Operadores Lineares e Matrizes

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Álgebra Linear II – 2024/1
Gabarito
Questão 1 (1,5 ponto): Seja L : R3 −→ R3 um operador linear tal que o plano Π de equação
3x− 5y+ 8z = 0 é o autoespaço associado ao autovalor 7. Sabendo que o autoespaço associado
ao autovalor −4 é ortogonal ao plano Π, determine L
(
(2, 6, 3) + (27,−45, 72)
)
.
Solução: Como o vetor v1 = (2, 6, 3) ∈ Π, temos que v1 = (2, 6, 3) pertence ao autoespaço
associado ao autovalor 7 e como o vetor v2 = (27,−45, 72) = (9) (3,−5, 8) é ortogonal ao plano
Π, temos que v2 = (27,−45, 72) pertence ao autoespaço associado ao autovalor −4. Logo,
L(v1 + v2) = L(v1) + L(v2) = (7)v1 + (−4)v2 = (7)(2, 6, 3) + (−4)(27,−45, 72)
= (14, 42, 21) + (−108, 180,−288) = (−94, 222,−267).
Questão 2 (2,0 pontos): Seja T : R2 −→ R2 o operador linear tal que β = {v1 = (8, 5), v2 =
(10, 6)} é uma base do R2 formada por autovetores de T associados aos autovalores λ1 = 12 e
λ2 = −14. Dê exemplos de uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T e de sua correspondente
matriz diagonal D. Determine a matriz de T na base canônica do R2.
Solução:
Uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T é a matriz de mudança de base, da base β para a
base canônica, dada por P =
[
v1 v2
]
=
[
8 10
5 6
]
e sua correspondente matriz diagonal é
D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
12 0
0 −14
]
,
A matriz que representa T na base canônica do R2 é dada por:
A = PDP−1, onde P =
[
8 10
5 6
]
, D =
[
12 0
0 −14
]
e P−1 = (−1
2
)
[
6 −10
−5 8
]
=[
−3 5
5
2
−4
]
.
Logo,
A = PDP−1 =
[
8 10
5 6
] [
12 0
0 −14
] [
−3 5
5
2
−4
]
=
[
8 10
5 6
] [
−36 60
−35 56
]
=
[
−638 1040
−390 636
]
.
Questão 3 (1,0 ponto): Consideremos o operador linear R : R2 −→ R2 dado pela rotação
no sentido anti-horário de 5π
6
seguida de uma dilatação de (−4
√
3). Determine a matriz que
representa R na base canônica do R2 e calcule R (4, 5).
Solução: Sejam R 5π
6
e D(−4
√
3), respectivamente, a rotação de 5π
6
no sentido anti-horário e
a dilatação de (−4
√
3). Considere agora R dada pela rotação de 5π
6
seguida da dilatação de
−4
√
3. Então,
R = D(−4
√
3) R 5π
6
= (−4
√
3)
 1 0
0 1
 cos 5π
6
− sen 5π
6
sen 5π
6
cos 5π
6
 =
 −4
√
3 0
0 −4
√
3
 −
√
3
2
−1
2
1
2
−
√
3
2
 .
1
Portanto
R =
[
6 2
√
3
−2
√
3 6
]
.
Segue que
[R]
[
4
5
]
=
[
6 2
√
3
−2
√
3 6
] [
4
5
]
=
[
24 + 10
√
3
−8
√
3 + 30
]
,
logo R (4, 5) = (24 + 10
√
3,−8
√
3 + 30).
Questão 4 (2,0 pontos): Consideremos o operador linear T : R3 −→ R3 cujo polinômio
caracteŕıstico é p(λ) = (λ+ 10)2(λ− 51) com autoespaços
E(λ1 = −10) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 7y − 9z = 0 e 13x+ 92y − 100z = 0} e
E(λ2 = 51) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 19y + 6z = 0 e − 3x+ 58y − 30z = 0}.
Determine as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores de T e bases para seus
autoespaços. T é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Solução:
Pelo polinômio caracteŕıstico de T , a multiplicidade algébrica de λ1 = −10 é 2 e a multiplicidade
algébrica de λ2 = 51 é 1. Para determinar as multiplicidades geométricas dos autovalores,
devemos determinar as dimensões dos seus autoespaços.
– Base de E(λ1 = −10)
Devemos resolver o sistema linear
{
x+ 7y − 9z = 0
13x+ 92y − 100z = 0.
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:[
1 7 −9
13 92 −100
]
L2←L2−13L1∼
[
1 7 −9
0 1 17
]
L1←L1−7L2∼
[
1 0 −128
0 1 17
]
.
Logo, x− 128z = 0 e y + 17z = 0.
E(λ1 = −10) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 7y − 9z = 0 e 13x+ 92y − 100z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 128z = 0 e y + 17z = 0}
= {(128z,−17z, z) ; z ∈ R}
= {z (128,−17, 1) ; z ∈ R} .
Logo {(128,−17, 1)} é uma base de E(λ1 = −10) e a multiplicidade geométrica de λ1 = −10 é
1
– Base de E(λ2 = 51):
Devemos resolver o sistema linear
{
x− 19y + 6z = 0
−3x+ 58y − 30z = 0.
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:[
1 −19 6
−3 58 −30
]
L2←L2+3L1∼
[
1 −19 6
0 1 −12
]
L1←L1+19L2∼
[
1 0 −222
0 1 −12
]
.
Logo, x− 222z = 0 e y − 12z = 0.
2
E(λ2 = 51) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 19y + 6z = 0 e − 3x+ 58y − 30z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 222z = 0 e y − 12z = 0}
= {(222z, 12z, z) ; z ∈ R}
= {z (222, 12, 1) ; z ∈ R} .
Logo {(222, 12, 1)} é uma base de E(λ2 = 51) e a multiplicidade geométrica de λ2 = 51 é 1
b) T não é diagonalizável, pois
não é posśıvel construir uma base do R3 formada por autovetores de T
ou
a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores de T é 1 + 1 = 2