Circuitos de corrente alternada 1

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DESCRIÇÃO
Explicação da corrente alternada. Fundamentos dos números complexos, suas representações senoidais no tempo e
diagramas fasoriais.
PROPÓSITO
Definir os conceitos de corrente alternada a partir da álgebra dos números complexos e sua representação em funções
senoidais no domínio do tempo e angular, além dos conceitos de diagramas fasoriais e sua aplicação nas correntes
alternadas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer a álgebra dos números complexos
MÓDULO 2
Calcular as funções senoidais no tempo
MÓDULO 3
Definir o conceito de diagramas fasoriais
Assista, a seguir, a um vídeo sobre os estudos dos Circuitos de Corrente Alternada.
MÓDULO 1
 Reconhecer a álgebra dos números complexos
Assista, a seguir, a um vídeo sobre a álgebra dos números complexos.
O QUE É NÚMERO COMPLEXO?
O número complexo é o instrumento matemático para a resolução de circuitos em corrente alternada. Ele pode ser definido
como par ordenado (x, y) de números reais no plano complexo, ou seja, os números reais x e y são conhecidos como as
partes real e imaginária de z, respectivamente. O conceito do número complexo ou imaginário foi criado a fim de podermos
representar as raízes quadradas dos números negativos, cujos resultados não fazem parte do conjunto dos números reais.
√-2, √-10, √-49…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A unidade imaginária, definida pela letra i dos números complexos na engenharia elétrica, é trocada por j, para não ser
confundida com a corrente elétrica. Ela é definida como:
J = √-1 OU J2 = - 1
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Portanto, podemos representar a raiz quadrada de um número negativo da seguinte maneira:
√-X = J√X
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 EXEMPLO
Simplifique o número
√-18
Solução
√-18 = √-9 ⋅ 2 = 3j√2
Um número complexo pode ser representado de três formas:
CARTESIANA
Z = X + J · Y, OU, Z = X + JY,
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sendo x e y números reais.
O plano cartesiano que representa o número complexo é formado pelo eixo real (abcissa) e o eixo imaginário (ordenada),
conforme a figura a seguir.
Fonte: EnsineMe
 Figura 1: Forma trigonométrica do número complexo
FORMA POLAR
Z = Z∠Φ, SENDO Z O MÓDULO DO NÚMERO COMPLEXO Z E Φ O
ÂNGULO DADO EM RADIANOS OU EM GRAUS, TAMBÉM CHAMADO
DE ARGUMENTO.
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Alguns autores preferem representar o número complexo pela forma
Ż = Z∠Φ.
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Para transformar a forma cartesiana em polar, utilizamos as seguintes fórmulas:
Z = √ X2 + Y2 E Φ = ARCTG
Y
X
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Agora, inversamente, de polar para cartesiana, utilizamos:
X = ZCOSΦ E Y = ZSENΦ
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FORMA TRIGONOMÉTRICA
A partir das fórmulas anteriores, podemos obter a forma trigonométrica:
Z = Z · (COSΦ + JSENΦ).
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Podemos representar também o número complexo z = x + jy, como z = (x, y), quando estamos trabalhando no conjunto
de números complexos e para simplificar.
( ) | |
AGORA VAMOS VER UNS EXEMPLOS:
1. Transforme o número complexo z=4+j4 em forma polar e desenhe o plano cartesiano.
Solução:
Primeiro acharemos o valor do módulo do número complexo z, que é dado pela fórmula: Z = √ x2 + y2 .
Temos então:
Z = √42 + 42 = 4√2
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Agora, obtendo o valor do argumento, ângulo
Φ = ARCTG
Y
X , ENCONTRAMOS Φ = ARCTG
4
4 = 45°
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Assim, obtemos a forma polar do número complexo:
Z = 4√2∠45°,
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e o plano cartesiano é dado por:
( )
| |
Fonte: EnsineMe
2. Transforme o número complexo
Z = 20∠ - 30°
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para a forma cartesiana e desenhe o plano cartesiano.
