l2mq geometria

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x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 \quad \Rightarrow x = -1, 2 
 \] 
 Então, calculamos: 
 \[ 
 \int_0^2 (x + 2 - x^2) \,dx 
 \] 
 
65. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usamos L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1 
 \] 
 
66. **Qual é a integral de \( \frac{1}{x} \)?** 
 a) \( e^x + C \) 
 b) \( x + C \) 
 c) \( \ln|x| + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}x + C \) 
 **Resposta:** c) \( \ln|x| + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) resulta em: 
 \[ 
 \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C 
 \] 
 
67. **Qual é a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{1}{x} \) 
 d) \( \frac{x - 2}{x^3 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x 
 \] 
 
68. **Qual é a integral de \( e^{3x} \)?** 
 a) \( e^{3x} + C \) 
 b) \( \frac{1}{3}e^{3x} + C \) 
 c) \( 3e^{3x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}e^{3x} + C \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{3}e^{3x} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a regra: 
 \[ 
 \int e^{kx} \,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C 
 \] 
 
69. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usamos fatoração: 
 \[ 
 \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1}(x + 1) = 2 
 \] 
 
70. **Qual é a integral de \( x^n \) onde \( n = -1 \)?** 
 a) \( \ln|x| + C \) 
 b) \( -x + C \) 
 c) \( x^n + C \) 
 d) \( x + C \) 
 **Resposta:** a) \( \ln|x| + C \) 
 **Explicação:** Esta é uma integral especial: 
 \[ 
 \int x^{-1} \, dx = \ln|x| + C 
 \] 
 
71. **Qual é a área sob a curva \( y = 2x \) entre \( x = 1 \) e \( x = 3 \)?** 
 a) 4 
 b) 8 
 c) 6 
 d) 12 
 **Resposta:** b) 8 
 **Explicação:** Integrando: 
 \[ 
 \int_1^3 2x \,dx = \left[ x^2 \right]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8 
 \] 
 
72. **Qual é o resultado de \( \int e^{2x} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2}e^{2x} + C \) 
 b) \( e^{2x} + C \) 
 c) \( 2e^{2x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{3}e^{2x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2}e^{2x} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a regra: 
 \[ 
 \int e^{kx} \,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C