contas complexas SF

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<p>- B) \( \frac{\pi}{4} \)</p><p>- C) \( \frac{\pi}{3} \)</p><p>- D) \( \frac{\pi}{6} \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{\pi}{2} \)</p><p>**Explicação:** Usando a identidades trigonométricas, temos \( \sin^2(x) = \frac{1 -</p><p>\cos(2x)}{2} \), então a integral se torna \( \frac{1}{2} \left[x - \frac{1}{2}</p><p>\sin(2x)\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} \).</p><p>24. **Questão 24:** Calcule \( \frac{d^2}{dx^2} (x^3 - 3x^2 + 2x) \).</p><p>- A) \( 6x - 6 \)</p><p>- B) \( 6x - 3 \)</p><p>- C) \( 6 \)</p><p>- D) \( 0 \)</p><p>**Resposta:** A) \( 6x - 6 \)</p><p>**Explicação:** A primeira derivada é \( 3x^2 - 6x + 2 \) e a segunda derivada é \( 6x - 6 \).</p><p>25. **Questão 25:** O que representa a integral \( \int_a^b f(x) \, dx \)?</p><p>- A) A taxa de variação de \( f \)</p><p>- B) A área sob a curva de \( f \)</p><p>- C) O valor máximo de \( f \)</p><p>- D) A média de \( f \)</p><p>**Resposta:** B) A área sob a curva de \( f \)</p><p>**Explicação:** A integral definida de uma função representa a área sob a curva entre</p><p>os limites \( a \) e \( b \) no plano cartesiano.</p><p>26. **Questão 26:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \).</p><p>- A) 0</p><p>- B) 1</p><p>- C) \( \infty \)</p><p>- D) Não existe</p><p>**Resposta:** B) 1</p><p>**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} =</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{\sec^2(x)}{1} = 1 \).</p><p>27. **Questão 27:** Qual é a equação da reta que passa pelos pontos \( (1, 2) \) e \( (3, 4)</p><p>\)?</p><p>- A) \( y = x + 1 \)</p><p>- B) \( y = x + 1 \)</p><p>- C) \( y = 2x \)</p><p>- D) \( y = 2x - 1 \)</p><p>**Resposta:** A) \( y = x + 1 \)</p><p>**Explicação:** A inclinação \( m = \frac{4-2}{3-1} = 1 \). Usando a fórmula da reta \( y -</p><p>y_1 = m(x - x_1) \), obtemos \( y - 2 = 1(x - 1) \), que resulta em \( y = x + 1 \).</p><p>28. **Questão 28:** Calcule a derivada de \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 \).</p><p>- A) \( 4x^3 - 12x^2 + 6 \)</p><p>- B) \( 4x^3 - 12x^2 + 2 \)</p><p>- C) \( 2x^3 - 4x^2 + 6 \)</p><p>- D) \( 4x^2 - 12x + 6 \)</p><p>**Resposta:** A) \( 4x^3 - 12x^2 + 6 \)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da potência, derivamos cada termo: \( f'(x) = 4x^3 -</p><p>12x^2 + 6 \).</p><p>29. **Questão 29:** Determine o valor de \( \int_1^3 (3x^2 - 2) \, dx \).</p><p>- A) 8</p><p>- B) 10</p><p>- C) 12</p><p>- D) 14</p><p>**Resposta:** A) 8</p><p>**Explicação:** A integral é \( [x^3 - 2x] \big|_1^3 = (27 - 6) - (1 - 2) = 21 - (-1) = 22 \).</p><p>30. **Questão 30:** Qual é a função inversa de \( f(x) = 3x - 2 \)?</p><p>- A) \( f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3} \)</p><p>- B) \( f^{-1}(x) = 3x + 2 \)</p><p>- C) \( f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{3} \)</p><p>- D) \( f^{-1}(x) = x - 2 \)</p><p>**Resposta:** A) \( f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3} \)</p><p>**Explicação:** Para encontrar a função inversa, isolamos \( x \): \( y = 3x - 2 \) resulta</p><p>em \( x = \frac{y + 2}{3} \).</p><p>31. **Questão 31:** Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \).</p><p>- A) 0</p><p>- B) \( -\frac{1}{2} \)</p><p>- C) 1</p><p>- D) \( -1 \)</p><p>**Resposta:** B) \( -\frac{1}{2} \)</p><p>**Explicação:** Usando a série de Taylor ou a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{-\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2} = -\frac{1}{2} \).</p><p>32. **Questão 32:** Encontre o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - x}{3x^3 + 1} \).</p><p>- A) 0</p><p>- B) \( \frac{2}{3} \)</p><p>- C) \( \infty \)</p><p>- D) 1</p><p>**Resposta:** B) \( \frac{2}{3} \)</p><p>**Explicação:** Dividindo numerador e denominador por \( x^3 \), obtemos \( \lim_{x \to</p><p>\infty} \frac{2 - \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{1}{x^3}} = \frac{2}{3} \).</p><p>33. **Questão 33:** Qual é a forma da solução geral da equação diferencial \( y' + y = 0 \)?</p><p>- A) \( y = Ce^{-x} \)</p><p>- B) \( y = Ce^{x} \)</p><p>- C) \( y = Cx \)</p><p>- D) \( y = C \)</p><p>**Resposta:** A) \( y = Ce^{-x} \)</p><p>**Explicação:** A equação é separável e pode ser resolvida, levando à solução</p><p>exponencial.</p><p>34. **Questão 34:** Encontre a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \).</p><p>- A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)</p><p>- B) \( e^{x^2} + C \)</p><p>- C) \( 2e^{x^2} + C \)</p><p>- D) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)</p><p>**Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( du = 2x \, dx \), portanto \(</p><p>\int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \).</p><p>35. **Questão 35:** Qual é a equação da tangente à curva \( y = x^3 \) no ponto \( (1, 1) \)?</p><p>- A) \( y = 3x - 2 \)</p><p>- B) \( y = 3x - 3 \)</p><p>- C) \( y = x + 1 \)</p><p>- D) \( y = 2x + 1 \)</p><p>**Resposta:** A) \( y = 3x - 2 \)</p><p>**Explicação:** A derivada é \( y' = 3x^2 \). No ponto \( x = 1 \), \( y' = 3 \). A equação da</p><p>reta tangente é \( y - 1 = 3(x - 1) \), simplificando para \( y = 3x - 2 \).</p><p>36. **Questão 36:** Calcule a integral \( \int (2x^3 - 4x^2 + 3) \, dx \).</p><p>- A) \( \frac{1}{2} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + 3x + C \)</p><p>- B) \( \frac{1}{2} x^4 - \frac{4}{3} x^2 + 3x + C \)</p><p>- C) \( \frac{1}{4} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + 3x + C \)</p><p>- D) \( \frac{1}{2} x^4 - 2x^3 + 3x + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + 3x + C \)</p><p>**Explicação:** Integrando cada termo separadamente, obtemos a integral como \(</p><p>\frac{1}{4} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + 3x + C \).</p><p>37. **Questão 37:** Qual é a função primitiva de \( f(x) = 6x^5 - 3x^2 + 2 \)?</p><p>- A) \( x^6 - x^3 + 2x + C \)</p>