Solução:
Primeiro vamos calcular os valores de x e y, que podem ser encontrados pela fórmula
X = ZCOSΦ E Y = ZSENΦ.
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Temos então:
X = 20COS(-30) → X = 17,32
 Y = 20SEN(-30) → Y = - 10
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Logo, x = 17, 32 - j10
Fonte: EnsineMe
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO
O módulo ou valor absoluto de um número complexo, como já citamos, é representado pela fórmula:
Z = |Z| = √X2 + Y2
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O módulo, portanto, é um número real, não negativo. Geometricamente, |z| é a distância entre o ponto (x,y) e a origem, ou
o comprimento do vetor radial que representa z.
As seguintes propriedades dos módulos são válidas para todos os complexos:
Z1Z2 = Z1 Z2
Z1
Z2
=
Z1
Z2
, Z2 ≠ 0
| | | | | |
| | | |
| |
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
O conjugado de um número complexo é definido pela fórmula:
Z * = X - JY OU Z * = Z∠ - Φ
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Fonte: EnsineMe
 Figura 2: Conjugado de um número complexo
Alguns autores apresentam
Z* COMO Z̄
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Utilizaremos esse último de agora em diante. As seguintes relações são válidas para o complexo conjugado:
ˉ̄Z = Z
Z̄ = |Z|| |
¯
Z1 + Z2 = X1 + X2 - J Y1 + Y2 = X1 - JY1 + X2 - JY2 =
¯
Z1 +
¯
Z2
¯
Z1 - Z2 =
¯
Z1 -
¯
Z2
¯
Z1
Z2
=
¯
Z1
¯
Z2
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A soma de um número complexo com seu conjugado é o número real 2x, e a diferença, o número imaginário 2jy. Podemos
verificar isso usando as seguintes fórmulas:
RE = (X + JY) + (X - JY) = 2X
IM = (X + JY) - (X - JY) = 2JY
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A multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado resulta somente em número real, e como podemos verificar
no valor ao quadrado do módulo:
Z · Z* = (X + JY) · (X - JY) = X2 + Y2 = |Z|2
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Na divisão de números complexos, utiliza-se o conjugado do denominador e multiplica-se pelo numerador e denominador
para obter o resultado na forma cartesiana.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
VEJA UM EXEMPLO:
Sendo z1= -1+j e z2= 2-j, obtenha o valor simplificado das seguintes equações:
¯
Z1 +
¯
Z2
¯
Z1 -
¯
Z2
Z1
Z2
¯
Z1 ·
¯
Z2
Solução:
Temos o conjugado de z1 e z2:
¯
Z1 = - 1 - J E 
¯
Z2 = 2 + J
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¯
Z1 +
¯
Z2 = - 1 - J + 2 + J = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
¯
Z1 -
¯
Z2 = - 1 - J - 2 - J = - 3 - J2
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Z1
Z2
=
- 1 + J
2 - J =
( - 1 + J ) ( 2 + J )
( 2 - J ) ( 2 + J ) =
- 2 - J + J2 - 1
22 + 12 =
- 3 + J
5
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¯
Z1 ·
¯
Z2 = (-1 - J)(2 + J) = - 2 - J - J2 + 1 = - 1 - J3
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OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
A seguir, definiremos algumas operações com números complexos:
IGUALDADE
Dois números complexos,
Z1 = X1, Y1 , Z2 = X2, Y2( ) ( )
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são consideradosiguais se as partes reais e imaginárias forem as mesmas:
Z1 = Z2 ⟹ X1 = X2 E Y1 = Y2;
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ADIÇÃO
A soma de dois números complexos nada mais é que somar suas partes reais e imaginárias separadamente.
Z1 + Z2 → X1, Y1 + X2, Y2 = X1+X2, Y1 + Y2 = (X1+X2 + J Y1 + Y2 ;
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Fonte: EnsineMe
SUBTRAÇÃO
A subtração de dois números complexos significa subtrair suas partes reais e imaginárias separadamente.
