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a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{\pi}{3} \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). Assim, a 
integral se torna \( \frac{1}{2} \int_0^{\pi} (1 - \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2} \left[ x - 
\frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ \pi - 0 \right] = \frac{\pi}{2} \). 
 
12. **Problema 12:** Calcule a derivada de \( g(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2x^2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{2x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( g'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
13. **Problema 13:** Calcule a integral \( \int e^{2x} \cos(3e^{2x}) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 c) \( e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 d) \( e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = e^{2x} \), então \( du = 2e^{2x} dx \), 
resultando em \( \frac{1}{2} \int \sin(3u) \, du = -\frac{1}{6} \cos(3u) + C \). 
 
14. **Problema 14:** Qual é a série de Taylor de \( \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \)? 
 a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \) 
 b) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) 
 c) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n}}{n!} \) 
 d) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \) 
 **Resposta:** a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( \cos(x) \) é obtida a partir das derivadas em \( x = 
0 \), resultando em \( \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \). 
 
15. **Problema 15:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 2 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \). 
 
16. **Problema 16:** Determine \( \int_0^{1} (1 - x^2)^{3/2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{2}{5} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição trigonométrica \( x = \sin(\theta) \), resultando 
em \( dx = \cos(\theta) d\theta \) e \( (1 - x^2)^{3/2} = \cos^3(\theta) \). A integral se 
transforma em \( \int_0^{\pi/2} \cos^4(\theta) \, d\theta \), que é calculável. 
 
17. **Problema 17:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( e \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 
e^0 = 1 \). 
 
18. **Problema 18:** Determine a integral \( \int (3x^2 - 2x + 1) e^x \, dx \). 
 a) \( (3x^2 - 2x + 1)e^x - \int (6x - 2)e^x \, dx \) 
 b) \( (3x^2 - 2x + 1)e^x + C \) 
 c) \( (3x^2 - 2x + 1)e^x + e^x + C \) 
 d) \( (3x^2 - 2x + 1)e^x + \int e^x \, dx \) 
 **Resposta:** a) \( (3x^2 - 2x + 1)e^x - \int (6x - 2)e^x \, dx \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes, onde \( u = (3x^2 - 2x + 1) \) e \( dv = e^x 
dx \). Isso resulta na expressão dada. 
 
19. **Problema 19:** Qual é a derivada de \( h(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)? 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 d) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia, onde \( h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 
(2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
20. **Problema 20:** Determine o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) -1 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A integral de um polinômio cúbico que passa por (0,0) e (1,1) é zero, 
pois a área sob a curva se cancela. 
 
21. **Problema 21:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 + 3x^3 - 7}{2x^4 - 4x^2 + 1} \). 
 a) 0 
 b) \( \frac{5}{2} \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{2} \)