>H</p><p>X a j</p><p>ωω</p><p>ω</p><p>ω ω</p><p>=</p><p>=</p><p>= =</p><p>∑</p><p>∑</p><p>Teoria do Sinal 107</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Exemplo10: Considere-se o sistema LTI, inicialmente em repouso, caracterizado por:</p><p>Determine a resposta em frequência e a resposta impulsional do sistema.</p><p>Exemplo11a: Considere-se o sistema LTI, inicialmente em repouso, caracterizado por:</p><p>Determine a resposta em frequência e a resposta impulsional do sistema.</p><p>Exemplo11b: Supondo que, no exemplo anterior, a entrada é , determine</p><p>a saída do sistema.</p><p>Note-se, a partir do exemplo anterior, que sendo X(ω) também uma razão de polinómios</p><p>em jω, a técnica de inversão da transformada de Fourier pode também ser usada para</p><p>resolver a equação diferencial, isto é, para determinar a resposta y(t) a uma entrada x(t).</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( ) ( ), 0</p><p>dy t</p><p>ay t x t a</p><p>dt</p><p>+ = ></p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>2</p><p>2 4 3 2</p><p>d y t dy t dx t</p><p>y t x t</p><p>dt dt dt</p><p>+ + = +</p><p>( ) ( )tx t e u t−=</p><p>Teoria do Sinal 108</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Note-se que todos os sistemas descritos por equações diferenciais lineares de coeficientes</p><p>constantes podem ser realizados por uma cadeia de subsistemas de 1ª ordem e de 2ª ordem</p><p>(factorização de numerador e denominador), ou por uma associação em paralelo de</p><p>subsistemas de 1ª e de 2ª ordem (expansão em fracções parciais), pelo que esses subsistemas</p><p>merecem um tratamento aprofundado.</p><p>Sistemas de 1ª ordem</p><p>A constante designa-se por constante de tempo.</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>2</p><p>2</p><p>0 1</p><p>1 1 1</p><p>2</p><p>2</p><p>0 1</p><p>1 1 1</p><p>M P M P</p><p>M k k k k</p><p>Mk k k</p><p>N Q N Q</p><p>N</p><p>N k k k k</p><p>k k k</p><p>b j j j j</p><p>bH</p><p>aa j j j j</p><p>λ ω β β ω ω λ ω</p><p>ω</p><p>ν ω α α ω ω ν ω</p><p>−</p><p>= = =</p><p>−</p><p>= = =</p><p> + + + + </p><p>= =</p><p> + + + + </p><p>∏ ∏ ∏</p><p>∏ ∏ ∏</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1</p><p>1</p><p>t tdy t</p><p>y t x t H h t e u t s t e u t</p><p>dt j</p><p>τ ττ ω</p><p>ωτ τ</p><p>− − + = = = = − +</p><p>Análise de Fourier</p><p>Teoria do Sinal 109</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Respostas impulsional e indicial de sistemas de 1ª ordem</p><p>0</p><p>0.1</p><p>0.2</p><p>0.3</p><p>0.4</p><p>0.5</p><p>0.6</p><p>0.7</p><p>0.8</p><p>0.9</p><p>1</p><p>-1 0 1 2 3 4 5 6 7</p><p>Sistemas de 1ª ordem</p><p>resposta indicial</p><p>τ =4</p><p>τ =1</p><p>τ =0,5</p><p>τ =2</p><p>Análise de Fourier</p><p>0</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1</p><p>1.2</p><p>1.4</p><p>1.6</p><p>1.8</p><p>2</p><p>-1 0 1 2 3 4 5 6 7</p><p>Sistemas de 1ª ordem</p><p>resposta impulsional</p><p>τ =4</p><p>τ =1</p><p>τ =0,5</p><p>τ =2</p><p>Teoria do Sinal 110</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Sistemas de 2ª ordem</p><p>A constante ωn designa-se frequência natural e a constante ξ designa-se factor de</p><p>amortecimento.