Z1 - Z2 → X1, Y1 - X2, Y2 = X1 - X2, Y1 - Y2 = (X1 - X2 + J Y1 - Y2 ;
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( ) ( ) ( ) ) ( )
( ) ( ) ( ) ) ( )
Fonte: EnsineMe
MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação é feita multiplicando item a item, podendo ser realizada de forma cartesiana ou polar.
Z1 · Z2 → X1, Y1 · X2, Y2 = X1 · X2 - Y1 · Y2, X1 · Y
2
+ Y1 · X
2
=
= X1 · X2 - Y1 · Y2 + J X1 · Y
2
+ Y1 · X
2
, OU, Z1 · Z2 = Z1 · Z2∠ Φ1 + Φ2 ;
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DIVISÃO
A divisão, como já vimos, é feita utilizando o conjugado do denominador e multiplicando pelo numerador e denominador.
Para a forma cartesiana ou para a polar, deve-se dividir os módulos dos números e subtrair seus argumentos.
Z1
Z2
= Z1 · Z2
- 1 →
X1 · X2 + Y1 · Y2
X2
2 + Y2
2
,
Y1 · X2 - X1 · Y2
X2
2 + Y2
2
,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
OU,
Z1
Z2
=
Z1
Z2
∠ Φ1 - Φ2 , Z2 ≠ 0.
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EXEMPLO:
Considere os seguintes números complexos:
Z1 = 5 + J4 E Z2 = - 10 + J2
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Obtenha:
Z1 + Z2
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Z1 - Z2
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Z1 · Z2
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( )
Z1
Z2
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Solução:
A) Z1 + Z2 = 5 + J4 - 10 + J2 = (5 - 10) + J(4 + 2) = - 5 + J6
B) Z1 - Z2 = 5 + J4 - (-10 + J2) = (5 + 10) + J(4 - 2) = 15 + J2
C) Z1 · Z2 = (5 + J4) · (-10 + J2) = - 50 + J10 - J40 - 8 = - 58 - J30 OU NA
FORMA POLAR
Z1 · Z2 = √41∠38 ,66 ° · 2√26∠ - 191 ,31 ° = 2√1066∠ - 152 ,65 °
D) 
Z1
Z2
=
( 5 + J4 )
( - 10 + J2 ) =
( 5 + J4 ) · ( - 10 - J2 )
- 102 + 42
=
=
( - 50 - J10 - J40 + 8 )
104 =
( - 42 - J50 )
104 =
( - 21 - J25 )
52 OU NA FORMA POLAR
Z1
Z2
=
√41∠38,66 °
2√26∠ - 191,31 °
=
√1066
52 ∠229,97°
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Os números complexos também seguem algumas dos números reais:
( )
COMUTATIVIDADE
z1 + z2 = z2 + z1
z1 · z2 = z2 · z1
 
ASSOCIATIVIDADE
(Z1 + Z2 + Z3 = Z1 + Z2 + Z3
Z1 · Z2 · Z3 = Z1 · Z2 · Z3
 
DISTRIBUTIVIDADE
Z · (Z1 + Z2 = ZZ1 + ZZ2
Uma fórmula que pode ser bem útil, e que é válida para os números reais e para os complexos, é a do binômio:
(Z1 + Z2
N = ∑ N
K = 0
N
K ZK
1ZN - K
2 N = 1,2, …
Em que
) ( )
( ) ( )
)
) ( ) ( )
N
K =
N !
K ! ( N - K ) ! K = 0,1, 2, …, N
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MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O VALOR DE (2-J3) + J(4+J5).
A)
A) -3 + j
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A)
B)
B) 6 - j2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 3 - j
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 2 + 9j
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
E)
E) 1 - j2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
( ) ( )
2. DETERMINE O VALOR DE (2 - J) · (1 + J7).
A)
A) 2 + j6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 9 + j13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 13 + j5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
E)
E) 1 - j7
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E)
3. DETERMINE O VALOR DE 
¯
(1 - J) ·
¯
(3 + J3).
