Leia o trecho de texto a seguir: “[Seja o Algoritmo:] Escolhe-se h e calcula-se para j = 0 , 1 , 2 , . . . x 0 = a ; x j + 1 = x j + h y 0 = y ( a ) ;

Question

Leia o trecho de texto a seguir: “[Seja o Algoritmo:] Escolhe-se h e calcula-se para j = 0 , 1 , 2 , . . . x 0 = a ; x j + 1 = x j + h y 0 = y ( a ) ; k 1 = f ( x j , y j ) k 2 = f ( x j + 1 2 h , y j + 1 2 h k 1 ) k 3 = f ( x j + 1 2 h , y j + 1 2 h k 2 ) k 4 = f ( x j + h , y j + h k 3 ) y j + 1 = y j + h 6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) Se f ( x , y ) não depende de y então o [Algoritmo] se reduz à fórmula de Simpson." Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ALBRECHT, P. Análise numérica: um curso moderno. Rio de Janeiro: PUC-Rio, 1973. p. 209. Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace sobre os métodos de passo simples, marque a alternativa correta. Observação: Utilize a fórmula acima para obter a aproximação. A Seja y ′ = y − 2 x y ; y ( 0 ) = 1 . Se h = 0 , 8 , então para x k = 0 , 8 temos y k = 1 , 625724 . B Seja y ′ = y − 2 x y ; y ( 0 ) = 1 . Se h=0,8, então para x k = 0 temos y k = 2 C Seja y ′ = y − 2 x y ; y ( 0 ) = 1 . Se h = 0 , 8 , então para x k = 0 , 8 temos y k = 1 , 724 . D Seja y ′ = y − 2 x y ; y ( 0 ) = 1 . Se h = 0 , 8 , então para x k = 0 , 8 temos y k = 2 , 625724 . E Seja y ′ = y − 2 x y ; y ( 0 ) = 1 . Se h = 0 , 8 , então para x k = 0 , 8 temos y k = 2 , 1325666 .

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos aplicar o método de Runge-Kutta de quarta ordem, conforme descrito no trecho do texto. O problema dado é uma equação diferencial de primeira ordem:

$$ y' = y - 2xy $$
com a condição inicial $ y(0) = 1 $ e um passo $ h = 0,8 $.

Vamos calcular $ y_k $ para $ x_k = 0,8 $ usando o método de Runge-Kutta:

1. **Definindo os valores iniciais:**
   - $ x_0 = 0 $
   - $ y_0 = 1 $

2. **Calculando os $ k $:**
   - $ k_1 = f(x_0, y_0) = f(0, 1) = 1 - 2(0)(1) = 1 $
   - $ k_2 = f(x_0 + \frac{h}{2}, y_0 + \frac{h}{2}k_1) = f(0 + 0.4, 1 + 0.4 \cdot 1) = f(0.4, 1.4) = 1.4 - 2(0.4)(1.4) = 1.4 - 1.12 = 0.28 $
   - $ k_3 = f(x_0 + \frac{h}{2}, y_0 + \frac{h}{2}k_2) = f(0.4, 1 + 0.4 \cdot 0.28) = f(0.4, 1.112) = 1.112 - 2(0.4)(1.112) = 1.112 - 0.8928 = 0.2192 $
   - $ k_4 = f(x_0 + h, y_0 + hk_3) = f(0.8, 1 + 0.8 \cdot 0.2192) = f(0.8, 1.17536) = 1.17536 - 2(0.8)(1.17536) = 1.17536 - 1.180288 = -0.004928 $

3. **Calculando $ y_1 $:**
   - $ y_1 = y_0 + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) $
   - $ y_1 = 1 + \frac{0.8}{6}(1 + 2(0.28) + 2(0.2192) - 0.004928) $
   - $ y_1 = 1 + \frac{0.8}{6}(1 + 0.56 + 0.4384 - 0.004928) $
   - $ y_1 = 1 + \frac{0.8}{6}(2.993472) $
   - $ y_1 = 1 + 0.8 \cdot 0.498912 $
   - $ y_1 = 1 + 0.3991296 $
   - $ y_1 \approx 1.3991296 $

Agora, vamos analisar as alternativas:

A) $ y_k = 1,625724 $  
B) $ y_k = 2 $  
C) $ y_k = 1,724 $  
D) $ y_k = 2,625724 $  
E) $ y_k = 2,1325666 $

Nenhuma das alternativas parece corresponder ao valor que encontramos. No entanto, se considerarmos que o valor de $ y_k $ deve ser próximo de 1,4, a alternativa que mais se aproxima é a C) $ y_k = 1,724 $, mas ainda assim não é exata.

Portanto, a resposta correta, considerando a aproximação e a análise, é a C) $ y_k = 1,724 $.

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