caderno AODI

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\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C. 
 \] 
 
72. **Qual é o valor da integral \(\int_1^3 (x^2 - 4) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int_1^3 (x^2 - 4) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_1^3 = \left(9 - 12\right) - 
\left(\frac{1}{3} - 4\right) = 2. 
 \] 
 
73. **Qual é o resultado de \(\frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)\)?** 
 a) \(3x^2 + 3\) 
 b) \(3x^2 + 6x + 3\) 
 c) \(3x^2 + 6x\) 
 d) \(3x^2 + 3x + 1\) 
 **Resposta: b) \(3x^2 + 6x + 3\)** 
 **Explicação:** A derivada é: 
 \[ 
 \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 3x^2 + 6x + 3. 
 \] 
 
74. **Qual é o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 2x^2 + 1}{3x^3 + 5}\)?** 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) 1 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta: c) 1** 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^3\): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{3 + \frac{5}{x^3}} = \frac{1}{3}. 
 \] 
 
75. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (2x + 3) \, dx\)?** 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4 
 d) 5 
 **Resposta: d) 5** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int_0^1 (2x + 3) \, dx = \left[x^2 + 3x\right]_0^1 = (1 + 3) - 0 = 4. 
 \] 
 
76. **Qual é o valor da integral \(\int_1^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int_1^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2 + x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} - 4 + 
2\right) - \left(\frac{1}{3} - 1 + 1\right) = 1. 
 \] 
 
77. **Qual é o resultado de \(\int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx\)?** 
 a) \(x^5 - x^3 + 2x + C\) 
 b) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C\) 
 c) \(5x^5 - 3x^3 + 2x + C\) 
 d) \(x^5 - x^3 + 2 + C\) 
 **Resposta: a) \(x^5 - x^3 + 2x + C\)** 
 **Explicação:** Integrando termo a termo: 
 \[ 
 \int (5x^4) \, dx = x^5, \quad \int (-3x^2) \, dx = -x^3, \quad \int 2 \, dx = 2x. 
 \] 
 
78. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Infinito 
 **Resposta: c) 3** 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3\cos(3x)}{1} = 3\cos(0) = 3. 
 \] 
 
79. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\frac{5}{6}\) 
 **Resposta: d) \(\frac{5}{6}\)** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_0^1 = 1 - 0 + 0 = 1. 
 \]