A) -3j
B) 6
C) 6j
D) 0
E) -6
4. DETERMINE O VALOR DE 
( 3 + J4 )
( 1 + J ) NA FORMA POLAR.
A) 
√2
2 ∠45°
B) 
5√2
2 ∠8°
C) 
5√2
2 ∠98°
D) 5∠8°
E) 5∠98°
5. DETERMINE O VALOR DE (3 + 4J) · (5 + J4) NA FORMA POLAR.
A) 5∠15,66°
B) √41∠15,66° 
C) 5√41∠53°
D) 5∠91,66°
E) 5√41∠91, 66°
6. SE Z=1+J2 É UM NÚMERO COMPLEXO E Z̄ , SEU CONJUGADO, ENTÃO W = Z2 + 2 Z̄ É
IGUAL A:
A) -1
B) j4
C) -1 + 8j
D) 1
E) 7
GABARITO
1. Determine o valor de (2-j3) + j(4+j5).
A alternativa "A " está correta.
Usando as propriedades dos números complexos:
(2 - J3) + J(4 + J5) = 2 - J3 + J4 - 5 = - 3 + J
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2. Determine o valor de (2 - j) · (1 + j7).
A alternativa "C " está correta.
Usando as propriedades dos números complexos:
(2 - J) · (1 + J7) = 2 + J14 - J + 7 = 9 + J13
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3. Determine o valor de 
¯
(1 - j) ·
¯
(3 + j3).
A alternativa "B " está correta.
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos e as propriedades algébricas:
¯
(1 - J) ·
¯
(3 + J3) = (1 + J) · (3 - J3) = 3 - J3 + J3 + 3 = 6
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4. Determine o valor de 
( 3 + j4 )
( 1 + j ) na forma polar.
A alternativa "B " está correta.
Assista, a seguir, a um vídeo sobre números complexos na forma polar.
5. Determine o valor de (3 + 4j) · (5 + j4) na forma polar.
A alternativa "E " está correta.
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos na forma polar e as propriedades algébricas:
Passando para a forma polar:
(3 + 4J) = 5∠53°
(5 + J4) = √41∠38, 66°
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Logo,
(3 + 4J) · (5 + J4) = 
= 5∠53° · √41∠38 ,66 ° =
= 5√41∠(53° + 38 ,66 °) =
= 5√41∠91 ,66 °
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6. Se z=1+j2 é um número complexo e z̄ , seu conjugado, então w = z2 + 2 z̄ é igual a:
A alternativa "A " está correta.
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos e as propriedades algébricas:
W = Z2 + 2 Z̄ = (1 + J2)2 + 2 
-
(1 + J2) = (1 + J4 - 4) + (2 - J4) = - 1
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GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Em um circuito eletrônico, temos que a impedância equivalente do circuito é dado por
Z = 1 + J2Ω, SUA TENSÃO U = 10V
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Determine a corrente do circuito.
RESOLUÇÃO
Assista, a seguir, um vídeo sobre números complexos em um circuito elétrico.
Solução
Pela Lei de Ohm temos que
U = Z · I
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, temos então que a corrente do circuito é igual a:
I =
10
( 1 + J2 ) =
10 · ( 1 - J2 )
( 1 + J2 ) ⋅ ( 1 - J2 ) =
10 - J20
12 + 22 = 2 - J4
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O VALOR DE 
¯
(1 - J) · J · (3 + J2).
A) -j
B) -5+j5
C) 3
D) 0
E) 3j+2
2. DETERMINE O VALOR DE 
¯
( 3 + J4 )
( 1 - J ) NA FORMA POLAR.
A) 
√2
2 ∠45°
B) 
5√2
2 ∠ - 98°
C) 5∠8°
D) 5∠98°
E) 
5√2
2 ∠ - 8°
GABARITO
1. Determine o valor de 
¯
(1 - j) · j · (3 + j2).
