Cálculo Numérico - MathCad

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2.5 3.8
7
8
 log 2.8( ) tan 3 ( ) sin 0(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 X2 2 X 4 0 solve X
X3 12 X2 47 X 60 solve X
José Antelo Cancela 
MathCad 15 Jun/2013 
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Índice Analítico 
1.  Introdução --------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 
1.1  Digitação de Textos ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 
1.2  Digitação de Expressões ---------------------------------------------------------------------------------------------- 3 
2.  Barras de Ferramentas ------------------------------------------------------------------------------------ 5 
2.1  Barra de ferramentas Math ------------------------------------------------------------------------------------------ 5 
2.2  Barra de ferramentas Calculator ----------------------------------------------------------------------------------- 6 
3.  Formatação -------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 
3.1  Formatação de Texto -------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 
3.2  Formatação da Precisão ---------------------------------------------------------------------------------------------- 9 
3.3  Formatação das Expressões ------------------------------------------------------------------------------------------ 9 
3.3.1  Formatação das Constantes ---------------------------------------------------------------------------------------------- 9 
3.3.2  Formatação das Variáveis ----------------------------------------------------------------------------------------------- 10 
3.4  Escolha da Posição e do Alinhamento --------------------------------------------------------------------------- 10 
3.4.1  Escolha da Posição ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 
3.4.2  Escolha do Alinhamento ------------------------------------------------------------------------------------------------ 10 
4.  Definição de Variáveis ------------------------------------------------------------------------------------ 12 
5.  Definição de Funções ------------------------------------------------------------------------------------- 14 
6.  Solução de Equações -------------------------------------------------------------------------------------- 16 
7.  Operações com Matrizes ---------------------------------------------------------------------------------- 18 
7.1  Soma e Subtração de Matrizes ------------------------------------------------------------------------------------ 18 
7.2  Multiplicação de Matrizes ------------------------------------------------------------------------------------------ 19 
7.3  Multiplicação de Matriz por um Número ----------------------------------------------------------------------- 20 
7.4  Divisão de Matriz por um Número ------------------------------------------------------------------------------- 21 
7.5  Matriz Transposta --------------------------------------------------------------------------------------------------- 21 
7.6  Matriz Inversa -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22 
7.7  Determinante de uma Matriz -------------------------------------------------------------------------------------- 23 
8.  Sistemas de Equações ------------------------------------------------------------------------------------- 24 
9.  Cálculo de Integrais --------------------------------------------------------------------------------------- 27 
9.1  Integrais Simples ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 27 
9.2  Integrais Duplas ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 29 
10.  Cálculo de Derivadas -------------------------------------------------------------------------------------- 30 
10.1  Derivadas de 1ª Ordem --------------------------------------------------------------------------------------- 30 
10.2  Derivadas de Ordem N ---------------------------------------------------------------------------------------- 30 
11.  Estudo de Regressões ------------------------------------------------------------------------------------- 32 
11.1  Regressão Linear ----------------------------------------------------------------------------------------------- 32 
11.2  Regressão Polinomial ------------------------------------------------------------------------------------------ 35 
12.  Construção de Gráficos ----------------------------------------------------------------------------------- 40 
12.1  Formatação de Gráficos -------------------------------------------------------------------------------------- 41 
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12.2  Gráficos de Duas Funções ------------------------------------------------------------------------------------ 43 
13.  Erro: Existência e Propagação -------------------------------------------------------------------------- 44 
13.1  Existência do Erro --------------------------------------------------------------------------------------------- 44 
13.2  Propagação do Erro ------------------------------------------------------------------------------------------- 44 
14.  Cálculo de Raízes ------------------------------------------------------------------------------------------ 48 
14.1  Método Gráfico ------------------------------------------------------------------------------------------------- 48 
14.2  Método da Bipartição ----------------------------------------------------------------------------------------- 49 
15.  Resolução de Sistemas de Equações Lineares -------------------------------------------------------- 51 
15.1  Método da Eliminação de Gauss ---------------------------------------------------------------------------- 52 
15.2  Método de Jacobi ----------------------------------------------------------------------------------------------- 62 
15.3  Método de Gauss-Seidel -------------------------------------------------------------------------------------- 73 
16.  Interpolação Polinomial ---------------------------------------------------------------------------------- 76 
16.1  Interpolação pelo Método de Lagrange ------------------------------------------------------------------- 78 
16.2  Interpolação pelo Método de Newton (Diferenças Divididas) ----------------------------------------- 81 
16.3  Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados ---------------------------------------------- 83 
16.3.1  Ajuste Linear ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 83 
17.  Integração Numérica ------------------------------------------------------------------------------------- 86 
17.1  Método dos Trapézios ----------------------------------------------------------------------------------------- 86 
17.2  Método de Simpson -------------------------------------------------------------------------------------------- 88 
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Cálculo Numérico 
 
1. Introdução 
 
Quando se abre o MathCad é mostrado um arquivo novo, que consiste de uma folha 
onde serão digitados os textos, expressões ou fórmulas, conforme mostrado na Fig. 1 
abaixo. 
Para iniciar a digitação basta clicar com o cursor do mouse no local da tela onde esta se 
localizará e então digitar o que se deseja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 Digitação de Textos 
Para se digitar um texto proceda da seguinte forma: 
 Clique com o cursor do mouse no local onde ficará o início do texto 
 Digite “ (aspas) para informar ao MathCad que se trata de um texto 
 Digite o texto (Por exemplo: Introduçãoao MathCad) 
 Clique novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora do texto para 
informar que terminou a digitação ou tecle Enter. 
1.2 Digitação de Expressões 
Para se digitar uma expressão matemática proceda da seguinte forma: 
Fig. 1 
Barra de Ferramentas 
Standard 
Barra de Ferramentas 
Formating 
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 Clique com o cursor do mouse no local onde ficará o início da expressão. 
 Digite a expressão (Por exemplo: 2+3) 
 Digite o operador = para informar ao MathCad que deve ser mostrado o resultado. 
 Clique novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora da expressão para 
informar ao MathCad que terminou a digitação ou tecle Enter. 
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2. Barras de Ferramentas 
O texto e a expressão digitados até agora são 
extremamente simples, dispensando qualquer 
ferramenta para sua digitação. 
Para expressões mais complexas o MathCad 
dispõe de Barras de Ferramentas (Toolbars) para 
a introdução de dados e cálculo dos resultados. 
Ao se criar um arquivo novo (Fig. 1) são 
mostradas automaticamente duas barras de 
ferramentas: 
 Standard, 
Mostra os comandos básicos de operação com 
arquivos. 
 Formating 
Mostra os comandos básicos de formatação 
de textos. 
 
 
 
 
 
Para ocultar ou exibir estas barras durante os trabalhos, 
selecione na barra de menus View e depois selecione a barra 
desejada (Fig. 2). 
 
2.1 Barra de ferramentas Math 
A barra de ferramentas Math é o meio de acesso as demais barras de ferramentas do 
MathCad, conforme mostrado na Fig.2.1.a. Estas barras serão vistas mais adiante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
 
 
 
 
Fig. 2 
Calculator 
Matrix 
Calculus 
Programming 
Symbolic Keyword 
Graph 
Evaluation 
Boolian 
Greek Symbol 
Fig. 1 
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2.2 Barra de ferramentas Calculator 
Como visto anteriormente, expressões simples podem ser digitadas 
diretamente pelo teclado. Contudo, expressões mais complexas, como 
por exemplo as que envolvem funções trigonométricas e exponenciais, 
requerem o auxílio da barra de ferramentas Calculator. 
Para exibir a barra de ferramentas Calculator leve o cursor até a 
barra de ferramentas Math e clique no ícone Calculator, que ficará 
conforme Fig. 2.2.a 
 
A título de exercício, vamos calcular o valor das expressões abaixo: 
a) 2.54 + 3.58 – 12.27 
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a 
expressão. 
 Digite o número 2.54 
 Digite + (mais) ou clique na barra Calculator no 
símbolo + (Addition). 
Aparecerá um pequeno quadrado preto após o 
sinal de soma, informando que se deve digitar o 
próximo valor. 
 Digite o número 3.58 
 Digite - (menos) ou clique na barra Calculator no símbolo -. (Subtration) 
Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de subtração, informando que se 
deve digitar o próximo valor. 
 Digite o número 12.27 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que 
será mostrado o resultado da operação. 
 
b) 2.54 x 3.58 
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. 
 Digite o número 2.54 
 Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication). 
Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de multiplicação, informando que 
se deve digitar o próximo valor. 
 Digite o número 3.58 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o 
resultado da operação. 
 
c) 169 
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. 
 Clique na barra Calculator no símbolo (Square Root) 
 Aparecerá o símbolo de raiz quadrada com um quadradinho preto e com o cursor no 
lugar onde será digitado o número. Digite 169 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o 
O símbolo de 
decimal é o ponto 
e não a vírgula.
Fig. 2.2.a 
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resultado da operação. 
 
d) 5 169 
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. 
 Clique na barra Calculator no símbolo n (Nth Root). 
 Aparecerá o símbolo de raiz enésima com um quadradinho preto no lugar do valor da 
raiz e outro no lugar do número. Clique com o cursor no lugar da raiz e digite 5 
 Clique com o cursor no lugar do número e digite 169 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o 
resultado da operação. 
 
e) )7.1(3.2 sene  
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. 
 Clique na barra Calculator no símbolo eX (Exponential) 
 Quando aparecer o símbolo de exponencial digite 2.3 
 Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão. 
 Digite + (mais) ou clique na barra Calculator no símbolo + (Addition). 
 Clique na barra Calculator no símbolo de SIN (Sine) 
 Clique no quadradinho preto e digite 1.7 
 Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication). 
 Clique na barra Calculator no símbolo ¶ 
 Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão. 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o 
resultado da operação. 
 
f) 
)5,3(
4
6.2
7.3
2
sen
e
 
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. 
 Digite 3.7 
 Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão. Aparecerá a 
fração com um quadradinho preto no denominador. 
 Digite 2.6 
 Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão. 
 Digite - (menos) ou clique na barra Calculator no símbolo -. (Subtration). 
 Digite 4 
 Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão. Aparecerá a 
fração com um quadradinho preto no denominador. 
 Clique na barra Calculator no símbolo eX (Exponential) 
 Quando aparecer o símbolo de exponencial digite 2 
 Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão e2. 
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 Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão. Aparecerá a 
fração com um quadradinho preto no denominador. 
 Clique na barra Calculator no símbolo SIN (Sine) 
 Clique no quadradinho preto e digite 3.5 
 Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication). 
 Clique na barra Calculator no símbolo ¶ 
 Tecle espaços até o cursor do MathCad chegar ao final da expressão. 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o 
resultado da operação. 
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3. Formatação 
O MathCad permite a formatação diferenciada de textos, fórmulas e dos resultados 
numéricos. Nas fórmulas é possível formatar as variáveis de forma diferente das 
constantes. 
3.1 Formatação de Texto 
Para formatar um texto proceda da seguinte forma: 
 Selecione o texto que quer formatar 
 Selecione na barra de menu Format – Text 
 Quando aparecer a janela Text Format escolha a formatação desejada 
3.2 Formatação da Precisão 
Os resultados das operações 
matemáticas realizadas podem ser 
formatados com um número fixo de 
casas decimais. Para isto, proceda da 
seguinte forma: 
 
 Selecione na barra de menu 
Format – Result 
 
 
 
 
 
 Na janela Result Format 
selecione: 
 Number of decimal places: .................... Número de casas decimais 
 Show trailing zeros: ............................... Marque esta opção se quiser que mostre 
zero quando não houver partes decimais. 
 Show expoents in engineering format: .. Marque esta opção se quiser que os 
valores apareçam na notação de 
engenharia. 
3.3 Formatação das Expressões 
O MathCad permite formatar as fontes das variáveis e das constantes de fórmulas e 
funções demaneira distinta. 
3.3.1 Formatação das Constantes 
Para formatação da fonte das constantes de expressões proceda da seguinte forma: 
 Selecione na barra de menu Format – Equation 
Fig. 3.2.A 
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 Na janela Equation Format (Fig.3.3.1) 
selecione na caixa de listagem Style Name 
a opção Constants 
 Clique no botão Modify 
 Na janela Constants escolha formatação 
adequada e clique OK. 
 Na janela Equation Format clique OK 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3.2 Formatação das Variáveis 
Para formatação da fonte das variáveis de expressões proceda da seguinte forma: 
 Selecione na barra de menu Format – Equation 
 Na janela Equation Format (Fig.3.3.1) selecione na caixa de listagem Style Name a 
opção Variables 
 Clique no botão Modify 
 Na janela Constants escolha formatação adequada e clique OK. 
 Na janela Equation Format clique OK 
A título de exercício, construa e expressão abaixo 3 formate-a da seguinte forma: 
- Resultado: ------- 2 decimais 
- Constantes: ----- Times New Roman, negrito itálico, tamanho 13 
- Resultado: ------- Bookman Old Style, negrito, tamanho 14 
Uma vez formatada a função deverá ter a aparência abaixo. 
 
 
3.4 Escolha da Posição e do Alinhamento 
3.4.1 Escolha da Posição 
Para mudar a posição de uma expressão, proceda da seguinte forma: 
 Selecione a expressão. 
 Mova o cursor até uma das bordas da seleção, até que o cursor do mouse mude para 
a forma de uma mão. 
 Nesta posição, pressione o botão do mouse e, com ele pressionado, arraste a 
expressão para o local desejado. 
3.4.2 Escolha do Alinhamento 
O MathCad permite alinhar todas as expressões digitadas, tanto na horizontal quanto 
na vertical. 
Para efetuar este alinhamento, proceda da seguinte forma: 
Fig3.3.1 
2.5 3.8
7
8
 log 2.8( ) tan 3   sin 0.27   6.87
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 Selecione as expressões que serão alinhadas. Depois selecione na barra de menu: 
 Format – Align regions – Down (para alinhamento vertical) ou Across (para 
alinhamento horizontal) 
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4. Definição de Variáveis 
A definição de variáveis pode ser feita através do teclado ou 
usando a barra de ferramentas Calculator (Fig. 4.1). 
Para definir variáveis através do teclado proceda da 
seguinte forma: 
 Escreva a variável (uma ou mais caracteres alfanuméricos) 
 Digite : (dois pontos). O MathCad automaticamente 
acrescentará = depois dos dois pontos. 
 Digite o valor da variável 
Para definir variáveis usando a barra de ferramentas 
Calculator proceda da seguinte forma: 
 Escreva a variável (uma ou mais caracteres alfanuméricos) 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas 
Calculator 
 Digite o valor da variável. 
A título de exercício, vamos definir as varáveis abaixo abaixo: 
a) X = 5 
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. 
 Digite X 
 Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas 
Calculator 
 Digite o número 5 
 
b) Sabendo-se que b = 
3

 a= 
3
5.1 
 e que Y = (sen(2b)+cos(a)3)2 determine o 
valor de Y 
Como usaremos vários símbolos gregos neste exercício, vamos 
ativar a barra de ferramentas Greek Symbol Palette mostrada na 
Fig.4.2, que dispões de vários destes símbolos 
Etapa 1: Definição de b 
 Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a 
primeira variável. 
 Clique no símbolo b da barra Greek Symbol 
 Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da 
barra de ferramentas Calculator 
 Digite 
3

 
Etapa 2: Definição de a 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a segunda 
Fig. 4.1 
Fig. 4.2 
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variável. 
 Clique no símbolo a da barra Greek Symbol 
 Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas 
Calculator 
 Digite 
3
*5.1 
 
Etapa 3: Definição de Y 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável Y. 
 Digite Y 
 Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas 
Calculator 
 Digite a expressão (sen(2b)+cos(a)3)2 
Etapa 4: Cálculo do valor de Y 
Uma vez definidas as variáveis b, a e Y podemos agora determinar o valor de Y 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de Y. 
 Digite Y 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o 
resultado da operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Definição de Funções 
O MathCad dispõe de funções de 
várias categorias, tais como 
matemáticas, trigo-nométricas, 
estatísticas e muitas outras, todas elas 
prontas para serem utilizadas. 
Para acessar estas funções proceda 
da seguinte forma: 
 Selecione na barra de menu 
Insert – Function 
 Aparecerá a janela Intert Function 
(Fig.5). Para selecionar a função, 
proceda da seguinte forma: 
 No quadro Function Category 
selecione a categoria da função 
ou selecione a categoria 
Todas. 
 No quadro Function Category selecione o nome da função. 
 Clique OK. 
Além destas funções, o MathCad permite que outras funções sejam definidas para nosso 
uso específico, assunto este que será tratado agora. 
A definição de funções é muito similar a definição de varáveis, que consiste basicamente 
de três etapas: 
1) Escolha do nome da função 
2) Colocação do sinal de atribuição de valor (Assign Value) 
3) Digitação da função 
A título de exercício vamos definir as funções abaixo e calcular seu valor para um 
determinado valor da variável. 
 
a) Sabendo-se que F(X) = 5X2 – 3X +4, determine F(3,5) 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X). 
 Escreva F(X) 
 Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas 
Calculator 
 Escreva a função 5*X2 – 3*X +4 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(3,5). 
 Escreva F(3,5) 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o 
resultado da operação conforme abaixo. 
 
 
 
 
 
Fig. 5 
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b) Sabendo-se que F(X) = 3,3eX – 3sen(X) +4 X3 , determine F(0.57) 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X). 
 Escreva F(X) 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Escreva a função 3,3eX – 3sen(X) +4 X3 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(0,57). 
 Escreva F(0.57) 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o 
resultado da operação conforme abaixo. 
 
 
 
 
c) Sabendo-se que F(X,Y) = 2,75e2,3Y – 3sen(0,54X) +4
X
Y
5,1
3 , determine F(2,3;3,4) 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X,Y) 
 Escreva F(X,Y) 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Escreva a função 2,75e2,3Y – 3sen(0,54X) +4
X
Y
5,1
3 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(2,3) 
 Escreva F(2,3) 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o 
resultado da operação. 
 
 
 
 
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6. Solução de Equações 
O MathCad dispõe de dois métodos para cálculo de raízes de equações: o método 
numérico e o método analítico. Aqui nos deteremos no método analítico. 
Para calcular raízes de equações pelo método 
analítico precisaremos das barras de ferramentas 
Symbolic (Fig. 6.a) e Boolean (Fig. 6.b). 
Por isso, leve o cursor do mouse até a barra de 
ferramentas Math e clique nos ícones destas barras para 
exibi-las. 
Para determinar as raízes de uma equação pelo 
método analítico são necessários os seguintes passos:1º) Digite a equação sendo que o sinal = a ser usado 
tem que ser o = (Equal to) da barra de 
ferramentas Boolean. 
2º) Uma vez digitada a equação clique clique na 
palavra Solve da barra de ferramentas Symbolic. 
3º) No quadrado preto que surgirá depois da palavra 
solve digite a variável que se quer determinar. 
A título de exercício, determine as raízes das 
equações abaixo 
 
a) 0
7
1
5
3 X 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação. 
 Escreva 
7
1
5
3 X 
 Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Boolean 
 Digite o valor 0 
 Clique no botão solve da barra de ferramentas 
Evaluation 
 No quadrado preto depois da palavra solve 
 Tecle Enter que será mostrado o resultado como 
abaixo 
 
 
 
b) 2 X
2 2 X 4 0 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação. 
 Escreva 2 X2 2 X 4 
 Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Boolean Toolbar 
 Digite o valor 0 
 Clique no botão solve da barra de ferramentas Symbolic Keyword Toolbar 
O sinal = a ser usado é 
o Equal to da barra de 
ferramentas Boolean. 
Fig. 6.a 
Fig. 6.b 
3 X
5
 1
7
 0 solve X 5
21
 0.24
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 No quadrado preto que surgirá depois da palavra solve digite X 
 Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaixo 
2 X2 2 X 4 0 solve X
 
 
b) 
 Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação. 
 Escreva X3 12 X2 47 X 
 Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Symbolic 
 Digite o valor 60 
 Clique no botão solve da barra de ferramentas Evaluation 
 Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaixo 
X3 12 X2 47 X 60 solve X
 
 
 
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7. Operações com Matrizes 
 
 
Para realizar operações com Matrizes 
precisaremos da barra de ferramentas Matrix. Por 
isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math 
e clique no ícone Matrix para ativar esta barra de 
ferramentas, mostrada na Fig.7.a. 
 
7.1 Soma e Subtração de Matrizes 
Para se somar matrizes é necessário que elas tenham o mesmo 
número de linhas e colunas 
 
Para isto, vamos criar as matrizes MAT1 e MAT2 conforme abaixo e armazenar sua 
soma na matriz MATSOMA e sua subtração na matriz MATSUB.. 
a) Criação da matriz MAT1 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz 
MAT1 
 Escreva MAT1 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas 
Calculator 
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix 
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de 
linhas e o número de colunas. Digite 3 para ambas e 
clique OK 
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar 
onde serão digitados os números, conforme Fig.7.1.a. 
Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar 
para o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.7.1.b. 
b) Criação da matriz MAT2 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT2 
 Escreva MAT2 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de 
ferramentas Calculator 
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix 
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de 
linhas e o número de colunas. Digite 3 para ambas e clique OK 
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os 
números Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez 
Fig. 7.1.a 
Fig. 7.1.b 
Fig. 7.1.c 
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concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.7.1.c. 
 
c) Criação da matriz MATSOMA 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATSOMA 
 Escreva MATSOMA 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Digite MAT1 + MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo. 
 
 
 
d) Criação da matriz MATSUB 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATSUB 
 Escreva MATSUB 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Digite MAT1 - MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo. 
 
 
 
e) Impressão das matrizes MAT e MATS 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT 
 Escreva MAT 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz 
MAT, que deverá estar conforme abaixo: 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATS 
 Escreva MATS 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz 
MATS, que deverá estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
7.2 Multiplicação de Matrizes 
Para se multiplicar duas matrizes o número de linhas da primeira 
deve ser igual ao número de colunas da segunda. 
 
 Vamos multiplicar as matrizes MAT1 e MAT2 e armazenar o produto na matriz MATX. 
 Para isto digite as matrizes MAT1 e MAT2 abaixo 
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 Escreva MATX 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Digite MAT1 * MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo. 
 
 
 
 Escreva MATX 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz 
MATX, que deverá estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
7.3 Multiplicação de Matriz por um Número 
Vamos multiplicar a matriz MAT1 pelo número 2,75 e armazenar o resultado 
na matriz MULT. Para isto, proceda conforme abaixo: 
 Digite a matriz MAT1 abaixo. 
 
 
 
 
 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MULT 
 Escreva MULT 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Escreva 2.75*MAT1. A equação deverá estar conforme abaixo. 
 
 
 
 Escreva MULT 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz 
MULT, que deverá estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
MathCad 15 Jun/2013 
 
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7.4 Divisão de Matriz por um Número 
Vamos dividir a matriz MAT1 pelo número 2,75 e armazenar o resultado na 
matriz DIV. Para isto, proceda conforme abaixo: 
 Digite a matriz MAT1 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz DIV 
 Escreva DIV 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Escreva MAT1/2.75. A equação deverá estar conforme abaixo. 
 
 
 
 
 Escreva DIV 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz 
DIV, que deverá estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
7.5 Matriz Transposta 
As linhas e colunas da matriz MATT, transposta da matriz MAT, 
correspondem às colunas e linhas da matriz MAT, respectivamente, 
conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 Digite a matriz MAT abaixo. 
 
 
 
 
 
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 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a equação. 
 Escreva MATT 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Escreva MAT 
 Clique no ícone Matrix Transpose da barra de ferramentas Matrix. A equação deverá 
estar conforme abaixo: 
 
 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATT 
 Escreva MATT 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz 
MATT, que deverá estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
7.6 Matriz Inversa 
Só admitem Matriz Inversa as matrizes cujo número de linhas 
seja igual ao número de colunas. 
 
 Digite a matriz MAT abaixo. 
 
 
 
 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz inversa. 
 Digite a matriz MAT 
 Clique no ícone XY da barra de ferramentas Calculator 
 Digite -1 
 Leve o cursor do MathCad para o final da expressão teclando na barra de espaço. 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz 
inversa, que deverá estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
 
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José A. Cancela www.jose.cancela.nom.br Pág .237.7 Determinante de uma Matriz 
Só se pode calcular o Determinante das matrizes cujo número de 
linhas seja igual ao número de colunas. 
 
 Digite a matriz MAT abaixo. 
 
 
 
 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a expressão. 
 Digite a matriz DET 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Clique no ícone Determinant da barra de ferramentas Matrix. Aparecerá um quadrado 
preto entre barras onde se deve digitar o nome da matriz cujo determinante se deseja 
calcular. 
 Digite MAT e tecle Enter. A expressão deverá estar conforme abaixo: 
 
 
 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante DET da matriz MAT. 
 Digite a matriz DET 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o 
determinante DET, que deverá estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
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8. Sistemas de Equações 
Um sistema de equações lineares é constituído por n equações com n incógnitas. Para 
exemplificar um sistema de três equações lineares seria do tipo abaixo: 
a3 X + a2Y +a1 Z = a0 
b3 X + b2 Y +b1 Z = b0 
c3 X + c2 Y +c1 Z = c0 
O procedimento para resolver este tipo de sistema utilizando o MathCad consiste de três 
etapas: 
Etapa 1: 
Cria-se o determinante X com os coeficientes das incógnitas, conforme abaixo: 
a3 a2 a1
b3 b2 b1
c3 c2 c1
Etapa 2: 
Cria-se o determinante Y com as constantes das equações, conforme abaixo: 
ao 
bo 
co 
Etapa 3: 
Utiliza-se a função Lsolv da seguinte forma: 
 Escreva a variável que armazenará o resultado, por exemplo escreva R 
 Depois de escrever R clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas 
Calculator 
 Selecione na barra de menu 
Insert – Function 
 Na janela Insert Function 
selecione a função Lsolve (M 
v) (Fig.8.a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X= 
Y= 
Fig. 8.a 
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A título de exercício vamos resolver o sistema de quatro equações abaixo: 
X + 3Y + 5Z + W = 8,2 
2X - 2Y + 3Z + 4W = 11,8
3X - 5Y + 2Z + W = -2,2 
2X - 3Y + 4Z + 7W = 18,5
 
Para resolver este sistema precisaremos da barra de ferramentas 
Matrix. Por isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e 
clique no ícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas, 
mostrada na Fig.7.b acima. 
 
a) Criação da matriz MAT 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante X 
 Escreva MAT 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix 
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o número de colunas. 
Digite 43 para ambas e clique OK 
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os 
números. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma 
vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.8.c. 
b) Criação da matriz VET 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante Y 
 Escreva VET 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix 
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o número de colunas. 
Digite 4 para linhas e 1 para colunas e clique OK 
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os 
números. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma 
vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.8.d. 
c) Criação da função Lsolv 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função Lsolv 
 Escreva RES 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Selecione na barra de menu Selecione na barra de menu Insert – Function 
 Na janela Insert Function selecione a função Lsolve (M v) e clique OK. Será mostrado 
o argumento da função Lsolv com dois quadrados pretos separados por vírgulas entre 
os parêntesis. 
 No primeiro quadrado preto escreva MAT e no segundo quadrado escreva VET e 
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depois tecle Enter (Fig. 8.e) 
 
d) Calculo das raízes 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o vetor RES com os valores de X, Y, Z 
e W 
 Escreva RES 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o 
resultado da operação (Fig. 8.f). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a metodologia acima, determine os valores de V, X, Y, Z e W do sistema de 
equações abaixo: 
 
4,5 V + 10,8 X + 6,9 Y + 4,2 Z + 2,8 W + = 19,93 
0,9 V + 1,3 X + 4,2 Y + 3,2 Z + 0,6 W + = 29,19 
1,2 V + 8,7 X + 10,3 Y + 9,7 Z + 8,3 W + = 76,75 
4,3 V + 5,1 X + 2,3 Y + 6,4 Z + 5,7 W + = 53,87 
5,3 V + 3,7 X + 0 + 7,3 Z + 5,7 W + = 61,80 
A solução deverá estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
Fig. 8.c Fig. 8.d Fig. 8.e Fig. 8.f 
Fig. 8.g Fig. 8.h Fig. 8.i Fig. 8.j 
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9. Cálculo de Integrais 
 
 
Para o cálculo de integrais precisaremos da 
barra de ferramentas Calculus. Por isso, leve o 
cursor até a barra de ferramentas Math e clique no 
ícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas, 
mostrada na ao lado. 
 
 
O cálculo de integrais no MathCad pode ser feito pelo métodos Numérico e Analítico, 
conforme veremos adiante. 
9.1 Integrais Simples 
Para calcular Integrais simples siga as seguintes etapas: 
Etapa 1: 
Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique no botão 
Definite Integral. Aparecerá o símbolo de integral definida, tendo 
quadrados pretos indicando onde digitar os limites inferior e superior e a 
função, conforme figura ao lado. 
Etapa 2: 
Clique nos quadrados pretos e digite a função e os limites de integração. 
Etapa 3: 
a) Método Numérico: 
Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular a Integral. 
b) Método Analítico: 
Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e 
depois tecle Enter para calcular a Integral. 
A título de exercício vamos calcular as Integrais abaixo: 
a) 
2/
0
)(

dXXCOS 
 Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique no botão Definite Integral. 
 Quando aparecer o símbolo de Integral digite nos devidos locais os seguintes valores: 
Limite inferior: ........ 0 
Limite Superior: ...... ¶/2 
Função: ................... Cos(X)dX 
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a) Método Numérico: 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que 
será mostrado o resultado. 
b) Método Analítico: 
 Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e 
depois tecle Enter que será mostrado o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
b) dXXX
X )175.14
2
(
2/3
0
2
3  
Calcule a integral executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deverá 
estar conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
Calcule a integral executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deverá 
estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Método Numérico Método Analítico 
Método Numérico 
Método Analítico 
Método Numérico Método Analítico 
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9.2 Integrais Duplas 
O cálculo de integrais duplas é feito da mesma maneira que no caso das integrais 
simples, que consiste das seguintes etapas: 
Etapa 1: 
Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique duas 
vezes no botão Definite Integral. Aparecerá o símbolo de integral 
definida dupla, tendo quadrados pretos indicando onde digitar os 
limites inferior e superior e as funções, conforme figura ao lado. 
Etapa 2: 
Clique nos quadrados pretos e digite a função e os limites de integração. 
Etapa 3: 
a) Método Numérico: 
Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que 
será mostrado o resultado.b) Método Analítico: 
Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e 
depois tecle Enter para resolver a Integral. 
Exemplos: 
 
 
Explo 1: 
 
Calcule a integral pelos dois métodos, executando os passos do item a acima. Uma vez 
terminado deverá estar conforme abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explo 2: 
 
 
Calcule a integral pelos dois métodos, 
executando os passos do item a acima. Uma vez 
terminado, o resultado do método numérico 
deverá estar conforme ao lado. Calcule agora o 
método analítico. 
 
Método Numérico Método Analítico 
Método Numérico 
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10. Cálculo de Derivadas 
Para o cálculo de derivadas precisaremos das barras de 
ferramentas Calculus e Symbolic. 
 
10.1 Derivadas de 1ª Ordem 
Seja a função: 
G(X) = 6X3 + 3 X2 -5X + 3 
Para calcular a derivada de 1ª ordem desta função, proceda da seguinte forma: 
 Na barra de ferramentas Cálculos, clique na ferramenta Derivative (Fig.10.a). 
 Preencha a ferramenta Derivative conforme abaixo: 
 
 
 
 
 Terminada a digitação conforme acima, certifique-se que o cursor está no final da 
expressão. 
 Clique na barra de ferramentas Symbolic na ferramenta Symbolic Evaluation e 
depois tecle Enter. 
A expressão deve estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
10.2 Derivadas de Ordem N 
Seja a função: 
G(X) = 6X3 + 3 X2 -5X + 3 
Para calcular a derivada de 2ª ordem desta função, proceda da seguinte forma: 
 Na barra de ferramentas Cálculos, clique na ferramenta Nth Derivative (Fig.10.a) 
 Preencha a ferramenta Nth Derivative conforme abaixo: 
 
 
 
 
 Terminada a digitação conforme acima, certifique-se que o cursor está no final da 
expressão. 
 Clique na barra de ferramentas Symbolic na ferramenta Symbolic Evaluation e 
depois tecle Enter. 
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A expressão deve estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
 
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11. Estudo de Regressões 
Os estudos de regressão tem por finalidade determinar a função que melhor representa 
uma série de valores conhecidos. Uma vez obtida esta função, pode-se então estimar um 
valor futuro, obviamente admitindo que o cenário que gerou os valores conhecidos não 
venha a mudar no futuro. 
Os tipos de regressão mais conhecidos são o Linear, Exponencial, Polinomial, 
Logarítmica e Média Móvel. Nós nos deteremos exclusivamente nos métodos Linear e 
Polinomial. 
11.1 Regressão Linear 
A Regressão Linear consiste em determinar a equação da reta (Fig.10.1.a) que melhor 
representa uma séria de valores conhecidos (Fig.10.1.b). 
 
 
Em resumo, queremos determinar a equação: 
Y = a X + b 
Onde: 
a Coeficiente angular da reta 
b Intercessão com o eixo das abscissas 
 
A determinação dos coeficientes a e b da reta consiste de quatro etapas, conforme 
abaixo: 
Etapa 1: 
Construção da matriz MAT com N linhas (número de pontos 
conhecidos) e 2 colunas, tendo na primeira coluna os valores de X 
(variável independente) e na segunda coluna os valores de Y 
(variável dependente), conforme figura ao lado. 
 
 
Fig. 10.1.a Fig. 10.1.b 
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Etapa 2: 
Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y. 
Isto é feito da atraves do batão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix, conforme 
abaixo: 
 
 
Etapa 3: 
Executar as funções conforme abaixo: 
Slope(X,Y) ............ para determinar o coeficiente angular a 
Intercept(X,Y) ...... para determinar a Intercessão com o eixo das abscissas b 
 
a:=Slope(X,Y) b:= Intercept(X,Y) 
 
Etapa 4: 
Determinar os valores de a e b, digitando conforme abaixo: 
a = 
b = 
 
Explo 1: 
Determine a equação da reta que melhor representa os pontos abaixo: 
 
X 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 
Y 7,150 7,850 10,850 10,800 12,650 14,700 15,000 16,100 19,800 19,525
 
Etapa 1: Construção da matriz MAT 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT 
 Escreva MAT 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas 
Calculator 
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix 
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o 
número de colunas. Digite 10 para linhas e 2 para colunas e 
clique OK 
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde 
serão digitados os números. Digite os valores, utilizando a tecla 
TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a 
digitação, deverá estar conforme Fig.10.1.c. 
Etapa 2: Definição das colunas de X e Y 
a) Definição da coluna de X 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará X 
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 Escreva X 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix Column 
 Quando surgir o argumento de Matrix Column (conforme figura ao lado) 
clique o quadrado inferior e digite MAT. Depois clique no quadrado superior 
e digite 0 e tecle Enter. 
a) Definição da coluna de Y 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará Y 
 Escreva Y 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix Column 
 Quando surgir o argumento de Matrix Column (conforme figura ao lado) 
clique o quadrado inferior e digite MAT. Depois clique no quadrado superior 
e digite 1 e tecle Enter. 
Etapa 3: Executar as funções Slope(vx, vy) e Intercept(X,Y) 
a) Definição do coeficiente a 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de a 
 Escreva a 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Selecione na barra de menu Insert - Function 
 Na janela Insert - Function selecione a função Slope(vx, vy) e clique OK. 
 Aparecera o argumento da função Slope(vx, vy) com dois 
quadrados pretos indicando onde digitar os dados. No primeiro 
quadrado e digite X e no segundo digite Y, conforme figura ao 
lado e tecle Enter. 
b) Definição do coeficiente b 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de b 
 Escreva b 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Selecione na barra de menu Insert - Function 
 Na janela Insert - Function selecione a função Intercept(X,Y) e clique OK. 
 Aparecera o argumento da função Intercept(X,Y com dois 
quadrados pretos indicando onde digitar os dados. No 
primeiro quadrado e digite X e no segundo digite Y, conforme 
figura ao lado e tecle Enter. 
Etapa 3: Determinação dos coeficientes a e b 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de a 
 Escreva a 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a e 
tecle Enter. 
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 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de b 
 Escreva b 
 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a e 
tecle Enter. 
O resultado deverá ser: 
a = 2.86 
b = 7.008 
Desta forma, a reta que melhor representa os pontos dados é dada pela equação abaixo: 
 
 
 
11.2 Regressão Polinomial 
A Regressão Polinomial consiste em determinar o polinômio que melhor representa 
uma séria de valores conhecidos. Esta determinação consiste de quatro etapas, conforme 
abaixo: 
Etapa 1: 
Construção da matriz MAT com N linhas (número de pontos 
conhecidos) e 2 colunas, tendo na primeira coluna os valores de X 
(variável independente) e na segunda coluna os valores de Y 
(variável dependente), conforme figura ao lado. 
Etapa 2: 
Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual 
contem os valores de Y. Isto é feito da atraves do botão Matrix Column da barra de 
ferramentas Matrix, conforme abaixo: 
 Escreva X 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator Escreva MAT 
 Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix. 
 Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se 
deve digitar 0, conforme abaixo. 
 Escreva Y 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Escreva MAT 
 Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix. 
 Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se 
deve digitar 1, conforme abaixo. 
 
 
Etapa 3: 
Informar ao MathCad qual a ordem do polinômio a ser usado no ajuste polinomial. Isto é 
feito da seguinte forma: 
008.786.2  xy
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 Escreva K (ou uma outra variável) 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Escreva 3 (ou outra ordem) e tecle Enter. 
Etapa 4: 
Armazenar em uma variável a função regress(Mx, vy,n), conforme abaixo: 
 Escreva W (ou uma outra variável) 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Selecione na barra de menu Insert – Function 
 Na janela Insert - Function selecione a função regress(Mx, vy,n), e clique OK. 
 Aparecera o argumento da função regress(Mx, vy,n), com três quadrados pretos 
indicando onde digitar os dados. 
o No primeiro quadrado e digite X 
o No segundo quadrado e digite Y 
o No terceiro quadrado e digite K 
o Tecle Enter. A função deverá estar conforme abaixo. 
 
 
Etapa 5: 
Criar o polinômio através da função interp(W, X,Y,S), conforme abaixo: 
 Escreva F(Z) 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Selecione na barra de menu Insert – Function 
 Na janela Insert - Function selecione a função interp(vs, Mx,My,x), e clique OK. 
 Aparecera o argumento da função interp(vs, Mx,My,x), com três quadrados pretos 
indicando onde digitar os dados. 
 No primeiro quadrado e digite W 
 No segundo quadrado e digite X 
 No terceiro quadrado e digite Y 
 No quarto quadrado e digite Z 
 Tecle Enter. A função F(Z), que é o polinômio de ordem K deverá estar conforme 
abaixo. 
 
 
 
Exercício: 
 
Determine o polinômio de 6ª ordem que melhor representa os valores abaixo e calcule 
seu valor nos pontos X=2,75 e X= 11,47 
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
F(X) 10,470 7,273 21,089 23,606 49,729 55,519 95,443 122,175 178,008 227,857
 
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Etapa 1: Construção da matriz MAT 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz 
MAT 
 Escreva MAT 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas 
Calculator 
 Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix 
 Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas 
e o número de colunas. Digite 10 para linhas e 2 para 
colunas e clique OK 
 Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde 
serão digitados os números. Digite os valores, utilizando a 
tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a 
digitação, deverá estar conformefigura ao lado 
Etapa 2: Definição das colunas de X e Y 
Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y. 
Isto é feito da atraves do botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix, conforme 
abaixo: 
 Escreva X 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Escreva MAT 
 Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix. 
 Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se 
deve digitar 0, conforme abaixo. 
 Escreva Y 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Escreva MAT 
 Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix. 
 Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se 
deve digitar 1, conforme abaixo. 
 
 
 
Etapa 3: Definição da ordem do polinômio 
Informar ao MathCad qual a ordem do polinômio a ser usado no ajuste polinomial. Isto é 
feito da seguinte forma: 
 Escreva K (ou uma outra variável) 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Escreva 6 (ou outra ordem) e tecle Enter. 
Etapa 4: Armazenar em uma variável a função regress(Mx, vy,n) 
 Escreva W 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
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 Selecione na barra de menu Insert – Function 
 Na janela Insert - Function selecione a função regress(Mx, vy,n), e clique OK. 
 Aparecera o argumento da função regress(Mx, vy,n), com três quadrados pretos 
indicando onde digitar os dados. 
o No primeiro quadrado e digite X 
o No segundo quadrado e digite Y 
o No terceiro quadrado e digite K 
o Tecle Enter. A função deverá estar conforme acima. 
 
Etapa 5: Criar o polinômio F(Z) através da função interp(W, X,Y,S) 
 Escreva F(Z) 
 Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 
 Selecione na barra de menu Insert – Function 
 Na janela Insert - Function selecione a função interp(vs, Mx,My,x), e clique OK. 
 Aparecera o argumento da função interp(vs, Mx,My,x), com três quadrados pretos 
indicando onde digitar os dados. 
 No primeiro quadrado e digite W 
 No segundo quadrado e digite X 
 No terceiro quadrado e digite Y 
 No quarto quadrado e digite Z 
 Tecle Enter. A função F(Z), que é o polinômio de 6ª ordem e deverá estar conforme 
abaixo. 
 
 
 
Etapa 6: Definição dos coeficientes 
 Escreva W 
 Digite = (igual) ou clique na barra 
Calculator no símbolo = para 
visualizar o vetor com os coeficientes 
do polinômio e clique Enter. O vetor 
deverá estar conforme figura ao lado. 
 
Para calcular os valores nos pontos 
X=2,75 e X= 11,47 proceda conforme 
abaixo: 
 Escreva F(2.75) 
 Digite = (igual) ou clique na barra 
Calculator no símbolo = para 
visualizar o valor do polinômio no 
ponto X=2,75 e clique Enter. 
 Escreva F(11.47) 
Coeficiente de X5 
Coeficiente de X6 
Coeficiente de X4 
Coeficiente de X3 
Coeficiente de X2 
Coeficiente de X1 
Termo Independente 
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 Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para visualizar o valor do 
polinômio no ponto X= 11,47 e clique Enter. 
 O resultado deverá estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
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12. Construção de Gráficos 
 
 
Para a construção de gráficos precisaremos da 
barra de ferramentas Graph. Por isso, leve o cursor 
até a barra de ferramentas Math e clique no ícone 
Graph Palette para ativar esta barra de ferramentas, 
mostrada na ao lado. 
 
Para a construção de gráficos de funções proceda conforme abaixo: 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função 
 Digite a função F(X) 
 Clique na barra de ferramentas Graph no tipo do gráfico 
desejado. Aparecerá a estrutura do gráfico com os eixos 
conforme figura ao lado. 
 Digite no quadrado do eixo das abscissas o nome da 
variável e no do eixo das ordenadas o nome da função. 
 
A título de exercício vamos construir o gráfico da função abaixo: 
 
 
 
Para isto, proceda conforme abaixo: 
 Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função 
 Digite a função 
 Clique na barra de ferramentas Graph no ícone X-Y Plot. Aparecerá a estrutura do 
gráfico com os eixos e os quadrados para digitar o nome da variável e da função. 
 No quadrado do eixo das variáveis digite X 
 No quadrado do eixo das abscissas digite F(X) 
 Tecle Enter. O gráfico deve estar conforme abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite superior 
de X 
Limite inferior 
de X 
Limite superior 
de F(X) 
Limite inferior 
de F(X) 
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12.1 Formatação de Gráficos 
Conforme visto no item anterior, o gráfico é gerado automaticamente pelo MathCad, sem 
podermos escolher os limites nem a escala. No gráfico traçado acima, os limitesde X, entre 
-10 e +10 foram ditados pelo programa. 
Isto pode gerar um gráfico que não atenda perfeitamente, principalmente quando 
estamos interessados em conhecer o comportamento da função dentro de certos limites da 
variável. 
Desta forma, torna-se necessário alterar as propriedades do gráfico gerado. 
A título de exercício vamos formatar o gráfico de F(X) gerado no item anterior da 
seguinte forma: 
Limite inferior de X: ............... 0 
Limite superior de X: ............. 5 
Limite inferior de F(X): .......... 0 
Limite superior de F(X): ........ 50 
 
Para isto, proceda da seguinte forma: 
 Clique com o cursor do mouse no limite inferior de X. Apague o valor -10 e digite 0 
 Clique com o cursor do mouse no limite superior de X. Apague o valor +10 e digite 5 
 Clique com o cursor do mouse no limite inferior de F(X). Apague o valor -18.8 e 
digite o valor 0 
 Clique com o cursor do mouse no limite superior de F(X). Apague o valor 45.7 e 
digite o valor 50 
O gráfico deve estar conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Além dos limites superior e inferior do gráfico podemos formatar também outras 
propriedades, como linhas de grade, tipos de eixo, escala, etc. 
Vamos formatar o gráfico acima com as seguintes propriedades: 
a) Adicionar grades horizontal e vertical 
b) Mudar a escala vertical para que os valores fiquem múltiplos de 10 
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Para isto proceda conforme abaixo 
 Dê um duplo clique sobre o gráfico. Aparecerá a caixa de diálogo Formating 
Currently Selected X-Y Plot mostrada abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Selecione as opções conforme figura acima e clique OK. Formate o gráfico nas abas 
Traces e Label para que fique conforme abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12.2 Gráficos de Duas Funções 
A construção de gráficos de duas ou mais funções segue os mesmo procedimento que a 
dos gráficos de apenas uma função. 
Para informar ao MathCad as funções que devem ser plotadas, elas devem ser escritas 
no eixo das abcissas separadas por , (vírgula). 
Seja, por exemplo, construir os gráficos das funções abaixo, F(X) e H(X). 
 
 
Uma vez formatado, o gráfico das funções ficará conforme abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F X( ) 3 X2 H X( ) 3 X2 50 
Digite F(X),H(X) 
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13. Erro: Existência e Propagação 
 
13.1 Existência do Erro 
O Erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico, pois: 
 Os valores, em si, não são exatos. 
Isto decorre do processo de medição, do erro do medidor e da incerteza do valor 
verdadeiro. 
Por exemplo, um valor de 50m, com uma incerteza de ±0,2, é algo no intervalo de 
49,8 e 50,2 
 Quando efetuamos operações com esses valores, o Erro se propaga. 
Quando efetuamos operações com valores que carregam incertezas, ela é levada 
para os resultados. 
Isto é chamado de Propagação do Erro. 
 Os métodos numéricos são, freqüentemente, aproximados 
Isto realça que os métodos numéricos não são, freqüentemente, exatos. Este método 
procura valores aproximados, buscando diminuir o erro e cada iteração que é feita. 
 Arredondamento 
O computador representa números reais com um número finito de dígitos, sendo 
abrigado e aproximá-los quando este demandarem mais dígitos do que ele está 
programado para usar. 
Um exemplo é o número ¶ e o número e, que terão que ser arredondados, pois seus 
infinitos dígitos não podem ser representados no computador. 
Quando representamos um valor por M ± μ, M muito maior que µ, chamamos: 
μ .............. Desvio Absoluto ou Erro Absoluto 
μ / |M| ..... Desvio Relativo ou Erro Relativo ( |M| é o valor absoluto de M) 
 
13.2 Propagação do Erro 
Sejam os números abaixo, a e b: 
a = 60 ± 2 
b = 30 ± 3 
 
Desta forma, os valores máximos e mínimos de a e b são: 
a: ....... De 58 a 62 
b: ....... De 27 a 33 
 
 62 +33 95 
 a + b 
 58 + 27 85 
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A Soma a + b varia de 85 a 95 
 
 62 - 27 35 
 a - b 
 58 - 33 25 
A Subtração a - b varia de 25 a 35 
 
 62 x 33 2.046 
 a x b 
 58 x 27 1.566 
A Multiplicação a x b varia de 1.566 a 2.046 
 
Seja: 
ea ...... Erro absoluto de a 
eb ...... Erro absoluto de b 
 
Teremos: 
a) O Erro Absoluto da Soma 
(a ± ea) + (b ± eb) = a + b ± (ea + eb) 
 
O Erro Absoluto da Soma é a soma dos erros absolutos das 
parcelas. 
b) O Erro Absoluto da Subtração 
 
(a ± ea) - (b ± eb) = a - b ± (ea + eb) 
 
O Erro Absoluto da Subtração é a soma dos erros absolutos das 
parcelas. 
c) O Erro Absoluto da Multiplicação 
 
 (a ± ea) x (b ± eb) = a . b ± (a . eb + b . ea) 
 
O Erro Absoluto da Multiplicação é a soma dos erros absolutos 
das parcelas, ponderado pelo valor das parcelas. 
 
Para analisar o Erro Relativo, consideremos: 
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Esoma ... Erro Relativo da soma 
Esub ..... Erro Relativo da subtração 
Eprod .... Erro Relativo da multiplicação 
Ea ........ Erro Relativo d e a 
Eb ........ Erro Relativo de b 
d) O Erro Relativo da Soma 
 
Esoma = esoma / (a+b) = ea / (a+b) +eb / (a+b) 
ba
b
b
e
ba
a
a
eE basoma  .. 
 
ba
bE
ba
aEE basoma  .. 
 
O Erro Relativo da Soma é a soma dos erros Relativos de cada 
parcela, ponderada pela respectiva parcela. 
e) O Erro Relativo da Subtração 
 
ba
e
ba
e
ba
ee
ba
aeE babasubsub 

)(. 
 
ba
bE
ba
aEE basub  .. 
 
O Erro Relativo da Subtração é a soma dos erros relativos do 
minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados pelas 
respectivas parcelas. 
f) O Erro Relativo do Produto 
a
e
b
e
ba
e
E abprodprod  . 
 
MathCad 15 Jun/2013 
 
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O Erro Relativo do Produto é a soma dos erros relativos dos 
fatores. 
 
g) O Erro Relativo da Divisão 
 
b
e
a
e
b
a
bb
ae
b
e
E ba
ba
div 

 .
.
 
 
O Erro Relativo da Divisão é a soma dos erros relativos do 
dividendo e do divisor. 
 
 
 
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14. Cálculo de Raízes 
Um caso clássico de cálculo de raízes de equações são as de segundo grau, da forma: 
0.. 2  cxbxa 
As duas raízes são dados pela fórmula: 
a
cabbx
.2
..42  
Contudo, existem expressões cuja solução não é tão simples, como nos casos abaixo: 
0 xex 
0)cos(  xx 
02)(  xxLn 
Também os polinômios, com grau superior a 3 não tem solução simples. 
Vamos ver adiante alguns métodos numéricos para cálculos de raízes destas equações, 
com resultados que, embora aproximados, estejam dentro de limites estabelecidos. 
14.1 Método Gráfico 
Um gráfico bem plotado pode nos dar uma ideia bastante acurada das raízes de 
equações e, dependendo da precisão requerida, pode resolver nossos problemas. 
Caso a precisão requerida não seja atendida por este método, ele pode servir de entrada 
para outros métodos mais aprimorados, que nos levem a precisão desejada. 
 
Seja a função: 
 
O gráfico da função ficará conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela análise do gráfico, constatamos que raiz da equação encontra-se entre 0,0 e 1,0. 
Caso este erro não seja admissível, poderemos usar esta resposta como ponto de 
G X( ) cos X( ) X
3
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partida para métodos mais precisos. 
14.2 Método da Bipartição 
Este método tenta melhorar a precisão de resultados obtidos por outros métodos 
aproximados como, por exemplo, o método gráfico. 
Ele parte de um intervalo entre dois pontos, a e b, onde existe, pelo menos, uma raiz, 
que é o ponto onde a função muda de sinal, procedendo da seguinte forma: 
 Acha-se o ponto médio desse intervalo e calcula-se o valor da função nesse ponto. Se 
o valor da função for zero, achou-sea raiz, o que não costuma acontecer. 
 O próximo passo é reduzir o espaço à metade e repetir a operação. O sinal da 
equação determinará se o espaço a ser escolhido será a metade da esquerda ou da 
direita. 
 Para determinar a metade onde se localiza a raiz, procede-se da seguinte forma: 
 Calcula-se o ponto médio c = (a + b)/2 
 Calcula-se F(a), F(b) e F(c) 
 Se F(a) x F(c) < 0 a raiz está entre a e c, caso contrário estará entre b e c. 
 Se a raiz estiver entre a e c, atribui-se a c o valor de b e repete-se o processo. 
 Se a raiz estiver entre b e c, atribui-se a c o valor de a e repete-se o processo. 
Este Processo da Bipartição permite chegar tão próximo da raiz quanto se queira, pois, 
como descrito acima, a cada iteração o intervalo é dividido por dois e pode-se continuar até 
atingir a precisão descrita. 
Aplicando o Método da Bipartição para determinar a raiz da equação G(X) vista no 
Método Gráfico, teremos o quadro abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo gráfico da função acima mostrado, constata-se que existe uma raiz entre os 
pontos 0 e 1. Assim, faremos: 
 
 
3)()( xxCosxG 
0a 1b
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Na planilha acima a coluna C mostra o local onde a função corta o Eixo X, que é o valor 
da raiz. 
Podem-se fazer tantas iterações quando se queira, até obter um valor de erro dentro do 
limite tolerável. 
Neste caso, conforme a planilha acima, verificamos que, na 14ª iteração, o valor da 
raiz é 0,8654. 
Para fins de comparação, pode-se calcular o valor usando funções do MathCad, que 
resultará no valor abaixo: 
 
 
Caso se deseje uma precisão melhor, deve-se continuar o processo acima até atingir a 
precisão desejada. 
 
 
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15. Resolução de Sistemas de Equações Lineares 
Os métodos de resolução de Sistemas Lineares podem ser divididos em Métodos 
Diretos e Métodos Iterativos. 
Independentemente do grupo escolhido, ambos visam a resolução de equações do tipo 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na forma matricial, o sistema de equações lineares acima fica conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
aij Coeficientes das incógnitas, que formam a Matriz dos Coeficientes. 
bij Termos Independentes, que formam o Vetor dos Termos Independentes. 
xij São as incógnitas, que formam o Vetor das Incógnitas. 
 
Os principais Métodos Diretos são: 
 Eliminação de Gauss 
 Fatoração LU 
Os principais Métodos Iterativos são: 
 Jacobi 
 Gauss-Seidel 
Devemos ter em mente que estes são Métodos Iterativos o número de iterações necessárias 
para atingir a solução está condicionado a precisão desejada e que pode ocorrer dos 
sistema não convergir. 
Pode ser demonstrado que a condição suficiente, mas não necessária para haver 
convergência é que a matriz dos coeficientes seja Diagonalmente Dominante. 
 
 
MathCad 15 Jun/2013 
 
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Em uma matriz Diagonalmente Dominante, para cada linha, o 
termo da diagonal principal é, em módulo, maior ou igual que a soma 
dos demais termos da linha e, pelo menos em uma linha, o módulo é 
maior. 
 
15.1 Método da Eliminação de Gauss 
Considere a sistemas de equações abaixo, no qual os coeficientes das incógnitas abaixo 
da diagonal principal são todos zero. 
 
 
 
 
 
 
A solução deste tipo de sistema de equações, em que os termos abaixo da diagonal 
principal são todos nulos, é imediata, pois resolvendo a terceira equação temos: 
 
 
 
Resolvendo a 2ª equação temos: 
 
 
 
Analogamente, resolvendo a primeira equação teremos: 
 
 
 
O Método da Eliminação de Gauss enquadro-se no grupo dos Métodos Diretos e o 
objetivo é converter um dado sistema de equações para sua forma triangular (coeficientes 
nulos abaixo da diagonal principal). 
Portanto, este método é composto de duas fases: 
1ª Fase (forward): Converter o sistema original em um sistema triangular. 
Eliminar a variável X1 de todas as equações, a partir da segunda. 
Depois, eliminar a variável X2 de todas as equações, a partir da 
terceira e, assim sucessivamente. 
2ª Fase (backward): Resolver o sistema, começando pela última variável, depois a 
penúltima, etc. 
 
Seja o sistema de três equações abaixo: 
 
 
5,2
33,1
33,3
3 X
0,2
92,3
369,307,17
2  XX
5,3
50,2
250,136,375,14
1  XXX
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a11 2.5 a12 1.5 a13 3.6 b1 14.75
a21 4.30 a22 6.50 a23 2.50 b2 8.30
a31 3.2 a32 4.3 a33 3.70 b3 11.85
MAT
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33


 VET
b1
b2
b3


 
MAT
2.50
4.30
3.20
1.50
6.50
4.30
3.60
2.50
3.70


 VET
14.75
8.30
11.85


 
======= 2a Linha = 2a Linha - 1a Linha x k1 ======= 
k1
a21
a11
 
a21 a21 a11 k1 a22 a22 a12 k1
a23 a23 a13 k1 b2 b2 b1 k1
MAT
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33


 VET
b1
b2
b3


 
MAT
2.50
0.00
3.20
1.50
3.92
4.30
3.60
3.69
3.70


 VET
14.75
17.07
11.85


 
======= 3a Linha = 3a Linha - 1a Linha x k2 ======= 
k2
a31
a11
 
a31 a31 a11 k2 a32 a32 a12 k2
a33 a33 a13 k2 b3 b3 b1 k2
MAT
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33


 VET
b1
b2
b3


 
MAT
2.50
0.00
0.00
1.50
3.92
2.38
3.60
3.69
0.91


 VET
14.75
17.07
7.03


 
MathCad 15 Jun/2013 
 
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Pode-se usar também uma linguagem de programação e criar um 
programa para determinar as raízes de um sistema pelo Método de 
eliminação de Gauss. 
O programa utilizado abaixo foi o PASCALZIM, Versão 5.1.1., 
desenvolvido com finalidades educacionais e de livre utilização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a31 a31 a21 k3 a32 a32 a22 k3
a33 a33 a23 k3 b3 b3 b2 k3
MAT
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33


 VET
b1
b2
b3


 
MAT
2.50
0.00
0.00
1.50
3.92
0.00
3.60
3.69
1.33


 VET
14.75
17.07
3.33


 
======= RESULTADOS ======= 
a33 x3 b3= solve x3 2.5 2.500
x3 2.500 
a22 x2 a23 x3 b2= solve x2 2.0 
x2 2 
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1= solve x1 3.5
x1 3.5 
======= 3a Linha = 3a Linha - 2a Linha x k3 ======= 
k3
a32
a22
 
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O programa desenvolvido e respectivos resultados são mostrados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Program Metodo_Gauss; 
Var A: Array[1..3, 1..3] of Real; B: Array[1..3] of Real; 
i, j: Integer; k1, k2, k3: Real; X1, X2, X3: Real; 
 
Begin 
 {===== A(3X3) ---> Matriz dos coeficientes =====} 
 A[1,1]:=2.50; A[1,2]:=1.50; A[1,3]:=3.60; 
 A[2,1]:=4.30; A[2,2]:=6.50; A[2,3]:=2.50; 
 A[3,1]:=3.20; A[3,2]:=4.30; A[3,3]:=3.70; 
 {===== B(3x1)--> Vetor dos termos independentes =====} 
 B[1]:=14.75; B[2]:=8.30; B[311.85; 
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 Writeln('Matriz A e vetor B'); 
 For i:=1 to 3 do Begin {Impressão de A e B} 
 For j:=1 to 3 do Begin 
 Write (A[i,j], ' - '); 
 End; 
 Write ('--> ',B[i]); 
 Writeln; 
 Writeln; 
 End; 
 Writeln; 
 {===== 2a Linha = 2a Linha - 1a Linha x k1 =====} 
 k1:= A[2,1]/A[1,1]; 
 For i:=1 to 3 do Begin; 
 A[2,i]:= A[2,i]-A[1,i]*k1 
 End; 
 B[2]:=B[2]-B[1]*k1; 
 {===== 3a Linha = 3a Linha - 1a Linha x k2 =====} 
 k2:= A[3,1]/A[1,1]; 
 For i:=1 to 3 do Begin; 
 A[3,i]:= A[3,i]-A[1,i]*k2 
 End; 
 B[3]:=B[3]-B[1]*k2; 
 {===== 3a Linha = 3a Linha - 2a Linha x k3 =====} 
 k3:= A[3,2]/A[2,2];For i:=1 to 3 do Begin; 
 A[3,i]:= A[3,i]-A[2,i]*k3 
 End; 
 B[3]:=B[3]-B[2]*k3; 
 {====== Impressão de A e B ============} 
 Writeln; writeln; 
 Writeln('Matriz de Gauss'); 
 For i:=1 to 3 do Begin 
 For j:=1 to 3 do Begin 
 Write (A[i,j], ' - '); 
 End; 
 Write ('--> ',B[i]); 
 Writeln; 
 Writeln; 
 End; 
 {======= Impressão das Raízes ==========} 
 X3:= B[3]/A[3,3]; 
 X2:= (B[2]-A[2,3]*X3)/A[2,2]; 
 X1:= (B[1]-A[1,2]*X2-A[1,3]*X3)/A[1,1]; 
 Writeln('Raízes: '); 
 Writeln (' X1= ',X1); Writeln; 
 Writeln (' X2= ',X2); Writeln; 
 Writeln (' X3= ',X3); Writeln; 
 Writeln('Tecle ENTER p/ Terminar'); 
 End. 
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Determinar as raízes do sistema de equações abaixo, pelo Método de 
eliminação de Gauss, utilizando o PASCALZIM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Program Metodo_Gauss_4Eq ; 
Var A: Array[1..4, 1..4] of Real; B: Array[1..4] of Real; 
i, j: Integer; 
k1, k2, k3, k4, k5, k6: Real; 
X1, X2, X3, X4: Real; 
 
 {A(4x4) ---> Matriz dos coeficientes} 
 Begin 
 A[1,1]:=3.55; A[1,2]:=3.70; A[1,3]:=4.47; A[1,4]:=2.10; 
 A[2,1]:=6.41; A[2,2]:=5.34; A[2,3]:=2.93; A[2,4]:=1.47; 
 A[3,1]:=2.14; A[3,2]:=5.90; A[3,3]:=9.57; A[3,4]:=8.01; 
 A[4,1]:=2.95; A[4,2]:=3.18; A[4,3]:=8.32; A[4,4]:=0.35; 
 
 {B(4x1) ---> Vetor dos termos independentes} 
 B[1]:=9.6350; B[2]:=10.4600; B[3]:=2.2350; B[4]:=25.1000; 
 
 {====== Impressão de A e B =====================} 
 Writeln('Matriz A e vetor B'); 
 For i:=1 to 4 do Begin 
 For j:=1 to 4 do Begin 
 Write (A[i,j], ' ; '); 
 End; 
 Write ('--> ',B[i]); 
 Writeln; Writeln; 
 End; 
 Writeln; 
 {===== 2a Linha = 2a Linha - 1a Linha x k1 =====} 
 k1:= A[2,1]/A[1,1]; 
 For i:=1 to 4 do Begin; 
 A[2,i]:= A[2,i]-A[1,i]*k1 
 End; 
 B[2]:=B[2]-B[1]*k1; 
 {===== 3a Linha = 3a Linha - 1a Linha x k2 =====} 
 k2:= A[3,1]/A[1,1]; 
 For i:=1 to 4 do Begin; 
 A[3,i]:= A[3,i]-A[1,i]*k2 
 End; 
 B[3]:=B[3]-B[1]*k2; 
 {===== 3a Linha = 3a Linha - 2a Linha x k3 =====} 
 k3:= A[3,2]/A[2,2]; 
 For i:=1 to 4 do Begin; 
 A[3,i]:= A[3,i]-A[2,i]*k3 
 End; 
 B[3]:=B[3]-B[2]*k3; 
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 {===== 4a Linha = 4a Linha - 1a Linha x k4 =====} 
 k4:= A[4,1]/A[1,1]; 
 For i:=1 to 4 do Begin; 
 A[4,i]:= A[4,i]-A[1,i]*k4 
 End; 
 B[4]:=B[4]-B[1]*k4; 
 {===== 4a Linha = 4a Linha - 2a Linha x k5 =====} 
 k5:= A[4,2]/A[2,2]; 
 For i:=1 to 4 do Begin; 
 A[4,i]:= A[4,i]-A[2,i]*k5 
 End; 
 B[4]:=B[4]-B[2]*k5; 
 {===== 4a Linha = 4a Linha - 3a Linha x k6 =====} 
 k6:= A[4,3]/A[3,3]; 
 For i:=1 to 4 do Begin; 
 A[4,i]:= A[4,i]-A[3,i]*k6 
 End; 
 B[4]:=B[4]-B[3]*k6; 
 {====== Impressão de A e B =====================} 
 Writeln('Matriz de Gauss'); 
 For i:=1 to 4 do Begin 
 For j:=1 to 4 do Begin 
 Write (A[i,j], ' ; '); 
 End; 
 Write ('--> ',B[i]); 
 Writeln; 
 Writeln; 
 End; 
 {===== Cálculo das Raízes ======================} 
 X4:= B[4]/A[4,4]; 
 X3:= (B[3]-A[3,4]*X4)/A[3,3]; 
 X2:= (B[2]-A[2,3]*X3-A[2,4]*X4)/A[2,2]; 
 X1:= (B[1]-A[1,2]*X2-A[1,3]*X3-A[1,4]*X4)/A[1,1]; 
 Writeln('Raízes: '); 
 Writeln (' X1= ',X1); Writeln; 
 Writeln (' X2= ',X2); Writeln; 
 Writeln (' X3= ',X3); Writeln; 
 Writeln (' X4= ',X4); Writeln; 
 
 Writeln('Tecle ENTER p/ Terminar'); 
 End. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Podemos também aplicar o Método Eliminação de Gauss duas vezes, primeiro zerando 
os elementos abaixo da diagonal principal e depois acima. 
Seja o Sistema de equações abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos aplicar o Método Eliminação de Gauss duas vezes para determinar as raízes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a11 2.5 a12 1.5 a13 3.6 b1 14.75 
a21 4.30 a22 6.50 a23 2.50 b2 8.30 
a31 3.2 a32 4.3 a33 3.70 b3 11.85 
MAT
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33


 VET
b1
b2
b3


 
MAT
2.50
4.30
3.20
1.50
6.50
4.30
3.60
2.50
3.70


 VET
14.75
8.30
11.85


 
===== 2a Linha = 2a Linha - 1a Linha x k1 ========= 
k1
a21
a11
 
a21 a21 a11 k1 a22 a22 a12 k1 
a23 a23 a13 k1 b2 b2 b1 k1 
MAT
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33


 VET
b1
b2
b3


 
MAT
2.50
0.00
3.20
1.50
3.92
4.30
3.60
3.69
3.70


 VET
14.75
17.07
11.85


 
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===== 3a Linha = 3a Linha - 1a Linha x k2 ========= 
k2
a31
a11
 
a31 a31 a11 k2 a32 a32 a12 k2 
a33 a33 a13 k2 b3 b3 b1 k2 
MAT
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33


 VET
b1
b2
b3


 
MAT
2.50
0.00
0.00
1.50
3.92
2.38
3.60
3.69
0.91


 VET
14.75
17.07
7.03


 
====== 3a Linha = 3a Linha - 2a Linha x k3 ========= 
k3
a32
a22
 
a31 a31 a21 k3 a32 a32 a22 k3 
a33 a33 a23 k3 b3 b3 b2 k3 
MAT
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33


 VET
b1
b2
b3


 
MAT
2.50
0.00
0.00
1.50
3.92
0.00
3.60
3.69
1.33


 VET
14.75
17.07
3.33


 
====== 1a Linha = 1a Linha - 2a Linha x k4 ========= 
k4
a12
a22
 
a11 a11 a21 k4 a12 a12 a22 k4 
a13 a13 a23 k4 b1 b1 b2 k4 
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MAT
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33


 VET
b1
b2
b3


 
MAT
2.50
0.00
0.00
0.00
3.92
0.00
5.01
3.69
1.33


 VET
21.28
17.07
3.33


 
 ====== 1a Linha = 1a Linha - 2a Linha x k5 ========= 
k5
a13
a33
 
a13 a13 a33 k5 b1 b1 b3 k5 
MAT
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33


 VET
b1
b2
b3


 
MAT
2.50
0.00
0.00
0.00
3.92
0.00
0.00
3.69
1.33


 VET
8.75
17.07
3.33


 
====== 2a Linha = 2a Linha - 3a Linha x k6 ========= 
k6
a23
a33
 
a23 a23 a33 k6 b2 b2 b3 k6 
MAT
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33


 VET
b1
b2
b3


 
MAT
2.50
0.00
0.00
0.00
3.92
0.00
0.00
0.00
1.33


 VET
8.75
7.84
3.33


 
x1
b1
a11
3.50 x2 b2
a22
2.00 x3 b3
a33
2.50 
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15.2 Método de Jacobi 
Os Métodos Diretos tem o inconveniente de alterar a matriz inicial que, no caso de 
grandes matrizes, pode levar a erros não toleráveis. 
Os Métodos Iterativos mantém inalterada a matriz principal, partindo de uma 
aproximação inicial, melhorando continuamente a aproximação, até alcançar uma solução 
aceitável. 
O Método de Jacobi isola uma variável em cada equação e aplicar às outras uma 
aproximação inicial chegando-se assim a a outra aproximação, que, espera-se, seja melhor 
que a anterior. 
Assim, dado um sistema de n equações e n incógnitas, teremos: 
 
 
 
 
 
 
Vamos resolver o sistema abaixo pelo Método de Jacobi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
================= 1a ITERAÇÃO =================== 
X2 0 X3 0 
X1
16.75 1.5 X2 3.6 X3
6.5
2.577 
A1 X1 2.577 
------------------------------------------------------------------------- 
X1 0 X3 0 
X2
21.3 3.3 X1 2.5 X3
8.0
2.663 
A2 X2 2.663 
-------------------------------------------------------------------------