Triângulo Retângulo e Pitágoras

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169BIMESTRE 3
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Reconhecer os elementos 
de um triângulo retângulo.
• Conhecer o teorema de Pi-
tágoras, verificar demons-
trações e algumas aplica-
ções.
• Resolver problemas que 
envolvam semelhança de 
triângulos e triângulos re-
tângulos.
• Demonstrar as relações 
métricas em um triângulo 
retângulo.
• Apresentar algoritmo por 
escrito para a construção 
de um quadrado com ré-
gua e compasso.
• Determinar a distância en-
tre dois pontos no plano 
cartesiano e das coordena-
das do ponto médio de um 
segmento de reta.
• Explorar a representação 
gráfica de um relevo.
Orientações gerais
Nos anos anteriores, os alu-
nos já vinham trabalhando 
com triângulos retângulos. 
Neste capítulo, retomamos 
e ampliamos esses concei-
tos, tratando das relações 
métricas em um triângulo 
retângulo, com destaque 
para o teorema de Pitágoras 
e suas aplicações. Além dis-
so, exploramos a distância 
entre dois pontos no plano 
cartesiano e a representação 
gráfica de um relevo.
Na abertura, apresentamos 
um monumento em home-
nagem a Pitágoras, que faz 
menção à figura de um tri-
ângulo retângulo. Promova 
uma discussão e levante os 
conhecimentos prévios que 
os alunos têm sobre esse 
matemático e sobre o tri-
ângulo retângulo. Espera-
-se que eles identifiquem o 
triângulo retângulo como 
aquele que tem um ângulo 
interno reto. 
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98
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169
8
Capítulo
Triângulo retângulo
Monumento a Pitágoras, ilha de Samos, Grécia. (Foto de 2017.)
Na ilha de Samos, 
na Grécia, há um 
monumento de 
bronze construído 
em homenagem a 
Pitágoras, filósofo 
reconhecido por 
inúmeras contribuições 
à Matemática. 
Edificada de modo a 
lembrar um triângulo 
retângulo, a figura de 
Pitágoras compõe um 
de seus catetos.
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CAPÍTULO 8
Na i
na Grécia, há um 
monumento de 
bronze construído 
em homenag
Pitág
• 
tre dois pontos no plano 
cartesiano e das coordena
Na ilha de Samos, 
triângulos e triângulos re
tângulos.
Demonstrar as relações 
métricas em um triângulo 
retângulo.
• Apresentar algoritmo por 
escrito para a construção 
de um quadrado com ré
gua e compass
Determinar a distância en
trações e algumas aplica
Resolver problemas que 
envolvam semelhança de 
triângulos e triângulos re
Demonstrar as relações 
métricas em um triângulo 
oras, ilha de Samos, Grécia. (Foto de 2017.)oras, ilha de Samos, Grécia. (Foto de 2017.)MonumentoMonMonume de de Samos, GrécPitágoras, ilha dento a Pitágo lha de
170
Um pouco de História
Apresentamos um texto que 
apresenta a escola pitagóri-
ca, seu lema e sua contribui-
ção na construção da Mate-
mática, palavra cuja origem 
é atribuída a Pitágoras. Su-
gerimos o trabalho de lei-
tura e exploração do texto 
com os alunos dispostos em 
duplas ou trios.
Sugestões de leitura
Para ampl ia r e enr iquecer a 
discussão, sugerimos:
;
;
;
. 
Acessos em: 10 set. 2018.
Complemente os estudos com 
a Sequência didática 9 – 
Triângulo retângulo, 
disponível no Manual 
do Professor – Digital. 
As atividades propostas 
permitem desenvolver de 
forma gradual e articulada 
objetos de conhecimento 
e habilidades da BNCC 
selecionados para este 
capítulo.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o 
teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
A
B C
hipotenusa
cateto
ca
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170 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
1 Um pouco de História 
O filósofo grego Pitágoras nasceu na ilha de Samos provavel-
mente em 570 a.C., cerca de cinquenta anos depois do nascimento 
de Tales de Mileto.
Filho de um rico comerciante, viajou pelo Egito, pela Babilônia 
e talvez tenha chegado até a Índia.
