sqho Prova

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**Explicação:** A primitiva é \( x^3 + 2x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( (1 + 2) - (0) = 3 \). 
 
17. Determine o valor de \( \int e^{2x} \cos(3x) \, dx \). 
 a) \( \frac{e^{2x}}{13}(\cos(3x) + \frac{2}{3}\sin(3x)) + C \) 
 b) \( \frac{e^{2x}}{5}(\cos(3x) + \frac{2}{3}\sin(3x)) + C \) 
 c) \( \frac{e^{2x}}{5}(\sin(3x) + \frac{3}{2}\cos(3x)) + C \) 
 d) \( \frac{e^{2x}}{13}(\sin(3x) + \frac{3}{2}\cos(3x)) + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{e^{2x}}{13}(\cos(3x) + \frac{2}{3}\sin(3x)) + C \)** 
 **Explicação:** Usamos a integração por partes ou a fórmula de integração de funções 
do tipo \( e^{ax} \cos(bx) \). 
 
18. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \). 
 a) 0 
 b) \( \frac{1}{6} \) 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) \( \frac{1}{6} \)** 
 **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \sin(x) \), que é \( x - \frac{x^3}{6} + 
O(x^5) \). Assim, \( x - \sin(x) \approx \frac{x^3}{6} \), resultando em \( 
\frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6} \). 
 
19. Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 2x + 1) \). 
 a) \( \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \) 
 c) \( \frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 1} \) 
 d) \( \frac{2x + 2}{2x + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \cdot (2x + 2) = 
\frac{2(x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2}{x + 1} \). 
 
20. Calcule a integral \( \int (5x^4 - 4x^3 + 2) \, dx \). 
 a) \( x^5 - x^4 + 2x + C \) 
 b) \( x^5 - x^4 + 2x^2 + C \) 
 c) \( \frac{5}{5}x^5 - \frac{4}{4}x^4 + 2x + C \) 
 d) \( \frac{5}{5}x^5 - \frac{4}{4}x^4 + 2x^2 + C \) 
 **Resposta: a) \( x^5 - x^4 + 2x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é calculada usando a regra de potência: \( \int 5x^4 \, dx = x^5 
\), \( \int -4x^3 \, dx = -x^4 \), e \( \int 2 \, dx = 2x \). 
 
21. Determine o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 3x) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( \frac{5}{3} \) 
 d) \( 1.5 \) 
 **Resposta: d) \( 1.5 \)** 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \). Avaliando de 0 a 1, 
obtemos \( \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} \right) - (0) = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} = 1.5 \). 
 
22. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( e \) 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** Usamos a definição da derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \), que é 1. 
 
23. Encontre a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \). 
 a) \( 2x \cos(x^2) \) 
 b) \( \cos(x^2) \) 
 c) \( 2 \sin(x^2) \) 
 d) \( \sin(x^2) \) 
 **Resposta: a) \( 2x \cos(x^2) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \cos(x^2) \cdot (2x) = 2x \cos(x^2) \). 
 
24. Calcule a integral \( \int_0^1 (4x^3 - 6x^2 + 2) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \( \frac{5}{4} \) 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A primitiva é \( x^4 - 2x^3 + 2x \). Avaliando de 0 a 1, obtemos \( (1 - 2 + 2) 
- (0) = 1 \). 
 
25. Determine o valor de \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{x} + C \) 
 c) \( \sin^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \ln(x^2 + 1) + C \) 
 **Resposta: a) \( \tan^{-1}(x) + C \)** 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é a função arco tangente: \( \int 
\frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \). 
 
26. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{4x^2 - x + 2} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{2}{4} \) 
 **Resposta: c) \( \frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \), obtemos \( 
\frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{4 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} \). Quando \( x \to \infty \), 
os termos com \( x \) no denominador tendem a 0, resultando em \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} 
\). 
 
27. Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \). 
 a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( -\frac{1}{x} \)