numeros NQDZ

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63. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(2x)}{x} = 2 \). 
 
64. **Qual é a integral \( \int e^{-x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{-x^2} + C \) 
 b) \( \sqrt{\pi} \) 
 c) Não tem solução em termos de funções elementares. 
 d) \( e^{-x^2} + C \) 
 **Resposta:** c) Não tem solução em termos de funções elementares. 
 **Explicação:** A integral \( e^{-x^2} \) não pode ser expressa em termos de funções 
elementares, mas está relacionada à função erro. 
 
65. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \)?** 
 a) \( \cot(x) \) 
 b) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) 
 c) \( \frac{1}{\sin(x)} \) 
 d) \( -\cot(x) \) 
 **Resposta:** a) \( \cot(x) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) 
\). 
 
66. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) \( \frac{5}{3} \) 
 d) \( \frac{7}{3} \) 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A integral se torna \( \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \left( 
\frac{1}{3} + 1 + 1 \right) = 2 \). 
 
67. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \). 
 
68. **Qual é a integral \( \int \cos^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 b) \( \ln|\sin(x)| + C \) 
 c) \( \frac{1}{2}\sin^2(x) + C \) 
 d) \( \sin(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \), então a 
integral se torna \( \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx \). 
 
69. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^4 + 2x^3 + x^2) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{7}{15} \) 
 d) \( \frac{8}{15} \) 
 **Resposta:** d) \( \frac{8}{15} \) 
 **Explicação:** A integral se torna \( \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^4}{4} + \frac{x^3}{3} 
\right]_0^1 = \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{8}{15} \). 
 
70. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 5x \)?** 
 a) \( 3x^2 + 6x + 5 \) 
 b) \( 3x^2 + 3 \) 
 c) \( 3x^2 + 5 \) 
 d) \( 3x^2 + 6x + 5 \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 + 6x + 5 \) 
 **Explicação:** A derivada de \( f(x) \) é dada por \( f'(x) = (x^3)' + (3x^2)' + (5x)' = 3x^2 + 
6x + 5 \). 
 
71. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: 
\( \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2 \). 
 
72. **Qual é a integral \( \int \sec^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \tan(x) + C \) 
 b) \( \sec(x) + C \) 
 c) \( \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \) 
 d) \( -\tan(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sec^2(x) \) é conhecida e dada por \( \tan(x) + C \). 
 
73. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (6x^5 - 5x^4 + 4) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) \( \frac{5}{4} \) 
 c) \( \frac{9}{4} \) 
 d) \( \frac{7}{4} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{9}{4} \)