Ao voltar para a Grécia, fixou-se em sua terra natal, mas, des-
contente com as arbitrariedades do governo de Samos, mudou-se 
para a colônia grega Crotona, situada na Itália. Lá, fundou a escola 
pitagórica.
Nessa escola, havia aulas de Religião, Filosofia, Política, Música, 
Astronomia e Matemática. Seus alunos eram divididos em duas 
categorias: os dos três primeiros anos eram chamados de ouvin-
tes e os dos anos seguintes, de matemáticos, pois somente a 
estes eram revelados os segredos da Matemática. Aliás, a origem 
da palavra matemática (que significa “o aprendizado da arte, da 
ciência”) é atribuída a Pitágoras.
O lema da escola era “Tudo é número”. Nela, procuravam explicar 
com números tudo o que existe na natureza.
Os pitagóricos tinham o conhecimento como única aspiração e 
formaram uma sociedade secreta cujo emblema era um pentágono 
estrelado — ou pentagrama (figura ao lado). 
Os estudos dos pitagóricos trouxeram grandes contribuições 
para a Matemática, principalmente para a Geometria. Entre essas 
contribuições, a de maior sucesso foi sem dúvida o conhecido 
teorema de Pitágoras.
Mesmo depois da morte de Pitágoras, por volta de 500 a.C., a socie-
dade dos pitagóricos continuou a existir por mais de quatro séculos.
Busto de Pitágoras, nos 
Museus Capitolinos em Roma, 
Itália. Escultura em mármore. 
(Foto de 2015.)
Pentágono estrelado ou 
pentagrama.
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A2 Teorema de Pitágoras
Neste capítulo vamos estudar várias relações entre as medidas de comprimento dos ele-
mentos de um triângulo retângulo. Por isso, convém recordar a nomenclatura a ser usada.
Elementos de um triângulo retângulo
Já vimos que um triângulo ABC é denominado triângulo retângulo em A quando o ângulo 
reto tem vértice A.
Chamamos de catetos os lados perpendiculares 
entre si que formam o ângulo reto em um triângulo 
retângulo. Já o lado oposto ao ângulo reto é cha-
mado de hipotenusa.
 Teorema de Pitágoras
vamos estudar várias relações entre as medidas de comprimento dos ele
mentos de um triângulo retângulo. Por isso, con
um triângulo 
e Matemática. Seus alunos eram divididos em duas 
três primeiros anos eram chamados de ouvin-
tes e os dos anos seguintes, de matemáticos, pois somente a 
eram revelados os segredos da Matemática. Aliás, a origem 
 (que significa “o aprendizado da arte, da 
O lema da escola era “Tudo é número”. Nela, procuravam explicar Museus C
Itália. Es
(Foto de 2015.)
mentos de um triângulo r
Elementos de um triângulo 
que um triângulo ABC
reto tem vértice A.
Chamamos de catetos
entre si que formam o ângulo reto em um triângulo 
retângulo. Já o lado oposto ao ângulo reto é cha
hipotenusa.
trouxeram grandes contribuições 
a a Matemática, principalmente para a Geometria. Entre essas 
contribuições, a de maior sucesso foi sem dúvida o conhecido 
Mesmo depois da morte de Pitágoras, por volta de 500 a.C., a socie
dade dos pitagóricos continuou a existir por mais de quatro séculos.
Nessa escola, havia aulas de Religião, Filosofia, Política, Música, 
O lema da escola era “Tudo é número”. Nela, procuravam explicar 
o conhecimento como única aspiração e 
formaram uma sociedade secreta cujo emblema era um pentágono 
a ao lado). 
trouxeram grandes contribuições 
a a Matemática, principalmente para a Geometria. Entre essas 
contribuições, a de maior sucesso foi sem dúvida o conhecido 
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retângulo. Já o lado oposto ao ângulo reto é cha
mado de 
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Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas:
teorema de PitágorCAPÍTULO 8
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas:
teorema de Pitágor
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas:Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas:
teorema de Pitágor
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas:
teorema de Pitágor
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas:
teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
171BIMESTRE 3
Orientações
Destaque os elementos de 
um triângulo retângulo, in-
clusive a determinação dos 
lados opostos a ângulos 
internos, o que servirá de 
apoio para o tema do capí-
tulo seguinte. 
