Ativ 4 Analise matemática

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Com relação ao Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada e a integral — que são conceitos importantíssimos na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral — estão relacionadas de forma complementar. A derivada representa a inclinação de uma reta tangente a um ponto da função, enquanto a integral representa a área abaixo de uma função. Sendo assim, temos conceitos que são globais, no sentido de o resultado apresentar uma função; ao passo que outros são locais, no sentido de apresentarem resultados pontuais. 
Sobre isso, o que podemos afirmar em relação à derivada e integral?
São estimativas globais.
A derivada é uma estimativa global, e a integral é uma estimativa local.
Resposta correta
A derivada é uma estimativa local, e a integral é uma estimativa global.
São estimativas locais.
A derivada e a integral não são estimativas globais, nem locais.
De acordo com as explicações de Corrêa (2014), o Teorema Fundamental do Cálculo nos traz que, seja 29e64ef5d51a526ec01f49d4e7909ceb5_20211112191927.png uma função contínua. No caso, se 70a1d4ffe864c6d13fb4ca5edc147b16_20211112191928.png for uma primitiva qualquer de e74677a41edb7b76a823e253378fbc2e17_20211112191928.pngem 4961353304fd0e0e6dd8628f60a3c9f75_20211112191928.png, então 7655788723908a19c6f3715fa9767692_20211112191928.png. Isto é, uma integral definida de 90a2959d9d1df07f59b5798d66c253d87_20211112191928.png a 53b8215c19cc25884f5513da6d297ef67_20211112191929.png da função 5de0db37b2fe34e1e4f37f82945dc7101_20211112191929.png, é igual à primitiva de 53b8215c19cc25884f5513da6d297ef68_20211112191929.png, menos a primitiva de 90a2959d9d1df07f59b5798d66c253d88_20211112191929.png. 
CORR& Ecirc;A, F. J. S. de A. Introdução à Análise Real. Pará: Universidade Federal do Pará, 2014. E-book. Disponível em: https://www.mat.unb.br/furtado/homepage/verao/livro_de_analise-novo.pdf. Acesso em: 26 maio 2020.
Ainda podemos organizar o teorema de modo que tenhamos 2378d691ca928279b0d5702e0c19582a_20211112191929.png, em que esta é uma forma de simplificar a notação da definição. Agora, vamos considerar a seguinte integral e sua resolução, por meio do Teorema Fundamental do Cálculo: e7bf83a54a165bf067aeaa10b5df1023_20211112191929.png
Analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. ( ) A função e7d52d59d27d4a78f4a411dc3e4b7bdc_20211112191930.png é uma das primitivas, pois e94042102dae140e77dd0179f4e893e4_20211112191930.png também é primitiva da função 50cc3fb0dd4e55968df76c77cc65ae9b_20211112191930.png.
II. ( ) d30238a994100190624f15809da68dfc_20211112191930.png, ou seja, 68087e775acabeff0d8d56e45e84f42d_20211112191930.png.
III. ( ) 3b1c62667d32ed300861ce08abce8fbb_20211112191931.png, ou seja,3558b7d0e61d6237f3e5867c385fd2c1_20211112191931.png.
IV. ( ) 5ba7f24c5dd80553b9e7c0ed802d3efb_20211112191931.png, ou seja, 86101b94d220c9889aff41291d08c528_20211112191931.png.
V. ( ) debd93ed6d53a7af91eea8e1e5f9ea88_20211112191932.png, ou seja, 48f9aca2842f106ffb1190e13ceee62f_20211112191932.png.
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
I. ( ) A função 1/3 x^3 é uma das primitivas, pois 1/3 x^3+c,∀ c∈R também é primitiva da função x^2.
V, V, F, F, V.
Respota correta
F, F, F, V, V.
V, V, V, F, F.
F, V, F, F, V.
Sua resposta (incorreta)
V, F, V, V, F.
Vamos considerar o Teorema de Darboux conforme Lima (2006): seja 85400b87411f1875988044240ae153b4_20211112191907.pngderivável. Se 340b831ace5eb0a9eec8ab836dd71d8b_20211112191907.png então existe, d076806e197606561d37ce559e508a8a_20211112191907.png tal que 1824d38b2a7c3c6a55fb4d4579cced0a_20211112191908.png. Isto é, existem duas derividas em um intervalo, mas também existe um 27d769e87e5239ca9f34f6bae6e34993_20211112191908.png pertencente ao invertavalo aberto 753cd6e7da69d48f99f85e77e23aba3b_20211112191908.pngde modo que a sua derivada esteja entre as duas derividas.
