pdst Prova

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b) 1 
 c) \( \frac{3}{5} \) 
 d) \( \frac{5}{3} \) 
 **Resposta: c) \( \frac{3}{5} \)** 
 **Explicação:** Ao dividir todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \), obtemos \( \frac{3 
+ \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{5 - \frac{4}{x^2}} \). Quando \( x \to \infty \), os termos com \( x \) 
no denominador tendem a 0, resultando em \( \frac{3}{5} \). 
 
7. Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{2x^2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
8. Calcule a integral \( \int e^{3x} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 b) \( 3e^{3x} + C \) 
 c) \( e^{3x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{3} e^{3x} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \)** 
 **Explicação:** A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Assim, \( \int e^{3x} \, 
dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C \). 
 
9. Determine o valor de \( \int_1^2 x^3 \, dx \). 
 a) \( \frac{15}{4} \) 
 b) \( \frac{9}{4} \) 
 c) \( \frac{7}{4} \) 
 d) \( \frac{5}{4} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{15}{4} \)** 
 **Explicação:** A primitiva de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). Portanto, \( \int_1^2 x^3 \, dx = 
\left[ \frac{x^4}{4} \right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} \). 
 
10. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 3** 
 **Explicação:** Usando a propriedade \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \), temos \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 \). 
 
11. Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \sqrt{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 
(2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
12. Calcule a integral \( \int (2x^2 - 3x + 4) \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4x + C \) 
 b) \( \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x + 4 + C \) 
 c) \( \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4 + C \) 
 d) \( \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2}x + 4 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4x + C \)** 
 **Explicação:** Aplicando a regra de potência, temos \( \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 \), 
\( \int -3x \, dx = -\frac{3}{2}x^2 \), e \( \int 4 \, dx = 4x \). 
 
13. Determine o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{2}{3} \) 
 d) \( \frac{4}{3} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{5}{3} \)** 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{x^3}{3} + x^2 \). Avaliando de 0 a 1, obtemos \( \left( 
\frac{1^3}{3} + 1^2 \right) - (0) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \). 
 
14. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** O limite apresenta uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatorando, 
temos \( \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \), que simplifica para \( x + 1 \). Assim, \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 
2 \). 
 
15. Encontre a derivada de \( f(x) = \tan(x^2) \). 
 a) \( 2x \sec^2(x^2) \) 
 b) \( \sec^2(x^2) \) 
 c) \( 2x \tan(x^2) \) 
 d) \( \tan(x^2) \) 
 **Resposta: a) \( 2x \sec^2(x^2) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \sec^2(x^2) \cdot (2x) = 2x 
\sec^2(x^2) \). 
 
16. Calcule a integral \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( \frac{5}{3} \) 
 d) \( \frac{7}{3} \) 
 **Resposta: d) \( \frac{7}{3} \)**