logica do aprendizado avançado 2X6O

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d) 6 
Resposta: c) 8 
Explicação: Para encontrar a integral definida da função f(x) = x^2 no intervalo de 0 a 2, 
vamos primeiro calcular a integral indefinida da função: 
∫ x^2 dx = (1/3)x^3 + C 
Agora, para encontrar a integral definida de 0 a 2, vamos substituir os limites de integração: 
∫[0,2] x^2 dx = [(1/3)(2)^3] - [(1/3)(0)^3] 
= (8/3) - (0) 
= 8/3 ≈ 2,67 
Portanto, a resposta correta é c) 8. 
 
Questão: Qual é a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{x^2} \)? 
 
Alternativas: 
a) \( -\frac{2}{x^3} \) 
b) \( \frac{2}{x^3} \) 
c) \( -\frac{1}{x^3} \) 
d) \( \frac{1}{x^3} \) 
 
Resposta: d) \( \frac{1}{x^3} \) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{x^2} \), utilizamos a 
regra do quociente. Seja \( u(x) = 1 \) e \( v(x) = x^2 \), então a derivada de \( f(x) \) é dada 
por: 
 
\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \] 
\[ f'(x) = \frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2} \] 
\[ f'(x) = \frac{-2x}{x^4} \] 
\[ f'(x) = \frac{-2}{x^3} \] 
 
Assim, a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) é \( \frac{-2}{x^3} \), logo a opção 
correta é a alternativa d) \( \frac{1}{x^3} \). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = ln(x^2 + 1)? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 2x/(x^2 + 1) 
b) f'(x) = 2x/(2x^2 + 1) 
c) f'(x) = 2x/(2x^2 - 1) 
d) f'(x) = 2x/(x^2 - 1) 
 
Resposta: a) f'(x) = 2x/(x^2 + 1) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = ln(x^2 + 1), usamos a regra da cadeia 
da derivada. Primeiro, derivamos a função interna x^2 + 1 em relação a x, o que resulta em 
2x. Em seguida, derivamos ln(u), onde u = x^2 + 1, o que resulta em 1/u. Multiplicando 
esses resultados, obtemos f'(x) = 2x/(x^2 + 1). Portanto, a alternativa correta é a letra a). 
 
Questão: Qual é a integral definida da função \(f(x) = x^2\) no intervalo de 0 a 2? 
 
Alternativas: 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
 
Resposta: c) 8 
 
Explicação: Para encontrar a integral definida da função \(f(x) = x^2\) no intervalo de 0 a 2, 
precisamos calcular a integral de \(f(x)\) em relação a \(x\) e avaliar a diferença entre os 
limites de integração 2 e 0. 
 
\[\int_{0}^{2} x^2 \,dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 
\frac{1}{3} \cdot 0^3 = \frac{8}{3} \] 
 
Portanto, a resposta correta éc) 8. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = ln(2x) em relação a x? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 2/x 
b) f'(x) = 1/x 
c) f'(x) = 2/x^2 
d) f'(x) = 1/x^2 
 
Resposta: b) f'(x) = 1/x 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = ln(2x), vamos usar a regra da cadeia 
da derivada. A derivada da função natural ln(x) é 1/x. Portanto, aplicando a regra da cadeia, 
a derivada de ln(2x) em relação a x será 1/(2x) * 2 = 1/x. Portanto, a resposta correta é a 
alternativa b) f'(x) = 1/x.