para o desafio 1off

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**Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_1^3 = \left( \frac{27}{3} + 6 
\right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right) = 9 + 6 - \left( \frac{1}{3} + 2 \right) = 12 \). 
 
67. **Problema 67:** Calcule a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^3 - x} \). 
 a) \( \frac{3x^2 - 1}{2\sqrt{x^3 - x}} \) 
 b) \( \frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 - x}} \) 
 c) \( \frac{3x^2 - 1}{\sqrt{x^3 - x}} \) 
 d) \( \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 - x}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2 - 1}{2\sqrt{x^3 - x}} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 - x}} \cdot (3x^2 - 
1) \). 
 
68. **Problema 68:** Calcule a integral \( \int (5x^4 - 3x^2 + 1) \, dx \). 
 a) \( x^5 - x^3 + x + C \) 
 b) \( \frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + x + C \) 
 c) \( x^5 - x^3 + C \) 
 d) \( x^5 - \frac{3}{3}x^3 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^5 - x^3 + x + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int (5x^4 - 3x^2 + 1) \, dx = x^5 - x^3 + x + C \). 
 
69. **Problema 69:** Determine o limite \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 4 \) 
 d) \( 8 \) 
 **Resposta:** b) \( 4 \) 
 **Explicação:** Fatorando, obtemos \( \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \). Portanto, \( 
\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \). 
 
70. **Problema 70:** Calcule a integral definida \( \int_0^1 (6x^2 + 4x) \, dx \). 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 5 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta:** a) \( 3 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ 2x^3 + 2x^2 \right]_0^1 = (2 + 2) - 0 = 4 \). 
 
71. **Problema 71:** Encontre a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \). 
 a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 b) \( 2x \ln(x) - x \) 
 c) \( 2x \ln(x) + 2 \) 
 d) \( x^2 \ln(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, \( f'(x) = 2x \ln(x) + x \). 
 
72. **Problema 72:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( 0 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{x^2}{\tan(x)} = 0 \). 
 
73. **Problema 73:** Determine a integral indefinida \( \int (4x^3 - 2x) \, dx \). 
 a) \( x^4 - x^2 + C \) 
 b) \( 4x^4 - x^2 + C \) 
 c) \( 4x^4 - 2x^2 + C \) 
 d) \( 4x^4 - x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^4 - x^2 + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int (4x^3 - 2x) \, dx = x^4 - x^2 + C \). 
 
74. **Problema 74:** Calcule a derivada de \( g(x) = \sin(x^2) \). 
 a) \( 2x \cos(x^2) \) 
 b) \( 2\sin(x^2) \) 
 c) \( \cos(x^2) \) 
 d) \( 2\sin(x^2) \) 
 **Resposta:** a) \( 2x \cos(x^2) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \( g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2) \). 
 
75. **Problema 75:** Determine o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta:** d) \( 4 \) 
 **Explicação:** Fatorando, obtemos \( \frac{(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1} = x^3 + x^2 + x 
+ 1 \). Portanto, \( \lim_{x \to 1} (x^3 + x^2 + x + 1) = 4 \). 
 
76. **Problema 76:** Calcule a integral definida \( \int_0^1 (5x^2 + 3) \, dx \). 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 4 \) 
 c) \( 5 \) 
 d) \( 6 \) 
 **Resposta:** d) \( 6 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{5}{3}x^3 + 3x \right]_0^1 = \left( \frac{5}{3} + 3 
\right) - 0 = \frac{5}{3} + \frac{9}{3} = \frac{14}{3} \). 
 
77. **Problema 77:** Encontre a derivada de \( f(x) = x^3 e^{x} \). 
 a) \( 3x^2 e^{x} + x^3 e^{x} \) 
 b) \( 3x^2 e^{x} + x^3 e^{x} \) 
 c) \( 3x^2 e^{x} + 3x^3 e^{x} \) 
 d) \( 3x^2 e^{x} + x^3 e^{x} \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 e^{x} + x^3 e^{x} \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, \( f'(x) = 3x^2 e^{x} + x^3 e^{x} \).