caderno BDUC

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\[ 
 \int_1^3 (x^2 - 4) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_1^3 = \left(9 - 12\right) - 
\left(\frac{1}{3} - 4\right) = 2. 
 \] 
 
39. **Qual é o resultado de \(\int \cos(3x) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{3}\sin(3x) + C\) 
 b) \(\sin(3x) + C\) 
 c) \(-\frac{1}{3}\sin(3x) + C\) 
 d) \(\frac{3}{3}\sin(3x) + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{3}\sin(3x) + C\)** 
 **Explicação:** A integral de \(\cos(kx)\) é \(\frac{1}{k}\sin(kx)\): 
 \[ 
 \int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C. 
 \] 
 
40. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\frac{5}{6}\) 
 **Resposta: d) \(\frac{5}{6}\)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = \left(1 - 1 + 1\right) - 0 = 1. 
 \] 
 
41. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (4x^3 - 2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\frac{5}{6}\) 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int_0^1 (4x^3 - 2x + 1) \, dx = \left[x^4 - x^2 + x\right]_0^1 = 1 - 0 + 0 = 1. 
 \] 
 
42. **Qual é o resultado de \(\int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx\)?** 
 a) \(x^5 - x^3 + 2x + C\) 
 b) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C\) 
 c) \(5x^5 - 3x^3 + 2x + C\) 
 d) \(x^5 - x^3 + 2 + C\) 
 **Resposta: a) \(x^5 - x^3 + 2x + C\)** 
 **Explicação:** Integrando termo a termo: 
 \[ 
 \int (5x^4) \, dx = x^5, \quad \int (-3x^2) \, dx = -x^3, \quad \int 2 \, dx = 2x. 
 \] 
 
43. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Infinito 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x)}{1} = 2\cos(0) = 2. 
 \] 
 
44. **Qual é o valor da integral \(\int_1^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int_1^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2 + x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} - 4 + 
2\right) - \left(\frac{1}{3} - 1 + 1\right) = 1. 
 \] 
 
45. **Qual é o resultado de \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\)?** 
 a) \(-\frac{1}{x} + C\) 
 b) \(\frac{1}{x} + C\) 
 c) \(-\frac{1}{2x^2} + C\) 
 d) \(-\frac{1}{3x^3} + C\) 
 **Resposta: a) \(-\frac{1}{x} + C\)** 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x^n}\) é \(-\frac{1}{n-1}x^{n-1}\) para \(n \neq 1\): 
 \[ 
 \int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C. 
 \] 
 
46. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\frac{5}{6}\) 
 **Resposta: d) \(\frac{5}{6}\)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_0^1 = 1 - 0 + 0 = 1. 
 \]