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Transformação da Tensão 
518 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.14. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e (b) 
a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação 
do elemento em cada caso. 
 
 
Figura 9.14 
 
(a) As tensões principais: 
 
 
 
 
 √.
 
 
/
 
 
 
 
 √.
 
 
/
 
 ( ) = 90 MPa 174,928 MPa 
 ; 
 ( ) 
 
( ) ⁄
 
 
( ) ⁄
 ; 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 265 MPa 
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto: 
 √.
 
 
/
 
 √.
 
 
/
 
 ( ) = 175 MPa 
 
 
 
 
 
 
 = 90 MPa 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( )
 ; 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) = - 175 MPa 
 Transformação da Tensão 
519 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.15. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e (b) 
a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação 
do elemento em cada caso. 
 
 
Figura 9.15 
 
 
 
(a) As tensões principais: 
 
 
 
 
 √.
 
 
/
 
 
 
 
 √.
 
 
/
 
 ( ) = -15 MPa 19,21 MPa 
 ; 
 ( ) 
 
( ) ⁄
 
 
( ) ⁄
 ; 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 - 34,21 MPa 
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto: 
 √.
 
 
/
 
 √.
 
 
/
 
 ( ) = 19,21 MPa 
 
 
 
 
 
 
 = - 15 MPa 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( )
 ; 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) = - 19,21 MPa 
 Transformação da Tensão 
520 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*9.16. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e 
(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a 
orientação do elemento em cada caso. 
 
 
Figura 9.16 
 
(a) As tensões principais: 
 
 
 
 
 √.
 
 
/
 
 
 
 
 √.
 
 
/
 
 ( ) = 25 MPa 285,044 MPa 
 ; 
 ( ) 
 
( ) ⁄
 
 
( ) ⁄
 ; 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 - 260 MPa 
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto: 
 √.
 
 
/
 
 √.
 
 
/
 
 ( ) = 285 MPa 
 
 
 
 
 
 
 = 25 MPa 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( )
 ; 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) = 285 MPa 
 
 
 
 Transformação da Tensão 
521 
Resolução: Steven Róger Duarte 
9.17. Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito aos dois estados de tensão sucessivos mostrados na 
figura. Determine o estado de tensão resultante representado no elemento orientado como mostrado à 
direita. 
 
Figura 9.17 
 
Primeiro caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 , -
 
 ( ) 
 - 237,5 MPa 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 , -
 
 ( ) 
 - 312,5 MPa 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 , -
 
 ( ) = 64,95 MPa 
Segundo caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 44,43 MPa 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 - 44,43 MPa 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) = 37,28 MPa 
Logo, o estado de tensão resultante será: 
 ;