analise ndd

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74. **Problema 74:** Encontre o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin^3(x)} \). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta correta:** a) 1 
 **Explicação:** Utilizamos a aproximação histórica para a função seno em pequenos 
valores. 
 
75. **Problema 75:** Determine \( \int x e^{3x} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} e^{3x} (x - 1) + C \) 
 b) \( x \cdot e^x \) 
 c) \( x^2 e^{3x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 **Resposta correta:** a) \( \frac{1}{3} e^{3x} (x - 1) + C \) 
 **Explicação:** Usar integração por partes com diversos resultados. 
 
76. **Problema 76:** Determine \( \int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx \). 
 a) -1 
 b) 1 
 c) 0 
 d) 1/3 
 **Resposta correta:** a) -1 
 **Explicação:** É uma forma básica da integral, que resulta numa variação negativa. 
 
77. **Problema 77:** Determine o integral \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx \). 
 a) \( [0,1] \) 
 b) 1 
 c) 0 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta correta:** b) 1 
 **Explicação:** A soma convergente pela função resulta na forma conhecida. 
 
78. **Problema 78:** O que é \( \lim_{x \to 1} \frac{\tan(x) - \tan(1)}{x - 1} \)? 
 a) 1 
 b) \( \sec^2(1) \) 
 c) 0 
 d) Não existe 
 **Resposta correta:** b) \( \sec^2(1) \) 
 **Explicação:** Usamos a definição de derivativa no limite. 
 
79. **Problema 79:** Determinar \( \int \tan^2(x) \, dx \). 
 a) \( \sec^2(x) + C \) 
 b) \( \tan^3(x)/3 + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} \tan^2(x) + C \) 
 d) \( \tan^2(x) + C \) 
 **Resposta correta:** c) \( \frac{1}{2} \tan^2(x) + C \) 
 **Explicação:** Utilizando interações simplificadas. 
 
80. **Problema 80:** Calcule o valor de \( \int_0^1 x e^{-x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta correta:** a) \( \frac{1}{2} (1 - e^{-1}) \) 
 **Explicação:** Temos a integração completa por partes. 
 
81. **Problema 81:** O que é \( \int_0^1 x^{1/3} (1 - x)^{1/3} \, dx \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( \frac{3}{16} \) 
 c) \( \frac{2}{5} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta correta:** b) \( \frac{3}{16} \) 
 **Explicação:** Calculamos através do cálculo de Beta. 
 
82. **Problema 82:** Calcule o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2}{2x^3 + 7} \). 
 a) 1 
 b) \( \frac{5}{2} \) 
 c) \( \infty \) 
 d) 0 
 **Resposta correta:** a) 1 
 **Explicação:** Mais uma vez dividimos e simplificamos. 
 
83. **Problema 83:** Calcule \( \int \frac{dx}{1+x^2} \). 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( \sin^{-1}(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) \( -\tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta correta:** a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação:** Ao tradicional, leva à forma simples. 
 
84. **Problema 84:** Determine o volume \( V = \int_0^2 \pi (1 - x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{8}{3} \) 
 b) \( \frac{8\pi}{3} \) 
 c) \( \frac{4\pi}{3} \) 
 d) \( \frac{4\pi}{2} \) 
 **Resposta correta:** b) \( \frac{8\pi}{3} \) 
 **Explicação:** A área é a soma das formas integradas. 
 
85. **Problema 85:** O que é \( \int_0^{\pi} \sin^3(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{3\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{2\pi}{3} \) 
 c) \( \frac{8}{3} \)