ny2w geometria

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d) \(\ln(\ln(x))^2 + C\) 
 **Resposta: a) \(\ln(\ln(x)) + C\)** 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = \ln(x)\), resulta em: 
 \[ 
 du = \frac{1}{x} dx \Rightarrow \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C \Rightarrow \ln(\ln(x)) + C. 
 \] 
 
20. **Resolva a integral:** 
 \[ 
 \int e^{2x} \cos(3x) \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{13}(e^{2x}(\sin(3x) + 2\cos(3x))) + C\) 
 b) \(\frac{1}{13}(e^{2x}(2\sin(3x) + \cos(3x))) + C\) 
 c) \(\frac{1}{15}(e^{2x}(3\cos(3x) - 2\sin(3x))) + C\) 
 d) \(\frac{1}{15}(e^{2x}(\sin(3x) + 3\cos(3x))) + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{13}(e^{2x}(\sin(3x) + 2\cos(3x))) + C\)** 
 **Explicação:** Utilizando integração por partes duas vezes: 
 \[ 
 I = \int e^{2x} \cos(3x) \, dx 
 \] 
 podemos chegar à resposta correta. 
 
21. **Encontre a derivada:** 
 \[ 
 f(x) = \ln(3x^2 + 1) 
 \] 
 a) \(\frac{6x}{3x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{2x}{3x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{1}{x}\) 
 d) \(\frac{3x^2}{x}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{6x}{3x^2 + 1}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, obtemos: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{3x^2 + 1} \cdot (6x) = \frac{6x}{3x^2 + 1}. 
 \] 
 
22. **Calcule a integral definida:** 
 \[ 
 \int_0^1 (3 - 2x^2) \, dx 
 \] 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) 1 
 d) \(\frac{5}{3}\) 
 **Resposta: d) \(\frac{5}{3}\)** 
 **Explicação:** Integrando a função: 
 \[ 
 = \left[3x - \frac{2}{3}x^3\right]_0^1 = 3 - \frac{2}{3} = \frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}. 
 \] 
 
23. **O que é:** 
 \[ 
 \frac{d}{dx} \left( x^x \right) 
 \] 
 a) \(x^x(\ln(x) + 1)\) 
 b) \(x^x\) 
 c) \(\ln(x) + 1\) 
 d) \(x^x(\ln(x))\) 
 **Resposta: a) \(x^x(\ln(x) + 1)\)** 
 **Explicação:** Usando a regra do logaritmo, obtemos: 
 \[ 
 \ln(y) = x \ln(x) \Rightarrow \frac{dy}{dx} = y(\ln(x) + 1) \text{ onde } y = x^x. 
 \] 
 
24. **Determine o valor de:** 
 \[ 
 \int \cos^2(x) \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C\) 
 b) \(\sin^2(x) + C\) 
 c) \(-\cos^2(x) + C\) 
 d) \(x + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C\)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), a integral se 
converte em: 
 \[ 
 \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C. 
 \] 
 
25. **Calcule o limite:** 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} 
 \] 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** Utilizando a série de Taylor ou a regra de L'Hôpital, obtemos este limite 
como 1. 
 
26. **Qual é o resultado de:** 
 \[ 
 \int e^{-x^2} \, dx