Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 17

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CAPÍTULO 2 – Questão 1 
Os exercícios abaixo são demonstrados usando a seqüência: 
(1) Verificar se a propriedade é válida para um certo valor de “n” 
(2) Supor a propriedade válida para “n”. (hipótese de recorrência) 
(3) Provar que a propriedade é válida para “n + 1” 
1 – Demonstrar por “indução matemática”: 
(a) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1) ,  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) Para n = 1 (1/6)(1 + 1)(2 + 1) = (1/6)(2)(3) = (1/6)(6) = 1 = 12. 
(2) Hipótese: 12 + 22 + 32 + ... + n2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1). 
(3) Provar 12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = [(n+1)/6](n + 2)(2n + 3) 
Demonstração: 
12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 = 
= (n/6)(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 (observe que a soma até n2 é (n/6)(n + 1)(2n 
+ 1)  
12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = (n +1)[(n/6)(2n + 1) + (n + 1)] = 
= (n + 1)(1/6)(2n2 + n + 6n + 6) = (n + 1)(1/6)(2n2 + 7n + 6) * = 
= (n + 1)(1/6).2(n + 3/2) .(n + 2) = [(n + 1)/6](n + 2)(2n + 3) c.q.d. 
* Nota:- O polinômio ax2 + bx + c, com raízes x1 e x2 pode ser decomposto em a(x 
– x1)(x – x2). 
Como as raízes de 2n2 + 7n + 6 são –2 e –3/2, temos 2n2 + 7n + 6 = 2.(n + 
3/2)(n + 2). 
 
(b) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (n2/4)(n + 1)2,  n  N. 
 
SOLUÇÃO: 
(1) Para n = 1, temos: 13 = 1 e (12/4)(1 + 1)2 = (1/4)(4) = 1. 
Portanto, a propriedade é válida para n = 1. 
(2) Hipótese 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (n2/4)(n + 1)2 
(3) Provar 13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 = [(n+1)2/4](n + 2)2. 
Demonstração: 
13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 = (n2/4)(n + 1)2 + (n + 1)3 = 
= [(n + 1)2].[(n2/4) + (n + 1)] = [(n + 1)2].(1/4)(n2 + 4n + 4) = 
= [(n + 1)2/4](n + 2)2 c.q.d. 
 
(c) 12 + 32 + 52 + ..... + (2n – 1)2 = (n/3)(4n2 – 1) ,  n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) Para n = 1, temos: 12 = 1 e (1/3)(4.12 – 1) = 1. 
O que mostra ser a propriedade verdadeira para n = 1 . 
(2) Hipótese: 
12 + 32 + 52 +...+ (2n – 1)2 = (n/3)(4n2 – 1) = (1/3) (4n3 + 12n2 + 11n + 3) 
(3) Demonstrar que 
12 + 32 + 52 + (2n – 1)2 + (2n + 1)2 = [(n + 1)/3)[4(n + 1)2 – 1] = 
= (1/3)(n + 1)[4n2 + 8n + 3] = (1/3)(4n3 + 12n2 + 11n + 3).