Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 24

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4 – Demonstrar que 10n + 1 – 9n – 10 é um múltiplo de 81 para todo inteiro positivo 
n. 
 
SOLUÇÃO 
Provemos inicialmente que 10n – 1 – 1 é um múltiplo de 9. 
- A propriedade é verdadeira para n = 1 pois 100 – 1 = 1 – 1 = 0 é múltiplo de 
nove. 
- Suponhamos verdadeira para n, isto é 10n – 1 – 1 é um múltiplo de 9. 
- Provemos que a propriedade é verdadeira para o sucessor de n, ou seja 
10n - 1 + 1 – 1 = 10n – 1 é múltiplo de 9. 
 
Temos 10n – 1 = 10.(10n-1) – 1 = (9 + 1)10n – 1 – 1 = (9.10n - 1 )+ (10n - 1 – 1) = 9q 
+ 9q’ (de acordo com a hipótese). 
Portanto, 10n – 1 – 1 é múltiplo de 9. 
 
Demonstremos a propriedade inicial. 
 
(1) A propriedade é válida para n = 1, pois 101 + 1 – 9.1 – 10 = 100 – 9 – 10 = 81 
que é múltiplo de 81. 
(2) Suponhamos que a propriedade é válida para n, isto é 10n + 1 – 9n – 10 é 
múltiplo de 81. 
(3) Provemos que ela é válida para o sucessor de n, ou seja 
10n + 2 – 9.(n + 1) – 10 é múltiplo de 81. 
 
Temos que: 10n + 2 – 9.(n + 1) – 10 = 10.10n + 1 – 9n – 9 – 10 = (9 + 1)10n + 1 – 9n 
– 9 - 10 = 
= (9.10n + 1 – 9) + (10n + 1 – 9n - 10 ) = 9.(10n + 1 – 1) + (10n + 1 – 9n - 10 ). 
 
Conforme foi demonstrado acima (10n + 1 – 1) é múltiplo de 9. Disto resulta 9(10n + 
1 – 1) = 9.9q = 81q. 
Pela hipótese a segunda expressão da igualdade acima é um múltiplo de 81, ou 
seja (10n + 1 – 9n - 10 ) = 81q’. 
 
Desta forma 10n + 2 – 9.(n + 1) – 10 = 81q + 81q’ = 81(q + q’) que é um múltiplo 
de 81. 
 
5 – Demonstrar que n3/3 + n5/5 + 7n/15 é um inteiro positivo para todo n  N. 
 
SOLUÇÃO 
(1) A propriedade é válida para n = 1, pois (1/3) + (1/5) + (7/15) = (5/15) + 
(3/15) + (7/15) = 15/15 = 1 que é um inteiro. 
(2) Suponhamos que e provemos que a propriedade á valida para o sucessor de n, 
isto é: 
n3/3 + n5/5 + 7n/15 é um inteiro positivo para todo inteiro positivo N. 
(3) Provemos, então, que (n+1)3/3 + (n+1)5/5 + 7.(n+1)/15 
Temos então