Algoritmo da matematica bs

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a) 0 
 b) 5 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 5 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador. 
A derivada de \(\sin(5x)\) é \(5\cos(5x)\) e a de \(x\) é \(1\). Portanto, \(\lim_{x \to 0} 
\frac{5\cos(5x)}{1} = 5\). 
 
3. **Questão 3:** Encontre a derivada de \(f(x) = e^{2x} \cdot \cos(x)\). 
 a) \(2e^{2x}\cos(x) - e^{2x}\sin(x)\) 
 b) \(e^{2x}(-\sin(x) + 2\cos(x))\) 
 c) \(e^{2x}(2\cos(x) - \sin(x))\) 
 d) \(e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x))\) 
 **Resposta:** a) \(2e^{2x}\cos(x) - e^{2x}\sin(x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = e^{2x}\) e \(v = 
\cos(x)\). A derivada de \(u\) é \(2e^{2x}\) e de \(v\) é \(-\sin(x)\). 
 
4. **Questão 4:** Calcule a integral definida \(\int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{5}{12}\) 
 **Resposta:** d) \(\frac{5}{12}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\left[ x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 = \left(1 
- \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\right) = \frac{6}{6} - \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\). 
 
5. **Questão 5:** Qual é a equação da reta tangente à curva \(y = x^3 - 3x + 1\) no ponto 
\(x = 1\)? 
 a) \(y = 1\) 
 b) \(y = 2x - 1\) 
 c) \(y = 2x - 1\) 
 d) \(y = 3x - 2\) 
 **Resposta:** b) \(y = -2x + 4\) 
 **Explicação:** Primeiro, encontramos \(f'(x) = 3x^2 - 3\). Em \(x = 1\), \(f'(1) = 0\). O 
ponto na curva é \(f(1) = -1\). Assim, a equação da reta tangente é \(y + 1 = 0(x - 1)\) ou \(y = 
-1\). 
 
6. **Questão 6:** Calcule o determinante da matriz \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{bmatrix}\). 
 a) -2 
 b) 2 
 c) -1 
 d) 1 
 **Resposta:** a) -2 
 **Explicação:** O determinante é dado por \(ad - bc\), onde \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ 
c & d \end{bmatrix}\). Assim, \(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2\). 
 
7. **Questão 7:** Qual é o valor de \(\int e^{3x} \, dx\)? 
 a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\) 
 b) \(e^{3x} + C\) 
 c) \(\frac{1}{2} e^{3x} + C\) 
 d) \(3e^{3x} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(e^{kx}\) é \(\frac{1}{k} e^{kx} + C\). Aqui, \(k = 3\), portanto, 
a integral é \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\). 
 
8. **Questão 8:** Determine o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2}{3x^3 + 4}\). 
 a) \(\frac{5}{3}\) 
 b) 0 
 c) \(\infty\) 
 d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{5}{3}\) 
 **Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador por \(x^3\): \(\frac{5 + 
\frac{2}{x}}{3 + \frac{4}{x^3}}\). Quando \(x\) tende ao infinito, \(\frac{2}{x} \to 0\) e 
\(\frac{4}{x^3} \to 0\), então o limite é \(\frac{5}{3}\). 
 
9. **Questão 9:** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{1}{2x}\) 
 d) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot 
u'\). Aqui, \(u = x^2 + 1\) e \(u' = 2x\), então temos \(\frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
10. **Questão 10:** Qual é a integral de \(\int \tan(x) \, dx\)? 
 a) \(\ln|\sec(x)| + C\) 
 b) \(-\ln|\cos(x)| + C\) 
 c) \(\ln|\sin(x)| + C\) 
 d) \(-\ln|\tan(x)| + C\) 
 **Resposta:** a) \(\ln|\sec(x)| + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\tan(x)\) pode ser resolvida pela substituição \(u = 
\cos(x)\), resultando em \(-\ln|\cos(x)| + C\), que é equivalente a \(\ln|\sec(x)| + C\). 
 
11. **Questão 11:** Qual é a série de Taylor de \(f(x) = e^x\) em torno de \(x = 0\)? 
 a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) 
 b) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\) 
 c) \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) 
 d) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}\) 
 **Resposta:** a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \(e^x\) é dada por \(\sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{x^n}{n!}\), que converge para \(e^x\) para todos os \(x\). 
 
12. **Questão 12:** Calcule a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{8}\)