A alternativa "B " está correta.
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos e as propriedades algébricas:
¯
(1 - J) · J · (3 + J2) = (1 + J) · (J3 + J2) = J3 + J2 - 3- 2 = - 5 + J5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor de 
¯
( 3 + j4 )
( 1 - j ) na forma polar.
A alternativa "E " está correta.
Usando a propriedade dos números complexos na forma polar e as propriedades algébricas:
Colocando na forma polar:
¯
3 + J4 = 3 - J4 = 5∠ - 53°
1 - J = √2∠ - 45°
( 3 - J4 )
( 1 - J ) =
5∠ - 53 °
√2∠ - 45 °
=
5√2
2 ∠(-53° + 45°) =
5√2
2 ∠ - 8°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Calcular as funções senoidais no tempo
Assista, a seguir, a um vídeo sobre funções senoidais no tempo.
O QUE SÃO CORRENTES ALTERNADAS?
Os circuitos elétricos podem ser encontrados com correntes contínuas ou alternadas. As correntes alternadas, que são o
interesse deste tema, variam a polaridade e o valor ao longo do tempo, e essa variação pode ocorrer de diversas
formas (senoidal, quadrada, triangular etc.). Porém, a forma de onda mais importante e que será apresentada neste
módulo é a senoidal.
Uma corrente alternada com esse tipo de forma de onda é chamada de corrente alternada senoidal.
Uma onda senoidal (ou sinal senoidal) é uma onda periódica que repete seu comportamento ao longo do eixo x.
Em um circuito elétrico, podemos representar, por exemplo, a tensão senoidal nos domínios temporal e angular.
Fonte: EnsineMe
 Figura 3: Domínio temporal.
Fonte: EnsineMe
 Figura 4: Domínio angular
Podemos verificar pelas figuras que a senoide é sempre nula nos múltiplos inteiros positivos de π, ou seja, pra 0π, 1π, 2π,
..., ∀n ε ℤ, isso ocorre porque o valor da função seno é nula para esses valores.
A ONDA SENOIDAL
A onda senoidal é produzida quando um condutor é girado em campo magnético, com velocidade constante e densidade
de fluxo uniforme.
Fonte: EnsineMe
 Figura 7: Geração de uma onda senoidal pela rotação de um condutor em campo magnético
O condutor na posição 1 move paralelamente ao fluxo e não há tensão induzida nele. Quando o condutor gira da posição 1
para a 2, começa a cortar o fluxo em um pequeno ângulo; portanto, uma pequena tensão é induzida ao condutor. A
corrente produzida por essa tensão é indicada pelo ponto ( ∙ ), que significa que a corrente está na direção para fora da
página.
Assim que o condutor vai girando, o ângulo no qual ele corta o fluxo vai aumentando, até que o condutor se mova
perpendicularmente às linhas de fluxo (posição 4). À medida que o condutor se movimenta, menos fluxo é cortado.
Quando atinge a posição 7, não há mais tensão induzida, e o primeiro semiciclo positivo da onda senoidal foi produzido.
Quando o condutor deixa a posição 7, o sentido do fluxo é invertido; assim sendo, a polaridade da tensão induzida é
invertida e o semiciclo negativo se inicia. Na posição 10, temos o máximo de tensão negativa induzida no condutor. E,
quando o condutor retorna à posição original (1), a tensão induzida vai para zero. Assim, o primeiro ciclo é completado e a
onda senoidal produzida.
Cada nova rotação do condutor produzirá um novo ciclo da onda senoidal.
VALOR DE PICO E VALOR DE PICO A PICO
A tensão de pico Vp é a amplitude máxima que a tensão senoidal pode atingir. A amplitude total, por sua vez, é
denominada tensão de pico a pico (Vpp), encontrada entre os valores máximos positivo e negativo, ou seja, é um sinal que
se alterna entre dois valores. Temos então que Vpp=2Vp.