Mostre aos alunos também 
que, além da altura relativa 
à hipotenusa, as outras duas 
alturas, relativas respectiva-
mente aos lados menores 
(os catetos) desse tipo de 
triângulo são um cateto em 
relação ao outro. Por isso, 
uma das maneiras de obter-
mos a área de um triângulo 
retângulo é pelo semiprodu-
to das medidas dos catetos.
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171CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO 
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
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Nesse triângulo, destacamos as medidas:
a, da hipotenusa BC ;
c, do cateto AB , oposto ao ângulo CW ;
b, do cateto AC , oposto ao ângulo BW ;
h, da altura AH , relativa à hipotenusa.
Em relação aos ângulos, sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de um 
triângulo é 180º. Assim, nos triângulos retângulos, a soma das medidas dos dois ângulos 
agudos de cada triângulo é 90º, ou seja, eles são complementares.
Observe o triângulo retângulo ABC da figura abaixo.
Os triângulos HBA
e HAC são triângulos 
retângulos em H.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
A B
B C
A B B C A C A C
90
90
m m °
m m °
m m m m então m m ou
1 5
1 5
1 5 1 5 &
1
1 1 14W
W W
W
W W W W W W W W
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
A C
B C
A C B C A B A B
90
90
m m °
m m °
m m m m então m m ou
1 5
1 5
1 5 1 5 &
2
2 2 24W
W W
W
W W W W W W W W
 1 Considere o triângulo retângulo MNP. Com o auxílio de uma régua, dê a medida:
a) da hipotenusa; 5 cm
b) do cateto oposto ao NX ; 3 cm
c) do cateto adjacente ao NX ; 4 cm
d) do cateto oposto ao PW ; 4 cm
e) do cateto adjacente ao PW ; 3 cm
f) da altura relativa à hipotenusa; 2,4 cm
g) do segmento PH ; 1,8 cm
h) do segmento NH . 3,2 cm
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Observação
 c Se dois triângulos têm dois pares de ângulos respectivamente congruentes, então eles são 
triângulos semelhantes. Chamamos esse fato de caso AA (ângulo-ângulo) de semelhança.
A
B C
h
H
c
b
A1
A2
a
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
. Com o auxílio de uma régua, dê a medida:
respectivamente congruentes, então eles são 
ato de caso AA (ângulo-ângulo) de semelhança.
relação aos ângulos, sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de um 
é 180º. Assim, nos triângulos retângulos, a soma das medidas dos dois ângulos 
P
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
. Com o auxílio de uma régua, dê a medida:
) ( )A B) ( A Bm o) () ( )A B) () ( u A BA BA BA BW W
respectivamente congruentes, então eles são 
ato de caso AA (ângulo-ângulo) de semelhança.
alturas, relativas respectiva
mente aos lados menores 
(os catetos) desse tipo de 
triângulo são um cateto em 
relação ao outro. Por isso, 
uma das maneiras de obter
mos a área de um triângulo 
retângulo é pelo semiprodu
to das medidas dos catetos.
é 180º. Assim, nos triângulos retângulos, a soma das medidas dos dois ângulos 
A Cu A CA CA CA CW W
apoio para o tema do capí
tulo seguinte. 
Mostre aos alunos também 
que, além da altura relativa 
à hipotenusa, as outras duas 
alturas, relativas respectiva
mente aos lados menores 
(os catetos) desse tipo de 
triângulo são um cateto em 
 da altura relativa à hipotenusa; 
 do cateto adjacente ao 
 da altura relativa à hipotenusa; 
; 
Considere o triângulo retângulo 
 da hipotenusa; 
 do cateto oposto ao 
 do cateto adjacente ao 
 do cateto oposto ao 
e) do cateto adjacente ao 
f)
 do cateto adjacente ao 
 do cateto oposto ao 
 do cateto adjacente ao 
 do cateto oposto ao 
 do cateto adjacente ao 
ca
 do ca
f) d
g)
cate
 ato a
cateto
 do cate
f) da al
g)g) do 
h) do 
ider
 da 
b)
idere o triâ
 da hipote
b) do cate
c) do ca
d) do 
e) d
f) potenu
1,8
potenusa; 
1,8 cm
NH . 3,2 cm
o 
MN
3 cm
; 
 4 c
o 
o retâ
5 c
post
o retângulo MN
5 cm
posto ao NX ; 3 cm
 adjacente ao NX ; 
posto ao PW ; 4 c
 a adjdjacente ao 
ra relativa à hi
gmento PH ; 
gmento NH
 adjac
teto opost
cateto adj
altura r
o segm
 do segm NH
172
Exercícios propostos
No exercício 2, os alunos de-
vem usar as medidas reais 
no desenho. Veja um dese-
nho em escala menor, com 
medidas proporcionais.