LIMA, E. L. Análise real: funções de uma variável. 8. ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2006. v. 1. 
Sendo assim, seja a função 9967c93b8fc1e845632b38eeae507e7b_20211112191908.png que é definida por 536fe6f18987df5a527966319721209a_20211112191909.png se eb20a0960c6954cf807f57cde0b93577_20211112191909.png e 8408dd6b39425384bc09d8cd8f6bf81a_20211112191909.png se 2b5ceec942678d0474951474160f8b10_20211112191909.png Logo, o que podemos afirmar sobre a função ec5d8ddde18a8ad62734206c42faf2e5_20211112191909.png
I. Não goza da propriedade do valor intermediário.
II. Assume apenas os valores -1 e 1 no intervalo 9c6831a48bff1cbd171c29282f15856d_20211112191910.png
III. Possui valores intermediários entre -1 e 1.
IV. Assume os valores -2 e 2 no intervalo 0bcc4f5ad245e24267a2d69760e5eee6_20211112191910.png
V. Assume os valores e71d8efd04ff10837fc5bfe6bcb336db_20211112191910.png
Está correto o que se afirma em:
III e V.
Resposta correta
I e IV.
II e IV.
I e II.
Sua resposta (incorreta)
II, III e V.
Conforme nos explica Corrêa (2014), diz-se que uma função limitada 29e64ef5d51a526ec01f49d4e7909ceb3_20211112191918.png é Riemann-integrável ou simplesmente integrável se 73ec68dc5f16dc46ebfc4cec4cec66c3_20211112191918.png. Isto é, uma função é integrável se a sua integral inferior e a sua integral superior forem iguais. 
CORR& Ecirc;A, F. J. S. de A. Introdução à Análise Real. Pará: Universidade Federal do Pará, 2014. E-book. Disponível em: https://www.mat.unb.br/furtado/homepage/verao/livro_de_analise-novo.pdf. Acesso em: 26 maio 2020.
Assim sendo, considerando nossos estudos a respeito da temática e a definição apresentada anteriormente, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. ( ) 57441934146bd66e5ed49a070dcbc494_20211112191918.png.
II. ( ) Denominamos as funções integráveis por Integral de Riemann sem exceção.
III. ( ) Denominamos as funções integráveis por Integral de Riemann ou apenas integral.
IV. ( ) Uma função é integrávelb5c0715d17f012fd64e9e379f7490581_20211112191918.png se existir 2c04f7e3a6e046982767fda228192ad9_20211112191919.png e sed1cb9481b22b3d011cc2e2ac8962e769_20211112191919.png for o conjunto das partições, tais que 948d76c7f729b5eda83284b540b08ce4_20211112191919.png
V. ( ) 413deb905c998d43fb90720da9b5976b_20211112191919.png
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
.
V, V, F, V, F.
F, V, F, V, V.
Sua resposta (incorreta)
F, F, V, F, V.
V, F, V, F, F.
Resposta correta
V, F, V, V, F.
Sobre as propriedades da integral, ao longo da nossa unidade de estudos vimos que, se efccd3bc5cb85bee734fff4db17629bd_20211112191920.png forem funções integráveis, então db1066cb336d9c1e68106622665d9321_20211112191921.png é integrável e ∫_a^b▒(f(x)+g(x))dx=∫_a^b▒f(x)dx+∫_a^b▒g(x)dx. Isto é, a integral da soma é a soma das integrais. Sendo assim, considere as funções bc87314514ecb0f7cde9e3ffd745ea8a_20211112191921.png e e00ca418047dd6d93aea1e525ae4a119_20211112191921.png. Agora, analise as afirmativas a seguir.
I.83fd8f653f23ed53205c7f761796993b_20211112191921.png
II. 5e50f05a6a9131c0de849c62a3205c01_20211112191921.png
III. ded796f201bc84a2d24c4ae63c1b2e75_20211112191921.png
IV. 99c816b82d60cfc3a9e4ff9f46c782b3_20211112191922.png
V. eeb744d68d2231299f7a55a0fa526260_20211112191922.png
Está correto o que se afirma em:
III e V.
