Qual é o valor da integral \(\int_1^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx\)? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Para resolver a integral \(\int_1^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx\), primeiro podemos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que \(x^2 - 2x + 1\) pode ser reescrito como \((x - 1)^2\). Assim, a integral se torna: \[ \int_1^2 (x - 1)^2 \, dx \] Agora, vamos calcular a integral: 1. Encontrar a antiderivada: \[ \int (x - 1)^2 \, dx = \frac{(x - 1)^3}{3} + C \] 2. Avaliar a integral definida de 1 a 2: \[ \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_1^2 = \frac{(2 - 1)^3}{3} - \frac{(1 - 1)^3}{3} \] \[ = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \] Portanto, o valor da integral \(\int_1^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx\) é \(\frac{1}{3}\). Como essa resposta não está entre as alternativas, parece que houve um erro na formulação da pergunta ou nas opções. No entanto, se considerarmos a integral original, o resultado correto não corresponde a nenhuma das opções dadas. Se precisar de mais ajuda, você pode criar uma nova pergunta!