</p><p>Respostas impulsionais</p><p>1) Se</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>2</p><p>2 22 n n n</p><p>d y t dy t</p><p>y t x t</p><p>dt dt</p><p>ξω ω ω+ + =</p><p>( )</p><p>( ) ( ) ( )( )</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>1 22</p><p>n n</p><p>n n</p><p>H</p><p>j c j cj j</p><p>ω ωω</p><p>ω ωω ξω ω ω</p><p>= =</p><p>− −+ +</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>n n</p><p>n n</p><p>c</p><p>c</p><p>ξω ω ξ</p><p>ξω ω ξ</p><p> = − + −</p><p></p><p>= − − −</p><p>1 21 c cξ ≠ → ≠ ( ) ( )1 2</p><p>22 1</p><p>c t c tnh t e e u tω</p><p>ξ</p><p> = − −</p><p>Teoria do Sinal 111</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>1.1) Se</p><p>2) Se</p><p>Respostas indiciais ( )</p><p>Análise de Fourier</p><p>1 21 c cξ = → = ( ) ( )2 nt</p><p>nh t t e u tωω −=</p><p>( ) ( )</p><p>1 2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1 , 1</p><p>2 1</p><p>c t c t</p><p>n e es t u t</p><p>c c</p><p>ω ξ</p><p>ξ</p><p>   = + − ≠  </p><p>−    </p><p>( ) ( )1 , 1n nt t</p><p>ns t e t e u tω ωω ξ− −</p><p>= − − = </p><p>( ) ( ) ( )s t h t u t= ∗</p><p>( ) ( ) ( )2</p><p>2</p><p>sin 1</p><p>1</p><p>nt</p><p>n</p><p>n</p><p>eh t t u t</p><p>ξωω ω ξ</p><p>ξ</p><p>−</p><p> = −  −</p><p>1 20 1 ,c c complexos conjugadosξ< < →</p><p>Teoria do Sinal 112</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Fourier</p><p>Análise de Fourier</p><p>0</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1</p><p>1.2</p><p>1.4</p><p>1.6</p><p>1.8</p><p>-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19</p><p>Sistemas de 2ª ordem</p><p>resposta indicial</p><p>ξ =2</p><p>ξ =0,707</p><p>ξ =4</p><p>ξ =1</p><p>ξ =0,3</p><p>ξ =0,1</p><p>Respostas indiciais de sistemas de 2ª ordem</p><p>Teoria do Sinal 113</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Circuitos eléctricos RL, RC e RLC (recordar disciplina de CIRCUITOS)</p><p>Análise de Fourier</p><p>vR</p><p>iR R</p><p>vC</p><p>iC C</p><p>vL</p><p>iL LR Rv R i= ⋅</p><p>L</p><p>L</p><p>d iv L</p><p>dt</p><p>= ⋅ C</p><p>C</p><p>d vi C</p><p>dt</p><p>= ⋅</p><p>( ) ( ) ( )d x t d y tR y t</p><p>dt L dt</p><p>= +R</p><p>Lx(t) y(t)</p><p>( ) ( )</p><p>( ) R</p><p>L</p><p>Y jH</p><p>X j</p><p>ω ωω</p><p>ω ω</p><p>= =</p><p>+</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>R Rt t</p><p>L Ldh t e u t s t e u t</p><p>dt</p><p>− − </p><p>= = </p><p> </p><p>( ) ( ) ( )d y t</p><p>x t RC y t</p><p>dt</p><p>= +R</p><p>Cx(t) y(t)</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>RC</p><p>RC</p><p>Y</p><p>H</p><p>X j RC j</p><p>ω</p><p>ω</p><p>ω ω ω</p><p>= = =</p><p>+ +</p><p>( ) ( ) ( ) ( )1 1</p><p>t t</p><p>RC RCh t e u t s t e u t</p><p>RC</p><p>− − </p><p>= = − </p><p> </p><p>Teoria do Sinal 