COLECTANEA_DE_EXERCICIOS_RESOLVIDOS_DE_E_removed-22

Prévia do material em texto

Colectânea de Exercícios Resolvidos de Estatística 
45 Filipe Mahaluça 
 
Temos dois casos (antes e depois de treinamento) 
Pelo teorema de probabilidade total pode se determinar a probabilidade dos balancetes com erros 
antes de treinamento, assim teremos: 𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐼) ∗ 𝑃(𝐸/𝐼) + 𝑃(𝑃1) ∗ 𝑃(𝐸/𝑃1) + 𝑃(𝑃2) ∗ 𝑃(𝐸/𝑃2) 𝑃(𝐸) = 0.50 ∗ 0.05 + 0.25 ∗ 0.06 + 0.25 ∗ 0.08 𝑃(𝐸) = 0.06 
Após o treinamento 
a proporção dos erros caiu pela metade, isto é passou a ser 
12 ∗ 𝑃(𝐸) = 0.062 = 0.03, e 𝑃(𝐸/𝐼) = 1/2 ∗ {𝑃(𝐸/𝑃1) = 𝑃(𝐸/𝑃2)} ; 𝑃(𝐸/𝑃1) = 𝑃(𝐸/𝑃2) 
Então: 12 ∗ 𝑃(𝐸) = 0.50 ∗ 𝑃(𝐸/𝐼) + 0.25 ∗ 2 ∗ 𝑃(𝐸/𝐼) + 0.25 ∗ 2 ∗ 𝑃(𝐸/𝐼) 0.03 = 1.5 ∗ 𝑃(𝐸/𝐼) 𝐿𝑜𝑔𝑜: 𝑃(𝐸/𝐼) = 0.02; 𝑃(𝐸/𝑃1) = 0.04; 𝑃(𝐸/𝑃2) = 0.04 
Resposta: Após o treinamento, as novas proporções de balancetes com erro de cada funcionário 
passou a ser de 2%, 4% e 4% respectivamente. 
 
34. Um empresário é conhecido por ser muito cauteloso com relação a suas informações. Ele tem um 
registro minucioso da composição de cada área de sua empresa e sabe que: 
Área/Departamento Executivo Sénior Executivo Pleno Executivo júnior 
Financeiro 2 3 4 
Advocacia 3 2 2 
Contabilidade 4 1 1 
 
Sabendo que ele realiza uma visita surpresa dum dos departamentos, escolhendo aleatoriamente 
um deles e consegue identificar de modo imediato um executivo sénior. Qual é a probabilidade 
de ser do departamento de contabilidade? Assuma que os três departamentos são igualmente 
prováveis de serem visitados (as portas das salas são idênticas e equiprováveis). 
Resolução 
Seja os seguintes eventos: 
C=departamento de contabilidade; 
A=departamento de advocacia 
F=departamento financeiro 
P=Executivo pleno 
J=Executivo Júnior 
Colectânea de Exercícios Resolvidos de Estatística 
46 Filipe Mahaluça 
 
S=Executivo sénior 
Pede-se P(C/J): 
Recorrendo a teorema de Bayes temos: 𝑃(𝐶/𝐽) = 𝑃(𝐶 ∩ 𝐽)𝑃(𝐽) = 𝑃(𝐶 ∩ 𝐽)𝑃(𝐶 ∩ 𝐽) + 𝑃(𝐹 ∩ 𝐽) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐽) 
Pelos dados temos: 𝑃(𝐹) = 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐶) = 13 𝑃(𝐽/𝐶) = 16 ; 𝑃(𝐽/𝐹) = 49 ; 𝑃(𝐽/𝐴) = 27 
𝑃(𝐶/𝐽) = 13 ∗ 1613 ∗ 16 + 13 ∗ 49 + 13 ∗ 27 = 0.186 
Resposta: A probabilidade de ser do departamento de contabilidade, dado que na sua visita identificou 
um executivo júnior é de 18.6%. 
 
35. Um certo tipo de motor eléctrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos 
mancais, queima dos rolamentos ou desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas 
vezes mais provável do que a queima, esta sendo quatro vezes mais provável do que o desgaste 
das escovas. Qual é a probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstâncias? 
Resolução 
Sejam definidos os seguintes eventos: 𝑀 = 𝐸𝑚𝑝𝑒𝑟𝑟𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑐𝑎𝑖𝑠 𝑅 = 𝑄𝑢𝑒𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐸 = 𝐷𝑒𝑠𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑣𝑎𝑠 
Pelos dados temos: 𝑃(𝑀) = 2 ∗ 𝑃(𝑅); 𝑃(𝑅) = 4 ∗ 𝑃(𝐸) 
E sabe-se que pela definição: 𝑃(𝑀) + 𝑃(𝑅) + 𝑃(𝐸) = 1 2 ∗ 𝑃(𝑅) + 𝑃(𝑅) + 14 ∗ 𝑃(𝑅) = 1 
𝑃(𝑅) = 413 ; 𝑃(𝑀) = 2 ∗ 413 = 813 ; 𝑃(𝐸) = 4134 = 113 
Resposta: A probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstâncias é de 
4/13, 8/13 e 1/13 respectivamente.