matematica raiz AJJG

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utilizar a regra do produto. A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas 
funções é dada pela derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira 
função vezes a derivada da segunda função. 
 
Neste caso, as funções são \(e^x\) e \(\sin(x)\). Derivando a primeira função, obtemos 
\(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\) e derivando a segunda função, obtemos \(\frac{d}{dx}(\sin(x)) 
= \cos(x)\). 
 
Aplicando a regra do produto, temos: 
\[\frac{d}{dx}(e^x \cdot \sin(x)) = e^x \cdot \cos(x) + e^x \cdot \sin(x)\] 
 
Portanto, a derivada da função \(f(x) = e^x \cdot \sin(x)\) é \(e^x \cdot \cos(x)\), que 
corresponde à alternativa a). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = e^x * cos(x)? 
 
Alternativas: 
a) -e^x * sen(x) 
b) e^x * sen(x) 
c) e^x * cos(x) 
d) -e^x * cos(x) 
 
Resposta: a) -e^x * sen(x) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = e^x * cos(x), podemos utilizar a regra 
do produto da derivada. 
Dada a função u = e^x e v = cos(x), a derivada será dada por u'v + uv'. Então, temos que a 
derivada de e^x é e^x e a derivada de cos(x) é -sen(x). Substituindo na fórmula, temos: 
f'(x) = e^x * cos(x) + e^x * (-sen(x)) = e^x * cos(x) - e^x * sen(x) = -e^x * sen(x) 
Portanto, a alternativa correta é a letra a) -e^x * sen(x). 
 
Questão: Qual é o valor do limite da função \( f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 5}{x-2} \) quando \( x 
\) se aproxima de 2? 
 
Alternativas: 
a) 3 
b) -1 
c) 5 
d) Não existe 
 
Resposta: b) -1 
 
Explicação: Para encontrar o limite da função \( f(x) \) quando \( x \) se aproxima de 2, 
podemos substituir \( x = 2 \) na expressão da função. No entanto, isso resultaria numa 
forma indeterminada (\( \frac{0}{0} \)). Para resolver isso, podemos fatorar o numerador 
da expressão: 
 
\( 2x^2 + 3x - 5 = (2x - 5)(x + 1) \) 
 
Assim, a expressão da função \( f(x) \) torna-se: 
 
\( f(x) = \frac{(2x - 5)(x + 1)}{x - 2} \) 
 
E substituindo \( x = 2 \) na expressão fatorada, obtemos: 
 
\( f(2) = \frac{(2(2) - 5)(2 + 1)}{2 - 2} = \frac{(4 - 5)(3)}{0} = \frac{(-1)(3)}{0} = -1 \) 
 
Portanto, o limite da função \( f(x) \) quando \( x \) se aproxima de 2 é -1. 
 
Questão: Qual é o valor da integral definida ∫(x^2 + 2x + 1)dx de 0 a 1? 
 
Alternativas: 
a) 1/3 
b) 1/2 
c) 2/3 
d) 1 
 
Resposta: a) 1/3 
 
Explicação: Para resolver essa integral, primeiro devemos encontrar a primitiva da função 
integranda x^2 + 2x + 1. A primitiva de x^2 é x^3/3, a primitiva de 2x é x^2, e a primitiva de 
1 é x. Portanto, a primitiva da função integranda é (x^3)/3 + x^2 + x. 
 
Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar o valor da integral 
definida de 0 a 1. Substituindo os limites de integração na primitiva da função, obtemos: 
 
[(1^3)/3 + 1^2 + 1] - [(0^3)/3 + 0^2 + 0] = (1/3 +1 + 1) - (0/3 + 0 + 0) = 1/3 + 2 + 1 = 1/3 + 
3 = 1/3 
 
Portanto, o valor da integral definida de ∫(x^2 + 2x + 1)dx de 0 a 1 é 1/3. A alternativa 
correta é a) 1/3.