114</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Circuitos eléctricos RL, RC e RLC (recordar disciplina de CIRCUITOS)</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( ) ( )1 1d x t d y t</p><p>y t</p><p>dt L R dt</p><p>= +</p><p>R L y(t)</p><p>x(t)</p><p>( ) ( )</p><p>( ) R</p><p>L</p><p>Y j RH</p><p>X j</p><p>ω ωω</p><p>ω ω</p><p>= =</p><p>+</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>R Rt t</p><p>L Ldh t R e u t s t Re u t</p><p>dt</p><p>− − </p><p>= = </p><p> </p><p>( ) ( ) ( )1 d y t</p><p>x t y t C</p><p>R dt</p><p>= +</p><p>R C</p><p>x(t)</p><p>y(t)</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>1</p><p>1</p><p>C</p><p>RC</p><p>Y</p><p>H</p><p>X j</p><p>ω</p><p>ω</p><p>ω ω</p><p>= =</p><p>+</p><p>( ) ( ) ( ) ( )1 1</p><p>t t</p><p>RC RCh t e u t s t R e u t</p><p>C</p><p>− − </p><p>= = − </p><p> </p><p>Teoria do Sinal 115</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Circuitos eléctricos RL, RC e RLC (recordar disciplina de CIRCUITOS)</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>2</p><p>2</p><p>1d x t d y t d y t</p><p>R L y t</p><p>dt dt dt C</p><p>= + +</p><p>R</p><p>Cx(t) yC(t)</p><p>yL(t)</p><p>L</p><p>yR(t)</p><p>y(t)</p><p>( ) ( ) ( ) ( )2</p><p>2</p><p>1 1d y t d y t d x tR y t</p><p>dt L dt LC L dt</p><p>+ + =</p><p>( ) ( ) ( ) ( )2</p><p>2 2</p><p>2 2 n n n</p><p>d y t d y t d x t</p><p>y t C</p><p>dt dt dt</p><p>ξ ω ω ω+ + =</p><p>1</p><p>2n</p><p>R C</p><p>LLC</p><p>ω ξ= =</p><p>-1</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>R3 = 300 Ω (ξ=1.5)</p><p>R2 = 200 Ω (ξ=1)</p><p>R1 = 100 Ω (ξ=0.5)</p><p>C = 1 µF</p><p>L = 10 mH</p><p>mA</p><p>ξ =1.5</p><p>ξ =1</p><p>ξ =0.5</p><p>Resposta INDICIAL</p><p>Teoria do Sinal 116</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Circuitos eléctricos RL, RC e RLC (recordar disciplina de CIRCUITOS)</p><p>Análise de Fourier</p><p>( ) ( ) ( ) ( )2</p><p>2</p><p>1 1d x t d y t d y t</p><p>y t C</p><p>dt R dt L dt</p><p>= + +</p><p>R C</p><p>x(t)</p><p>L y(t)</p><p>yC(t)yL(t)yR(t)</p><p>( ) ( ) ( ) ( )2</p><p>2</p><p>1 1 1d y t d y t d x t</p><p>y t</p><p>dt RC dt LC C dt</p><p>+ + =</p><p>( ) ( ) ( ) ( )2</p><p>2 2</p><p>2 2 n n n</p><p>d y t d y t d x t</p><p>y t L</p><p>dt dt dt</p><p>ξ ω ω ω+ + =</p><p>1 1</p><p>2n</p><p>L</p><p>R CLC</p><p>ω ξ= =</p><p>-1 0</p><p>0</p><p>1 0</p><p>2 0</p><p>3 0</p><p>4 0</p><p>5 0</p><p>6 0 V</p><p>ξ =1.5</p><p>ξ =1</p><p>ξ =0.5</p><p>R3 = 100 Ω (ξ=0.5)</p><p>R2 = 50 Ω (ξ=1)</p><p>R1 = 100/3 Ω (ξ=1.5)</p><p>C = 1 µF</p><p>L = 10 mH</p><p>Resposta INDICIAL</p><p>Teoria do Sinal 117</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Laplace. Definição bilateral.</p><p>No estudo da transformada de Fourier contínua, viu-se que a saída de um sistema LTI, com</p><p>resposta impulsional h(t), para uma entrada exponencial da forma est, era dada por</p><p>y(t)=H(s) est, em que</p><p>A transformada de Laplace bilateral de um sinal geral x(t) é definida como</p><p>Note-se que, se s=jω, então .