I e IV.
Resposta correta
I e V.
II e IV.
II e III.
Para operações com manipulações matemáticas de forma mais simplificadas, algumas mudanças devem ocorrer nas variáveis, a fim de facilitar o raciocínio e a manipulação do cálculo. Esse processo é chamado de “regra da cadeia” ou “mudança de variáveis”. No caso, uma troca de variáveis por u e du facilitam muito o cálculo.Assim, vamos considerar a função923d3c3efb3da38d1551640e8208d619_20211112191949.png) e resolver a integral b391fde7f81a046998b10bebd7f7615e_20211112191949.png por mudança de variável, fazendo com que c9f608f4f7ac3e15e5bb387b30677d16_20211112191949.png1 e 9df18c117bac994636a65b117f16dd06_20211112191950.png.
Sobre a resolução, temos os seguintes passos:
1. 21af3af14c62b4e60d86a246fe71b8f6_20211112191950.png2. c5be32ba7b8dbc2b85f0c6bfa1abd92a_20211112191950.png.
3. (65a14d0de880c2298fe9a800744c8fcf_20211112191950.png.
4. 65f0b4736b1c9540d866886c11251739_20211112191950.png.
5. 6c6c3645ff939c147e0e730d90905456_20211112191951.png.
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
5, 4, 3, 2, 1.
Resposta correta
5, 2, 3, 1, 4.
1, 2, 3, 4, 5.
2, 4, 1, 5, 3.
1, 3, 5, 4, 2.
De acordo com nossa unidade de estudos, a respeito das propriedades da integral, temos que, se 29e64ef5d51a526ec01f49d4e7909ceb4_20211112191922.png é uma função integrável e e5574c2adaa9f8dcb1ec231195c3ab32_20211112191922.png é uma constante real, então 012dd7f7253d9c516bc99427bd39d16e_20211112191923.png, definida por 1151a1bd945765291db5531c6a8f0ffc_20211112191923.png. Esta é integrável e 298f1e3b43f2a270ed45822676643bc4_20211112191923.png. Desse modo, a integral de uma constante que multiplica uma função é a constante que multiplica a integral da função. Assim, considere a constante b61e0a4e590d317e256bf7cc76217226_20211112191923.pnge as funções e00ca418047dd6d93aea1e525ae4a1191_20211112191923.png e e7bc2b82c06f6b7bbb3374baf248eac32_20211112191924.png.
Agora, analise as afirmativas a seguir.
I. c3228416c9c705f2ffe7f519bee1d5b5_20211112191924.png
II. 3b15903f070df40a3a34388798c0866e_20211112191924.png
III. 2d4c440d41f41be0be293fb129757b8d_20211112191924.png
IV. da2a98d74bc90a1a1bc8021c15f59bde_20211112191924.png
V. de47e2762edea6b736e73a23eef14932_20211112191925.png
Está correto o que se afirma em:
Resposta correta: a propriedade apresenta que, see5574c2adaa9f8dcb1ec231195c3ab321_20211112191925.pngé uma constante, podemos retirá-la da integral, resolver a integral e, depois, multiplicar pela constante. Assim, simplificar o numerador com o denominador, por exemplo, traz uma inconsistência. No entanto, quando separamos a constante, podemos resolver as integrais e multiplicá-las pela constante.
Resposta correta
I e III.
II e V.
III e IV.
I, II e III.
IV e V.
De acordo com Corrêa (2014), define-se a soma inferior de Riemann da função 29e64ef5d51a526ec01f49d4e7909ceb1_20211112191915.png, com relação à partição ed97d5511cffb3c19b2e03b92506307e_20211112191916.png, por a5b8dfc5d94123beeddc079d01553aea_20211112191916.png. Essa soma inferior é uma aproximação por falta da área sob o gráfico de e74677a41edb7b76a823e253378fbc2e15_20211112191916.png. Por outro lado, define-se a soma superior de Riemann da função 29e64ef5d51a526ec01f49d4e7909ceb2_20211112191916.png, com relação à partição ed97d5511cffb3c19b2e03b92506307e1_20211112191916.png, por a5b8dfc5d94123beeddc079d01553aea1_20211112191917.png. Tal soma superior é uma aproximação por excesso da área sob o gráfico de e74677a41edb7b76a823e253378fbc2e16_20211112191917.png.