É preciso tomar cuidado, pois algumas formas de onda em circuitos eletrônicos não são simétricas. Isso quer dizer que os
valores de pico positivo e negativo são distintos, portanto, para os casos em que o valor de pico for especificado, deve-se
sempre indicar se ele se refere ao pico positivo ou negativo.
PERÍODO E FREQUÊNCIA
Período é o tempo necessário para a fonte ou função completar um ciclo, ou seja, produzir uma onda completa. Assim
sendo, o ciclo é a parte de uma forma de onda que não se repete ou não se duplica. O período é representado pela letra T.

Frequência é o número de vezes que esse ciclo completo se repete no tempo de um segundo. Sua unidade é o hertz (Hz),
representado pela letra f. A relação entre período e frequência é representada pela fórmula: f =
1
T
 VOCÊ SABIA
A distribuição de energia elétrica no Brasil é feita em corrente alternada e na frequência de 60 Hz. Em alguns países da
Europa e da América Latina, a frequência utilizada na distribuição da energia elétrica é de 50 Hz.
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DA ONDA SENOIDAL
A tensão senoidal pode ser representada matematicamente pelas seguintes fórmulas:
DOMÍNIO TEMPORAL:
V(T) = VPSENΩT
DOMÍNIO ANGULAR:
V(Θ) = VPSENΘ
Sendo:
V(T) = V(Θ) → VALOR DA TENSÃO EM VOLTS (V) NO INSTANTE T OU
PARA O ÂNGULO Θ.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vp= valor de pico ou amplitude máxima em volts (V).
ω= frequência angular em rd/s.
Θ= ângulo em rd.
FREQUÊNCIA ANGULAR (OU VELOCIDADE ANGULAR)
A frequência angular corresponde à variação do ângulo Θ do sinal em função do tempo.
É representada pela letra ω e pode ser encontrada pela relação Θ=ωt. Quando Θ=2π e t=T, a frequência angular é dada
por ω =
2π
T ou ω = 2πf.
A FREQUÊNCIA ANGULAR
(ou velocidade angular)
SEGUE O EXEMPLO:
Analise o sinal senoidal da figura, indicando a tensão de pico, a tensão pico a pico, o período e a frequência do ciclo, a
frequência angular e, por fim, v(t).
Fonte: EnsineMe
SOLUÇÃO:
Pelo gráfico, podemos extrair os seguintes dados:
Tensão de pico: 4V
Tensão de pico a pico: Vpp=8V
javascript:void(0)
Período: T=0,2s
Pelas relações matemáticas, temos:
Frequência:
F =
1
T =
1
0,2 = 5HZ
Frequência angular:
Ω = 2ΠF = 10Π RD /S
Tensão no domínio do tempo:
V(T) = VPSENΩT = 5SEN10ΠT
VALOR EFICAZ OU VALOR RMS
O valor eficaz (ou RMS) de uma onda está relacionado com o calor dissipado em uma resistência, representando,
portanto, o valor de uma tensão (ou corrente) contínua que produz a mesma dissipação de potência que a tensão (ou
corrente) periódica. É representado pelas seguintes fórmulas:
IRMS =
1
T ∫T0I2(T)DT
VRMS =
1
T ∫T0V2(T)DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando a forma de onda é senoidal, podemos escrever:
√
√
IRMS =
IP
√2
 E VRMS =
VP
√2
=
VPP
2√2
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a potência dissipada em um resistor é dada pela fórmula
P = VRMS · IRMS =
VP
√2
·
IP
√2
=
VP · I
P
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ou, como podemos verificar, também é a potência média.
 VOCÊ SABIA
A tensão e a corrente alternada exibidas em multímetros são dadas em valores eficazes.
FASE INICIAL
Quando um circuito elétrico não inicia o seu ciclo em t=0s, temos que considerar uma fase inicial θ0.