8,4
11,2
A B
C
Na escala real, os alunos de-
vem obter 14 cm.
No exercício 3, temos:
• 2 cm, 4 cm e 5 cm:
2
4
5
A B
C
a
Verificamos que a > 90°, as-
sim, o triângulo ABC é obtu-
sângulo.
Podemos também comparar 
o quadrado da medida do 
maior lado (25) com a soma 
dos quadrados das medidas 
dos outros dois lados (4 e 
16). Assim: 4 1 16 , 25 in-
dica que o ângulo oposto ao 
maior lado é obtuso.
• 3 cm, 3,5 cm e 4 cm:
43
3,5
E F
G
b
Analogamente ao anterior, 
verificamos que b , 90°, as-
sim como os demais ângulos 
internos. O triângulo EFG é 
acutângulo. 
Também verificamos
32 1 (3,5)2 . 42
9 1 12,25 . 16. Isso ocorre 
sempre que o ângulo opos-
to ao maior lado é agudo.
• 4,2 cm, 5,6 cm e 7 cm:
4,2
5,6
7
H I
J
b
Nesse caso, g 5 90° e os demais ângulos internos são agudos, logo HIJ é um triângulo retângulo. 
Nesse caso, aqui vale a relação de Pitágoras (4,2)2 1 (5,6)2 5 72. 
17,64 1 31,36 5 49. Isso indica que temos um triângulo retângulo.
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Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o 
teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
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172 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
Enunciando o teorema de Pitágoras
Considerando como unidade de medida a área de 
cada quadradinho da figura ao lado, notamos que 
a área do quadrado maior é igual à soma das áreas 
dos quadrados menores, ou seja:
25 5 9 1 16
Como 25 5 52, 9 5 32 e 16 5 42, podemos escrever 
essa igualdade da seguinte maneira: 
52
5 32
1 42
Repare que 5, 3 e 4 são as medidas dos lados dos 
quadrados da figura e, consequentemente, as me-
didas dos respectivos lados do triângulo retângulo.
A relação entre os quadrados das medidas dos lados desse triângulo retângulo é válida 
para todo triângulo retângulo e é conhecida como teorema de Pitágoras.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa 
é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
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 3 Usando régua e compasso, construa os triângulos cujos lados medem: construção de #guras
• 2 cm, 4 cm e 5 cm
• 3 cm, 3,5 cm e 4 cm
• 4,2 cm, 5,6 cm e 7 cm
a) Classifique os triângulos construídos de acordo com as medidas dos ângulos internos.
b) Para cada triângulo, estabeleça uma relação entre o quadrado da medida do maior lado e a soma 
dos quadrados das medidas dos outros dois lados.
Demonstrando o teorema de Pitágoras
Existem mais de trezentas demonstrações do teorema de Pitágoras. Vamos apresentar 
uma que faz uso da equivalência de áreas.
O livro A Proposição de Pitágoras, 
de Elisha Scott Loomis, por exemplo, 
contém 370 demonstrações diferentes 
do teorema de Pitágoras.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
 2 Desenhe um triângulo retângulo cujos catetos meçam 8,4 cm e 11,2 cm. construção de #gura
a) Obtenha, com o auxílio de uma régua, a medida aproximada da hipotenusa desse triângulo.
b)Verifique se o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos 
catetos. sim
14 cm
a) • obtusângulo 
• acutângulo 
• retângulo
b) • 25 . 4 1 16
• 16 , 9 1 12,25 
• 49 5 17,64 1 31,36
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todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa 
é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
ando o teorema de PitágorasDemonstrando o te
mais de trezentas demonstrações do teorema de Pitágoras. Vamos apresentar 
az uso da equivalência de ár
O livro A Proposição de Pitágoras
de Elisha Scott Loomis, por exemplo, 
contém 370 demonstrações diferentes 
do teorema de Pitágoras.