CORR& Ecirc;A, F. J. S. de A. Introdução à Análise Real. Pará: Universidade Federal do Pará, 2014. E-book. Disponível em: https://www.mat.unb.br/furtado/homepage/verao/livro_de_analise-novo.pdf. Acesso em: 26 maio 2020.
Sendo assim considere os gráficos da figura a seguir.
sdadsa1_20211112191917.png
eles não representam as somas de Riemann.
eles apresentam a soma de Riemann por falta.
eles apresentam a soma de Riemann por excesso.
Sua resposta (incorreta)
o primeiro apresenta a soma de Riemann por excesso, enquanto o segundo traz a soma de Riemann por falta.
Resposta correta
o primeiro apresenta a soma de Riemann por falta, enquanto o segundo traz a soma de Riemann por excesso.
A integração por partes é definida para as funções efccd3bc5cb85bee734fff4db17629bd1_20211112191953.png, que possuem derivadas integráveis. Então, temos que 5e7020c54cf81ebfacfa84d19ebf9e8e_20211112191953.png. Sendo assim, considere a função 1d51d5a2346bdbbc5903e9c70d786f0f_20211112191953.png. Teremos que resolver a integralb391fde7f81a046998b10bebd7f7615e1_20211112191953.png por integração por partes, fazendo com que 4cace41602c07149d3c373600a85c65b_20211112191954.png, cb08c92718cc0cbc4890994824786aa01_20211112191954.png, 68bbf6a48a580c946e71f6e672b448b6_20211112191954.png e 59f485ad985559d1221938c5e7633c1d_20211112191954.png.
Sobre a resolução, temos os seguintes passos:
1. 6250cdc5d2763667d15b0bc9b4e61078_20211112191955.png
2. fef1926e3248ff7d1a7e786ff499ea6e_20211112191955.png, em que fazemos por partes novamente.
3. 0591e129a6074b705ea6acef1ff5b91b_20211112191955.png.
4. 0662c9e57e209c0396c3d25fbac8ec79_20211112191955.png, com 2a8dcd05fef76963721e1db1101f09f5_20211112191955.png, 9df18c117bac994636a65b117f16dd061_20211112191956.png, 2c446a622de91634267bedced43e9160_20211112191956.png e 59f485ad985559d1221938c5e7633c1d1_20211112191956.png.
5. 81ccf4b351c94f2461323c1fabd9909c_20211112191956.png.
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
4, 2, 3, 1, 5.
1, 2, 5, 4, 3.
2, 4, 3, 5, 1.
Resposta correta
5, 2, 4, 1, 3.
3, 4, 5, 2, 1.
As Integrais de Riemann utilizam o método da exaustão para serem calculadas. Por outro lado, o Teorema Fundamental do Cálculo tem como premissa a utilização do processo da antiderivada para ser possível encontrar as funções primitivas Assim, considere o Teorema Fundamental do Cálculo e a seguinte resolução da função proposta por meio desse teorema: 3b830116a6ee3a4104702e5668db80b5_20211112191933.png.
Nesse sentido, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. ( ) A função 0610f8a7515783af9d83b68bb2615463_20211112191934.png é uma das primitivas da função 9d088f5b8484a320dbe1bf6d3abcc426_20211112191934.png.
II. ( ) 13bbf485d8d1efd472fe97b42bda2251_20211112191934.png, ou seja, a04e19bcabce19320f46a5a561223130_20211112191934.png.
III. ( )b592b6e7ffe945e78703c13faed593d8_20211112191934.png, ou seja,ca26612fe8b1d0511fe2b38e0f11b860_20211112191935.png.
IV. ( ) 7ad6de3b14d114d3bbf61a28cfe24242_20211112191935.png, ou seja, 637738c0fd82fe7824208bcd3a606a12_20211112191935.png.
V. ( ) b592b6e7ffe945e78703c13faed593d81_20211112191935.png, ou seja, c02f11b4ba0a6bd421d8e23b79f56d98_20211112191935.png.
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
 V, F, V, V, F.
F, V, F, F, V.
V, V, F, F, V.
Resposta correta
V, V, V, F, F.
F, F, F, V, V.