Cálculos de Derivadas e Integrais

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A) \( 2x e^{x^2} \) 
B) \( e^{x^2} \) 
C) \( 2e^{x^2} \) 
D) \( x e^{x^2} \) 
**Resposta: A** 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
\[ 
h'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}. 
\] 
 
**82.** Calcule \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx \). 
A) \( \ln(1 + \tan(\frac{\pi}{4})) \) 
B) \( \frac{\pi}{4} \) 
C) \( \ln(2) \) 
D) \( 0 \) 
**Resposta: A** 
**Explicação:** A antiderivada de \( \tan(x) \) é \( -\ln(\cos(x)) \): 
\[ 
\left[ -\ln(\cos(x)) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = -\ln(\cos(\frac{\pi}{4})) + \ln(\cos(0)) = -
\ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 0 = \ln(2). 
\] 
 
**83.** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
A) \( 3 \) 
B) \( 0 \) 
C) \( 1 \) 
D) \( 2 \) 
**Resposta: A** 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3. 
\] 
 
**84.** Calcule \( \int (3x^2 + 2x + 1)^2 \, dx \). 
A) \( \frac{(3x^2 + 2x + 1)^3}{9} + C \) 
B) \( \frac{(3x^2 + 2x + 1)^2}{2} + C \) 
C) \( \frac{(3x^2 + 2x + 1)^4}{12} + C \) 
D) \( \frac{(3x^2 + 2x + 1)^5}{15} + C \) 
**Resposta: A** 
**Explicação:** A antiderivada é: 
\[ 
\int (3x^2 + 2x + 1)^2 \, dx = \frac{(3x^2 + 2x + 1)^3}{9} + C. 
\] 
 
**85.** Determine a derivada de \( g(x) = x^2 \ln(x) \). 
A) \( 2x \ln(x) + x \) 
B) \( x^2 \cdot \frac{1}{x} \) 
C) \( 2x \ln(x) \) 
D) \( 2x \ln(x) - x \) 
**Resposta: A** 
**Explicação:** Usamos a regra do produto: 
\[ 
g'(x) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x. 
\] 
 
**86.** Calcule \( \int_0^1 (2x + 1)^3 \, dx \). 
A) \( \frac{5}{4} \) 
B) \( \frac{7}{4} \) 
C) \( \frac{1}{2} \) 
D) \( 1 \) 
**Resposta: B** 
**Explicação:** A antiderivada é: 
\[ 
\int (2x + 1)^3 \, dx = \frac{(2x + 1)^4}{8} + C. 
\] 
Avalie de 0 a 1: 
\[ 
\left[ \frac{(2(1) + 1)^4}{8} - \frac{(2(0) + 1)^4}{8} \right] = \frac{3^4}{8} - \frac{1^4}{8} = 
\frac{81 - 1}{8} = \frac{80}{8} = 10. 
\] 
 
**87.** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \). 
A) \( \frac{1}{6} \) 
B) \( 0 \) 
C) \( 1 \) 
D) \( -\frac{1}{6} \) 
**Resposta: A** 
**Explicação:** Usamos a expansão de Taylor para \( \sin(x) \): 
\[ 
\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + O(x^5). 
\] 
Portanto, 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{x - \left(x - \frac{x^3}{6}\right)}{x^3} = \lim_{x \to 0} 
\frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6}. 
\] 
 
**88.** Calcule \( \int (x^3 + 2x + 1) \, dx \). 
A) \( \frac{x^4}{4} + x^2 + x + C \) 
B) \( \frac{x^3}{3} + x + C \) 
C) \( \frac{x^4}{4} + 2x + C \) 
D) \( \frac{x^5}{5} + C \) 
**Resposta: A** 
**Explicação:** A antiderivada é: