Estruturas hiperestáticas 1

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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS - NOTAS DE AULA 
 
 
DEFINIÇÃO: SÃO FORMAS CONSTRUTIVAS ESTRUTURAIS EM QUE O NÚMERO DE 
VÍNCULOS PROPORCIONADOS PELOS APARELHOS DE APOIO É MAIOR DO QUE O 
NÚMERO DE EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA. 
 
 
LEIS BÁSICAS PARA EQUILÍBRIO DA ESTRUTURA NO PLANO: 
 
Σ FV = 0 
Σ FH = 0 
Σ M = 0 
(3 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA E. F. E.) 
 
V = Nº DE VÍNCULOS PROPORCIONADO PELOS APARELHOS DE APOIO. 
 
HIPERESTÁTICA NO PLANO: (V > 3 E. F. E.) 
 
 
LEIS BÁSICAS PARA EQUILÍBRIO DA ESTRUTURA NO ESPAÇO: 
 
Σ FX = 0 Σ MXY = 0 
Σ FY = 0 Σ MYZ = 0 
Σ F Z = 0 Σ MXZ = 0 
 (6 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA E. F. E.) 
 
HIPERESTÁTICA NO ESPAÇO: (V > 6 E. F. E.) 
 
 
 
 
 
 
 
(3 VÍNCULOS - ISOSTÁTICA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4 VÍNCULOS - HIPERESTÁTICA) 
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 P 
 
 
 
 
 
 
 
(5 VÍNCULOS - HIPERESTÁTICA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(6 VÍNCULOS - HIPERESTÁTICA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(VIGA CONTÍNUA 5 VÍNCULOS - HIPERESTÁTICA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(SUCESSÃO DE VIGAS ISOSTÁTICAS) 
 
 
 
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PÓRTICOS: 
 
a) PÓRTICOS SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ISOSTÁTICO HIPERESTÁTICOS 
 
 
 
 
 
 
ESTRUTURA APORTICADA SAPATA DE APOIO 
 
 
 
CONEXÃO RÍGIDA ( TRANSMITE MOMENTO ) 
 
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CONEXÃO DE APOIO ( NÃO TRANSMITE MOMENTO ) 
 
 
b) PÓRTICO MÚLTIPLO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) FORMAS DIVERSOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONSTRUÇÃO ATIRANTADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONSIDERAÇÕES: 
 
NAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS PARTE DOS ESFORÇOS SOLICITANTES SÃO 
ABSORVIDOS PELOS APOIOS, ALIVIANDO A ESTRUTURA MAS 
SOBRECARREGANDO OS APOIOS. 
 
PREFERENCIALMENTE DEVEMOS PROCURAR MODELAR A ESTRUTURA PARA A 
FORMA ISOSTÁTICA, MAS EM ALGUMAS SITUAÇÕES A ESTRUTURA NA FORMA 
HIPERESTÁTICA APRESENTA GANHOS ECONOMICOS, PRINCIPALMENTE: 
 
 NOS REFORÇOS OU INCREMENTO DE CARREGAMENTO ESTRUTURAIS. 
 NAS ESTRUTURAS DE GRANDE PORTE. 
 QUANDO NECESSITAMOS ESTRUTURAS COM MENORES DEFORMAÇÕES 
(MAIS RÍGIDAS) 
 
DIFICULDADES: 
 
COMO POSSUEM MAIS VÍNCULOS QUE O Nº DE EQUAÇÕES QUE AS LEIS DO 
EQUILÍBRIO NOS PROPORCIONA, FICAMOS COM UM PROBLEMA ESTÁTICAMENTE 
INDETERMINADO (MAIS INCÓGNITAS QUE EQUAÇOES); DESSA FORMA 
NECESSITAMOS OUTROS CONCEITOS PARA SOLUCIONAR O PROBLEMA, VISTO 
QUE SEM O CONHECIMENTO DAS REAÇOES NÃO CONSEGUIMOS AVALIAR OS 
ESFORÇOS. 
 
OS MÉTODOS MAIS USADOS SÃO: 
 
 MÉTODOS DAS FORÇAS 
 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
 PROCESSO DE CROSS 
 EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS 
 CONCEITOS DE CONSERVAÇAÕ DE ENERGIA , ETC 
 
ESSES MÉTODOS SÃO COMPLEXOS E MATEMATICAMENTE MAIS TRABALHOSOS, 
REQUEREDO SOLUÇÕES MATRICIAIS OU EQUAÇOES DIFERENCIAIS E CONCEITOS 
DE INTEGRAÇÃO. 
 
HOJE EM DIA NÃO SE CONCEBE A SOLUÇÃO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
SEM USO DE RECURÇOS COMPUTACIONAIS. 
 
AO LONGO DO TEMPO FORAM DESENVOLVIDOS SOLUÇÕES PARA AS CHAMADAS 
ESTRUTURAS TÍPICAS, OU SEJA MODELOS USUAIS QUE MAIS 
CORRIQUEIRAMENTE SE APLICAM NOS CASOS PRÁTICOS REAIS. RESULTANDO 
AS CHAMADAS CLÁSSICAS TABELAS DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICA, UMA 
ESPÉCIE DE FORMULÁRIO COM A SOLUÇÃO RÁPIDA DESSES PROBLEMAS: 
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EM NOSSA APOSTILA “TABELAS DE RESISTÊNCIA II”, TEMOS ALGUNS EXEMPLOS 
NAS PÁGINAS 23 A 32. 
 
VAMOS FAZER USO DESSAS TABELAS PARA MOSTRAR A SOLUÇÃO DE ALGUNS 
CASOS E POSTERIORMENTE, MOSTRAREMOS A SOLUÇÃO DESSES CASOS COM 
RECURSO COMPUTACIONAL. 
 
APÓS A DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS E SUA ANÁLISE, O DIMENSIONAMENTO 
DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICA SEGUEM OS MESMOS PASSOS E CRITÉRIOS 
PARA DIMENSIONAMENTO JÁ EXEMPLIFICADOS PARA AS ESTRUTURAS 
ISOSTÁTICAS, VISTOS EM RESISTENCI I E II. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLOS DE APLICAÇÃO: 
 
1- PARA A VIGA HIPERESTÁTICA ABAIXO DIMENSIONE UM PERFIL 
ESTRUTURAL DA TABELA 8 PARA SUPORTAR O CARREGAMENTO, USE 
MATERIAL COM TENSÃO ADMISSÍVEL σadm.=1500 kgf/cm2: 
 
 4.000 kgf 
 
 
 
 
 
 2m 3m 
 
 
CONSULTANDO A APOSTILA TABELAS DE RESISTÊNCIA II, TEMOS NA PG. 23 O 
CASO VH2: VIGA ENGASTADA E APOIADA COM CARGA ALEATÓRIA: 
 
 
 
 
P = 4.000 kgf 
a = 2m 
b = 3m 
L = 5m 
CASO VH2: VIGA ENGASTADA E 
APOIADA COM CARGA 
ALEATÓRIA 
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𝑅 = 𝑉 =
𝑃 × 𝑏
2 × 𝐿
(𝑎 + 2 × 𝐿) =
4.000 × 3
2 × 5
(2 + 2 × 5) = 1.728 𝑘𝑔𝑓 
 
 
𝑅 = 𝑉 =
𝑃 × 𝑎
2 × 𝐿
(3 × 𝐿 − 𝑎 ) =
4.000 × 2
2 × 5
(3 × 5 − 2 ) = 2.272 𝑘𝑔𝑓 
 
 
 
𝑀 = 𝑅 × 𝑎 = 1.728 × 2 = 3.456 𝑘𝑔𝑓. 𝑚 
 
𝑀 =
𝑃 × 𝑎 × 𝑏
2 × 𝐿
(𝑎 + 𝐿) =
4.000 × 2 × 3
2 × 5
(2 + 5) = 3.360 𝑘𝑔𝑓. 𝑚 
 
 
𝑊 =
𝑀 Á .
𝜎 .
 = 
345.600
1500.
 = 230,4 𝑐𝑚 
 
Consultando a tabela 8: 
 
 
 
 
 
O perfil indicado é 8”x 27,3 kg/m 
 
 
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2- PARA A PEÇA ABAIXO DETERMINE UM PERFIL ADEQUADO, USE PERFIL DA 
TABELA 12A / 12B / 12C, E MATERIAL ASTM - A36 COM TENSÃO ADMISSÍVEL 
DE σadm.=1200 kgf/cm2: 
 
 
 
 q = 400 kgf / m 
 
 
 
 
 1 m 
 
 
 
 
 3 m 3 m 
 
 6 m 
 
 
CONSULTANDO A APOSTILA TABELAS DE RESISTÊNCIA II, TEMOS NA PG. 31 
PÓRTICOS TESOURAS HIPERESTÁTICOS: 
 
 
 
 
 
PORTANTO: 
 
𝐴 = 𝐵 =
1
2
× 𝑞 × ℓ =
1
2
× 400 × 6 = 1200 𝑘𝑔𝑓 
 
𝐻 = 𝐻 =
5
32
× 𝑞 ×
ℓ
ℎ
=
5
32
× 400 ×
6
1
= 2.250 𝑘𝑔𝑓 
 
𝑀 =
9
512
× 𝑞 × ℓ =
9
512
× 400 × 6 = 253,125 𝑘𝑔𝑓. 𝑚 
 
𝑀 = −
1
32
× 𝑞 × ℓ =
1
32
× 400 × 6 = 450 𝑘𝑔𝑓. 𝑚 
 
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DIMENSIONAMENTO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 m 
 ɵ HA 
 N QHA 
 NHA 
 Q 
 NVA 
 3 m 
 VA 
 QVA 
 
 
 
 
tan ɵ =
1
3
= 0,333 ⟹ ɵ = 18,42º 
 
 
 
𝑁 = 𝑁 + 𝑁 = 𝑉 × sin ɵ + 𝐻 × cos ɵ 
 
𝑁 = 1.200 × 0,32 + 2.250 × 0,95 = 2.521 𝑘𝑔𝑓 
 
 
 
NESTE CASO A PEÇA ESTRUTURAL ALÉM DE SOFRER O ESFORÇO DE FLEXÃO, 
SOFRE TAMBÉM OS EFEITOS DE NORMAL E CORTANTE PRODUZIDOS PELAS 
REAÇÕES VERTICAIS E HORIZONTAIS, A CORTANTE PODEMOS DESPREZAR, MAS 
A NORNAL PELO EFEITO DE FLAMBAGEM É FUNDAMENTAL CONSIDERAR SEU 
EFEITO, POR ISSO O DIMENSIONAMENTO DEVE CONSIDERAR A FLEXÃO E A 
NORMAL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DIMENSIONAMENTO SOB ESSAS CONDIÇÕES JÁ FOI POR NÓS ABORDADO, TRATA-
SE DA FLEXÃO COMPOSTA: 
 
MF = M2 = 450 kgf.m = 45.000 kgf.cm 
N = 2.521 kgf compressão)MF 
 N 
 
 
 
 ℓ 𝜎 = + 𝜔 ≤ 𝜎 𝜆 = 
ℓ
 =
ℓ
 
 
 ℓ = 2 × √100 + 300 = 2 × 316,2 = 632,4 𝑐𝑚 
 N 
 MF 
 
 
ℓ = COMPRIMENTO REAL 
ÁREA BRUTA = A 
TENSÃO ADMISSÍVEL = σadm. 
ω = COEFICIENTE DE FLAMBAGEM: TABELADO EM F (λ) (TABELAS 1 E 2 ) 
ℓ = COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM 
i = RAIO DE GIRAÇÃO DA SEÇÃO 
 
 
 
NESTE CASO TAMBÉM NÃO PODEMOS FAZER O DIMENSIONAMENTO DIRETO, 
TEMOS QUE ADOTAR UM TAMANHO DE PERFIL E ANALIZAR: 
 
PARA ISSO VAMOS FAZER DUAS HIPÓTESES: 
 
 
a) DETERMINAR UM TAMANHO MÍNIMO PARA SUPORTAR ISOLADAMENTE A 
FLEXÃO. 
 
𝑊 =
𝑀 á .
𝜎 .
 = 
45.000
1200
 = 37,5 𝑐𝑚 
 
 
b) DETERMINAR UM ÍNDICE DE ELBELTEZ MÉDIO λ ≅ 130 
 
𝜆 = 
 ℓ
𝑖
 ⟹ 𝑖 =
ℓ
𝜆
=
632,4
130
= 4,86 𝑐𝑚 
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TABELA 12B 
 
 
 
 
 
 
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CONSULTANDO A TABELA 12 B TEMOS: 
 
PERFIL 130 X 130 X 5,0 X 18,6 kg/m 
 
RAIO DE GIRAÇÃO: i =5,14 cm 
ÁREA: A = 23,7 cm2 
MÓDULO DE RESISTÊNCIA ELÁSTICO: WF = 96,3 cm3 
 
𝜆 = 
 ℓ
𝑖
=
632,4
5,14
= 123 ⟹ 𝑇𝐴𝐵𝐸𝐿𝐴 1 ⟹ 𝜔 = 2,55 
 
 
𝜎 =
𝑀
𝑊
+
𝑁
𝐴
 𝜔 =
45.000
96,3
 + 
2.521
23,7
× 2,55 = 738 ≤ 1200 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚 
 
PERFIL SUPERDIMENSIONADO, PODEMOS DIMINUIR. 
 
 
REVENDO: 
 
 
PERFIL 110 X 110 X 5,0 X 15,8 kg/m 
 
RAIO DE GIRAÇÃO: i = 4,28 cm 
ÁREA: A = 20,1 cm2 
MÓDULO DE RESISTÊNCIA ELÁSTICO: WF = 66,9 cm3 
 
𝜆 = 
 ℓ
𝑖
=
632,4
4,28
= 147,7 ⟹ 148 ⟹ 𝑇𝐴𝐵𝐸𝐿𝐴 1 ⟹ 𝜔 = 3,7 
 
 
𝜎 =
𝑀
𝑊
+
𝑁
𝐴
 𝜔 =
45.000
66,9
 + 
2.521
20,1
× 3,7 = 1.136 ≤ 1200 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚 
 
 
ACEITÁVEL, PORTANTO CONFIRMADO PERFIL: 110 X 110 X 5,0 X 15,8 kg/m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO PROPOSTO: 
 
1- PARA A VIGA CONTÍNUA ABAIXO, DIMENSIONE UM PERFIL MAIS ECONÔMICO 
DA TABELA 10 QUE POSSA SER USADO PARA SUPORTAR ESTAVELMENTE O 
CARREGAMENTO, CONSIDERAR: MATERIAL AÇO ESTRUTURAL ASTM - A36 
COM TENSÃO ADMISSÍVEL DE σadm.=1.500 kgf/cm2: 
 
 
 
 2.000 kgf 
 
 
 
 
 
 3 m 2 m 5 m 
 
 5 m 
 
 
 
RESPOSTA: PERFIL W 200 x 15. 
 
 
2 – PARA O PÓRTICO HIPERESTÁTICO ABAIXO DIMENSIONE UM PERFIL 
ESTRUTURAL DA TABELA 8, USE AÇO ESTRUTURAL ASTM - A36 COM TENSÃO 
ADMISSÍVEL DE σadm.=1.500 kgf/cm2: 
 
 
 
 4.000 kgf 
 2 m 2 m 
 
 
 
 
 
 
 4 m 
 
 
 
 
 
 
 4 m