Repare que 5, 3 e 4 são as medidas dos lados dos 
a e, consequentemente, as me-
respectivos lados do triângulo retângulo.
A relação entre os quadrados das medidas dos lados desse triângulo retângulo é válida 
etângulo e é conhecida como teor
retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa 
do com as medidas dos ângulos internos.
Para cada triângulo, estabeleça uma relação entre o quadrado da medida do maior lado e a soma 
• 16 
• 49 5 17,64 
, podemos escrever 
ução de #guras
Para cada triângulo, estabeleça uma relação entre o quadrado da medida do maior lado e a soma 
 16
 12,25 
1 31,36
Analogamente ao anterior, 
 90°, as
ângulos 
internos. O triângulo EFG
Também verificamos
 16. Isso ocorre 
sempre que o ângulo opos
to ao maior lado é agudo.
Demonstr
6. Iss
 o â
r la
6. Isso 
 o ângul
r lado é
5,6 cmcm e
7
terior
 90°
mais
iâng
 ver
3,5)
 12,
mp
 a
4,
J
terior, 
 90°, as
mais ângul
iângulo EF
 verificamos
3,5)2 . 42
 12,25 . 16.
mpre que o
 ao o mamaior 
4,2 cm, 5,5,
J
5,
4,2
171722
De
um
ororre 
opos-
gudo.
 cm:
De
um
o ocor
ngulo op
 é é a agugudo
 e 7 cm:
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas:
5,6 31,36 
4,2
5,6
I
Nesse caso, 
Nesse caso, aqui vale a relação de Pitágoras (4,2)
17,64 
CAPÍTULO 8
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas:
teorema de Pitágor
 31,36 31,36 31,36 
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas:
teorema de Pitágor
 31,36 
Nesse caso, 
Nesse caso, aqui vale a relação de Pitágoras (4,2)
 31,36 
Nesse caso, Nesse caso, 
Nesse caso, aqui vale a relação de Pitágoras (4,2)
17,64 1 31,36 
Nesse caso, 
Nesse caso, aqui vale a relação de Pitágoras (4,2)
17,64 
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas:
 90° e os demais ângulos internos são agudos, logo 
Nesse caso, aqui vale a relação de Pitágoras (4,2)
5 49. Isso indica que temos um triângulo retângulo.
4,2 74,24,2
5,6
7
5,6
173BIMESTRE 3
Orientações
Este tema, e outros neste 
capítulo, podem propiciar 
a manipulação das figuras 
envolvidas como aborda-
gem paralela à da leitura do 
texto ou da aula expositiva, 
o que enriquecerá sobrema-
neira o aprendizado. Para 
isso, se possível, confeccione 
previamente em cartolina 
as peças envolvidas nas fi-
guras 1, 2 e 3, replicando-
-as de modo, em grupos, os 
alunos, montem as figuras 
como um quebra-cabeça. 
Outra possibilidade é pedir 
aos alunos que reproduzam, 
manualmente ou por foto-
cópia (ampliada ou não), e 
recortem as ilustrações que 
acompanham o texto. Em 
seguida, proponha a eles 
que manipulem essas partes 
recortadas de modo a com-
pô-las de acordo com as fi-
guras apresentadas no livro 
do estudante, além de pes-
quisarem livremente outras 
composições.
Habilidade trabalhada: (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de 
proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
b
2
c
2
a
2
b
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a
a
a
a
a
2
b
b
b
bc
c
c
c
b
2
c
2
c b
b b
c c
c b
x
4,8 m 
3,6 m 
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 9
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10
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e 
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re
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 d
e 
19
98
.
173CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO 
Considerando um triângulo retângulo, construímos quadrados sobre a hipotenusa de medida 
a e sobre os catetos de medidas b e c, como mostra a figura 1. Nas figuras 2 e 3, construímos 
quadrados de lados que medem (b1 c).
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S
T
R
A
Ç
Õ
E
S
: N
E
LS
O
N
 M
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S
U
D
A
Figura 1 Figura 2 Figura 3
O quadrado da figura 2 é formado por quatro triângulos retângulos, congruentes ao 
triângulo da figura 1, e pelo quadrado verde. Assim, a área do quadrado de lado de me-
dida (b1 c) é a soma das áreas dos quatro triângulos com a área do quadrado verde.
