testes e contas para aprimorar 630

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Resposta: a) 8 
 
Explicação: Para encontrar a integral definida da função f(x) = x^2 no intervalo [1, 3], 
utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo. A integral definida de f(x) no intervalo [a, b] 
é dada por F(b) - F(a), onde F(x) é a integral indefinida de f(x). Integrando a função f(x) = 
x^2, obtemos F(x) = (1/3)x^3. Então, a integral definida de f(x) no intervalo [1, 3] é F(3) - 
F(1) = (1/3)(3)^3 - (1/3)(1)^3 = (1/3)(27-1) = 8. Portanto, a resposta correta é a 
alternativa a) 8. 
 
Questão: Qual é o valor da derivada da função \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1\) em relação a x? 
 
Alternativas: 
a) \(3x^2 + 4x - 5\) 
b) \(3x^2 + 4x + 5\) 
c) \(3x^3 - 4x^2 + 5\) 
d) \(3x^2 - 4x + 5\) 
 
Resposta: a) \(3x^2 + 4x - 5\) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1\), devemos 
aplicar a regra do poder para derivadas em cada termo da função. A derivada de \(x^n\) é 
\(nx^{n-1}\), onde n é o expoente. Portanto, a derivada de \(x^3\) é \(3x^{3-1} = 3x^2\), a 
derivada de \(2x^2\) é \(2(2)x^{2-1} = 4x\), a derivada de \(-5x\) é \(-5\), e a derivada de 
\(1\) é \(0\). 
 
Então, a derivada da função \(f(x)\) é: \[f'(x) = 3x^2 + 4x - 5\] 
Portanto, a alternativa correta é a) \(3x^2 + 4x - 5\). 
 
Questão: Qual o valor do logaritmo natural de 1? 
 
Alternativas: 
a) ln(0) 
b) ln(1) 
c) ln(e) 
d) ln(-1) 
 
Resposta: b) ln(1) 
 
Explicação: O logaritmo natural de um número é o expoente ao qual a base do logaritmo 
(que é sempre e), elevado a esse expoente, resulta no número desejado. No caso do número 
1, temos que a base e elevada a qual expoente resulta em 1? O expoente é igual a 0. 
Portanto, o logaritmo natural de 1 é igual a 0, ou seja, ln(1) = 0. 
 
Questão: Qual é o objetivo da otimização de funções em cálculo? 
 
Alternativas: 
a) Minimizar ou maximizar uma função tendo em vista uma restrição. 
b) Encontrar a derivada de uma função de modo a encontrar seus pontos críticos. 
c) Resolver integrais indefinidas. 
d) Realizar operações de álgebra linear em funções. 
 
Resposta: a) Minimizar ou maximizar uma função tendo em vista uma restrição. 
 
Explicação: A otimização de funções em cálculo tem como principal objetivo encontrar o 
valor máximo ou mínimo de uma função sob determinada restrição. Isso é feito através da 
análise dos pontos críticos da função (onde a derivada é igual a zero ou inexistente) e a 
verificação dos valores extremos em relação à restrição imposta. Este processo é essencial 
em diversas áreas da matemática e da ciência, como na economia, engenharia, física, entre 
outras. 
 
Questão: Qual é a derivada da função \( f(x) = e^x \cdot \sin(x) \) em relação a x? 
 
Alternativas: 
a) \( e^x \cdot \cos(x) \) 
b) \( e^x \cdot \sin(x) \) 
c) \( e^x(\cos(x) + \sin(x)) \) 
d) \( e^x(\sin(x) - \cos(x)) \) 
 
Resposta: a) \( e^x \cdot \cos(x) \) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^x \cdot \sin(x) \) em relação a x, 
podemos aplicar a regra do produto da derivada. A regra do produto afirma que a derivada 
do produto de duas funções é dada pela derivada da primeira função vezes a segunda 
função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. 
 
Dessa forma, a derivada de \( f(x) = e^x \cdot \sin(x) \) em relação a x é dada por: 
\( f'(x) = e^x \cdot \cos(x) + e^x \cdot \sin(x) \) 
 
Simplificando, obtemos: 
\( f'(x) = e^x \cdot (\cos(x) + \sin(x)) \)