</p><p>Por outro lado, se s=σ+jω, verifica-se facilmente que</p><p>( ) ( ) stH s h t e dt</p><p>+∞</p><p>−</p><p>−∞</p><p>= ∫</p><p>( ) ( ) stX s x t e dt</p><p>+∞</p><p>−</p><p>−∞</p><p>= ∫</p><p>( ) ( ){ }s jX s x tω= =F</p><p>( ){ } ( ) ( ){ }tx t X j x t e σσ ω −= + =L F</p><p>Transformada de Laplace</p><p>Teoria do Sinal 118</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada de Laplace. Região de convergência.</p><p>A região de convergência (ROC) da transformada de Laplace (gama de valores de s para a</p><p>qual o integral de Laplace converge) é definida pelo conjunto de valores de σ para os</p><p>quais x(t)e-σ t tem transformada de Fourier.</p><p>A especificação completa de uma transformada de Laplace exige não só a expressão</p><p>algébrica de X(s), mas também a definição da ROC.</p><p>Exemplo1: Determinar as transformadas de Laplace dos sinais</p><p>indicando a respectiva ROC.</p><p>Exemplo2: Determinar a transformada de Laplace, incluindo ROC, do sinal</p><p>Transformada de Laplace</p><p>( ) ( ) ( ) ( )1 2</p><p>at atx t e u t x t e u t− −= = − −</p><p>( ) b tx t e−=</p><p>Teoria do Sinal 119</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Transformada inversa de Laplace</p><p>A transformada inversa de Laplace é dada por</p><p>Alternativamente, se a transformada de Laplace for racional e factorizável, pode-se usar a</p><p>decomposição em fracções parciais, procurando-se identificar a transformada inversa de</p><p>cada fracção por meio dos casos conhecidos, levando em consideração a ROC e as</p><p>propriedades da transformada de Laplace bilateral.</p><p>Exemplo3: Determinar o sinal x(t) cuja transformada de Laplace é dada por</p><p>considerando todas as possíveis ROC’s.</p><p>( ) ( )1</p><p>2</p><p>j st</p><p>j</p><p>x t X s e ds</p><p>j</p><p>σ</p><p>σπ</p><p>+ ∞</p><p>− ∞</p><p>= ∫</p><p>( ) ( )( )</p><p>1</p><p>1 2</p><p>X s</p><p>s s</p><p>=</p><p>+ +</p><p>Transformada de Laplace</p><p>Teoria do Sinal 120</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Propriedades da ROC da Transformada de Laplace</p><p>Propriedade 1. A ROC de X(s) consiste em faixas do plano-s paralelas ao eixo-jω.</p><p>Propriedade 2. Para transformadas de Laplace racionais, a ROC não contém pólos.</p><p>Propriedade 3. Se x(t) for de duração finita e se a transformada de Laplace convergir</p><p>para pelo menos um valor de s, então a ROC é todo o plano-s.</p><p>Propriedade 4. Se x(t) for limitada à esquerda e se a linha Re{s}=s0 estiver na ROC,</p><p>então todos os valores de s tais que Re{s}>s0 estarão também na ROC.</p><p>Transformada de Laplace</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>Teoria do Sinal 121</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Propriedades da ROC da Transformada de Laplace</p><p>Propriedade 5. Se x(t) for limitada à direita e se a linha Re{s}=s0 estiver na ROC,</p><p>então todos os valores de s tais que Re{s}<s0 estarão também na ROC.</p><p>Propriedade 6. Se x(t) for bilateral e se a linha Re{s}=s0 estiver na ROC, então a ROC</p><p>consistirá numa faixa do plano-s que inclui a linha Re{s}=s0.</p><p>Transformada de Laplace</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>Teoria do Sinal 122</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Propriedades da Transformada de Laplace</p><p>Linearidade</p><p>Translação temporal</p><p>Translação no domínio-s</p><p>Escala temporal</p><p>Convolução</p><p>Diferenciação temporal</p><p>Diferenciação no domínio-s</p><p>Integração no domínio temporal</p><p>Transformada de Laplace</p><p>( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t aX s bX s ROC ROC ROC1 2 1 2 1 2+ ← → + → ∩L</p><p>( ) ( )x t t e X s ROC ROCst− ← → →−</p><p>0</p><p>0L</p><p>( ) ( ) { }e x t X s s ROC ROC transladada de e ss t0</p><p>0 0</p><p>L← → − → ℜ</p><p>( )x at</p><p>a</p><p>X s</p><p>a</p><p>ROC ROC escalada de</p><p>a</p><p>L← → </p><p></p><p></p><p></p><p>→</p><p>1 1</p><p>( ) ( ) ( ) ( )x t x t X s X s ROC ROC ROC1 2 1 2 1 2∗ ← → ⋅ → ∩L</p><p>( ) ( )dx t</p><p>dt</p><p>s X s ROC ROCL← → →</p><p>( ) ( )</p><p>− ← → →t x t</p><p>dX s</p><p>ds</p><p>ROC ROCL</p><p>( ) ( ) { }{ }x d</p><p>s</p><p>X s ROC ROC e st τ τ</p><p>−∞∫ ← → → ∩ ℜ >L 1 0</p><p>Teoria do Sinal 123</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Sinais e sistemas discretos. Análise de Fourier.</p><p>O desenvolvimento dos métodos de análise de Fourier para sinais e sistemas discretos será</p><p>feito de forma abreviada, e seguindo paralelamente ao que se fez para sinais e sistemas</p><p>contínuos, embora as raízes históricas de uns e outros métodos sejam distintas.</p><p>Resposta de sistemas lineares invariantes a exponenciais complexas</p><p>As sequências exponenciais complexas são funções próprias dos sistemas discretos LTI.</p><p>Supondo que um sistema tem resposta impulsional h[n], a sua resposta a uma entrada</p><p>, em que z é um número complexo, é dada por:</p><p>Pode-se, portanto, verificar que é uma função própria do sistema, sendo o</p><p>correspondente valor próprio</p><p>Análise de Fourier. Sistemas discretos</p><p>[ ] nx n z=</p><p>[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k</p><p>k k k</p><p>y n h n x n h k x n k h k z z h k z</p><p>+∞ +∞ +∞</p><p>− −</p><p>=−∞ =−∞ =−∞</p><p>= ∗ = − = =∑ ∑ ∑</p><p>nz</p><p>( ) [ ] k</p><p>k</p><p>H z h k z</p><p>+∞</p><p>−</p><p>=−∞</p><p>= ∑</p><p>Teoria do Sinal 124</p><p>© A. J. Padilha (2010/2011)</p><p>Sinais e sistemas discretos. Análise de Fourier.</p><p>Considerando uma entrada composta por uma combinação linear de exponenciais</p><p>complexas obtém-se:</p><p>Como no caso contínuo, consideram-se apenas exponenciais complexas de expoente</p><p>imaginário ( ), expressas na forma .</p><p>Representação de sinais periódicos pela série discreta de Fourier</p><p>O conjunto de todos os sinais discretos exponenciais complexos que são periódicos com</p><p>período N é dado por (sinais</p>