O quadrado da figura 3 é formado por quatro triângulos retângulos, congruentes ao 
triângulo da figura 1, pelo quadrado azul e pelo quadrado rosa. Então, a área do quadrado de 
lado de medida (b1 c) é a soma das áreas dos quatro triângulos com as áreas dos quadrados 
azul e rosa.
Logo, a área do quadrado verde é a soma da área do quadrado azul com a área do quadrado 
rosa, ou seja:
x 2
5 (4,8)2
1 (3,6)2
x 2
5 23,04 1 12,96
x 2
5 36
x5 6 36
x566
Como x é o comprimento da escada, ele deve ser um número positivo. Portanto, o compri-
mento da escada é 6 m.
Observe um exemplo de aplicação do teorema de Pitágoras.
Precisamos calcular o comprimento x de uma escada que está apoiada em uma parede, 
conforme a figura abaixo. Para isso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras:
a 2
5 b 2
1 c 2
x 2x 5 (4,8) (3,6)2
 2
5 23,04 1 12,96
 de uma escada que está apoiada em uma parede, 
ara isso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras:
O quadrado da figura 2 é formado por quatro triângulos retângulos, congruentes ao 
triângulo da figura 1, e pelo quadrado verde. Assim, a área do quadrado de lado de me-
pô-las de acordo com as fi
guras apresentadas no livro 
acompanham o texto. Em 
seguida, proponha a eles 
que manipulem essas partes 
x 2x 5 36
x5 6 36
x 6
 é o comprimento da escada, ele deve ser um número positivo. Portanto, o compri
 de uma escada que está apoiada em uma parede, 
as peças envolvidas nas fi
guras 1, 2 e 3, replicando
-as de modo, em grupos, os 
alunos, montem as figuras 
como um quebra-cabeça. 
Outra possibilidade é pedir 
aos alunos 
manualmente ou por foto
cópia (ampliada ou não), e 
recortem as ilustrações que 
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A
Ç
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S
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LS
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N
 M
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D
A
erde.
O quadrado da figura 3 é formado por quatro triângulos retângulos, congruentes ao 
a 1, pelo quadrado azul e pelo quadrado rosa. Então, a área do quadrado de 
) é a soma das áreas dos quatro triângulos com as áreas dos quadrados 
Logo, a área do quadrado verde é a soma da área do quadrado azul com a área do quadrado 
texto ou da aula expositiva, 
o que enriquecerá sobrema
neira o aprendizado. Para 
possível, confeccione 
previamente em cartolina 
as peças envolvidas nas fi
guras 1, 2 e 3, replicando
-as de modo, em grupos, os 
alunos, montem as figuras 
 é o comprimento da escada, ele deve ser um número positivo. Portanto, o compri é o comprimento da escada, ele deve ser um número positivo. Portanto, o compri
cada é 6 m.
Como Como Co
Habi
CoComomo x
mento dada
CoCo
me
CoCo
ment
ento
m.
F09M
ento da esca
m.
 m 
x
 m 4,8
3,6 m 
 o comprimen
scada é 6 m.
x é o cx
da esc m.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de 
proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de 
alelas cortadas por secantes
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de 
proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de 
proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de 
alelas cortadas por secantes
Habi F0Habilidade trabalhada: (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de 
proporcionalidade envolvendo retas par
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicaçãodo teorema de Pitágoras ou das relações de 
proporcionalidade envolvendo retas par
174
Exercícios propostos
No exercício 7, avalie a con-
veniência de comentar com 
os alunos que no item a o 
valor de x pode ser obtido 
por meio de qualquer um 
dos dois triângulos. No item 
d, note que faltam dados 
para calcular o valor de x. 
Já no exercício 8, há dado a 
mais.
Sugestões de 
leitura
Para ampliar o trabalho com o 
teorema de Pitágoras, sugerimos:
. 
Acesso em: 10 set. 2018.
Sugerimos também o livro:
IMENES, Luiz Márcio. Descobrindo 
o teorema de pitágoras. São Paulo: 
Scipione, 1996. (Coleção Vivendo a 
Matemática)
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois 
triângulos sejam semelhantes.
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a 
semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo 
retas paralelas cortadas por secantes.
x
14
5 3
x
x 1 1
7
x
x
10
x
12
15
11 cm2
25 cm2
x x 1 2
x 1 4
x
9
12
4x
3
5 7
x
8
6 6
14
12 m
10 m
20 m
6
x
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19
98
.
174 CAPÍTULO 8 TRIÂNGULO RETÂNGULO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 8 As diagonais de um losango medem 12 cm e 
16 cm. O ângulo menor desse losango mede 
aproximadamente 74°.
a) Determine a medida do lado desse losango.
b) Calcule a área desse losango. 96 cm2
c) Para responder aos itens anteriores foi 
necessário usar todas as informações do 
enunciado? não foi necessário usar 
a medida do ângulo
a) Determine a área do triângulo laranja.
b) Calcule a medida da hipotenusa desse triân-
gulo. 6 cm
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 4 Calcule o valor de x aplicando o teorema de 
Pitágoras:
 5 Em um esquadro, os lados perpendiculares 
medem 12 cm e 12 3 cm. Quanto mede o 
lado oposto ao ângulo reto desse esquadro? 
24 cm
c)
b) d)
a)
 7 Aplicando o teorema de Pitágoras, determine, 
se possível, a medida x de cada uma das figuras 
a  seguir.
a) c)
b)
11 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 
3 5 m e as medidas dos catetos são expressas 
por x e x 1 3. Calcule a medida dos catetos.
 6 Considere os quadrados coloridos de verde e 
de azul representados na figura abaixo e, em 
seguida, faça o que se pede.
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 9 Em um triângulo isósceles, a base mede 12 cm 
e cada um dos lados congruentes mede 9 cm. 
Faça um esboço desse triângulo e calcule a 
medida da altura dele. 3 5 cm
12 Um bambu foi quebrado pelo vento a 4,8 m 
de altura. Ele tombou de modo que sua ponta 
tocou o chão a 3,6 m de sua base. Determine 
a altura desse bambu. 10,8 m
10 Quantos metros de arame são necessários para 
cercar, com 6 voltas, um terreno em forma de 
trapézio retângulo cujas bases medem 12 m e 
20 m e cujo lado oblíquo mede 10 m? 288 m
d)
Faltam dados para 
calcular o valor de x.
x 5 15
x 5 6
x 5 9 x 5 11
x 5 3x 5 25
,2 5 11 cm2
x 3 35
10 cm
3 m e 6 m Determine a área do triângulo laranja.
Calcule a medida da hipotenusa desse triân
Aplicando o teorema de Pitágoras, determine, 
x de cada uma das figuras x
,2 5, 11 cm
medida da altura dele
Quantos metros de arame são necessários para 
cercar, com 6 voltas, um terreno em forma de 
trapézio retângulo cujas bases 
20 m e cujo lado oblíquo mede 10 m? 
x x 1 2
x12
4x
5 7
6
Aplicando o teorema de Pitágoras, determine, 
se possível, a medida 
c) x
11 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa me
11 cm2
 Calcule a área desse losango. 
Para responder aos itens anteriores foi 
necessário usar todas as informações do 
oi necessário usar 
a medida do ângulo
Em um triângulo isósceles, a base mede 12 cm 
e cada um dos lados congruentes mede 9 cm. 
Faça um esboço desse triângulo e calcule a 
medida da altura dele. 3 5 cm3 53 53 5
Quantos metros de arame são necessários para 
representados na figura abaixo e, em 
losango medem 12 cm e 
O ângulo menor desse losango mede 
Determine a medida do lado desse losango.
96 cm2
Para responder aos itens anteriores foi 
necessário usar todas as informações do 
10 cm
171744
semelhança de triângulos
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo 
retas par
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a 
semelhança de triângulos
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a 
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
triângulos sejam semelhantes
CAPÍTULO 8
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a 
semelhança de triângulos
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo 
retas par
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a 
semelhança de triângulos
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
triângulos sejam semelhantes
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a 
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
triângulos sejam semelhantes
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a 
semelhança de triângulos
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo 
semelhança de triângulossemelhança de triângulos
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
triângulos sejam semelhantes
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a 
semelhança de triângulossemelhança de triângulos
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo 
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: 
triângulos sejam semelhantes
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a