Assim, temos que reescrever a fórmula do domínio do tempo incluindo essa fase, obtendo então
V(T) = VPSEN ΩT + Θ0 .
Deve-se considerar θ0 positivo quando o ciclo é adiantado e negativo quando é atrasado.
( )
Fonte: EnsineMe
 Figura 5: Fase inicial com sinal adiantado
Fonte: EnsineMe
 Figura 6: fase inicial com sinal atrasado
ACOMPANHE NO EXEMPLO ABAIXO:
Represente graficamente os sinais senoidais:
V(T) = 20SEN(10KΠT - 30°)V
V(T) = 5SEN(2KΠT + Π /3)V
Solução:
a)
F =
Ω
2Π =
10KΠ
2Π = 5KHZ
T =
1
F =
1
5K = 0,2MS = 200ΜS
Podemos ver que o sinal está atrasado -30° e, considerando t=0s, encontramos
V(0) = 20SEN(-30°) = - 10V.
Fonte: EnsineMe
b)
F =
Ω
2Π =
2KΠ
2Π = 1KHZ
T =
1
F =
1
1K = 1MS
Podemos ver que o sinal está adiantado
Π
3 = 60° E, CONSIDERANDO T =0S, ENCONTRAMOS
V(0) = 5SEN60° = 4, 33V.
Fonte: EnsineMe
DEFASAGEM
Em circuitos elétricos, às vezes temos mais de um sinal senoidal, portanto, utilizamos a defasagem, ou seja, a diferença de
fase ∆ϕ entre dois sinais de mesma frequência.
A figura a seguir representa essa defasagem entre duas senoides e também são representadas pelas equações
V1 = VPSENΩT E V2 = VPSEN ΩT + Φ.
Podemos verificar que a soma (ω t+Φ) indica que o sinal v2 está adiantado de Φ em relação v1, ou seja, o sinal v2 se inicia
antes. Caso seja uma subtração (ω t-Φ), o comportamento é invertido, ou seja, v2 estaria atrasado em relação a v1,
portanto, se iniciaria depois.
( )
Fonte: EnsineMe
 EXEMPLO
Seja
V1(T) = 10SEN ΩT +
Π
3 E V2(T) = 5SEN ΩT -
Π
2
qual a defasagem entre os sinais?
Solução:
∆ Θ = -
Π
2 -
Π
3 = -
5Π
6 RD
Portanto, v2 está atrasado de
5Π
6 RD
em relação a v1.
( ) ( )
SENOIDES COM SENO E COSSENO
As senoides podem ser escritas com funções matemáticas cosseno e seno; porém, ao fazermos a análise das funções
(sinais), temos que escolher uma única função.
A seguir, são apresentadas as relações trigonométricas entre as duas funções.
SEN(ΩT ± 180°) = - SEN(ΩT)
SEN(ΩT ± 90°) = ± COS(ΩT)
COS(ΩT ± 180°) = - COS(ΩT)
COS(ΩT ± 90°) = ∓ SEN(ΩT)
A partir dessas relações, podemos comparar os sinais elétricos.
 EXEMPLO
Transforme o sinal
V(T) = 10SEN(ΩT + Π /3)
em uma função cosseno.
Solução:
Temos pelas relações trigonométricas que
v(t) = 10sen ωt +
π
3 = 10cos ωt +
π
3 -
π
2 = 10cos ωt -
π
6 .
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A DEFASAGEM ENTRE OS SINAIS V1(T) = 10SEN ΩT + Π/2 E
V2(T) = 5SEN ΩT -
Π
4 .
A) 
- 3π
4 rd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
- π
4 rd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
- 3π
2 rd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
π
2 rd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
π
2 rd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. CONSIDERE O SINAL V = 25 SEN(10T + 15°). DETERMINE SUA AMPLITUDE, FASE, PERÍODO
E FREQUÊNCIA.
A) Vp = 5, ϕ = 20°, T =
5
π s e f =
π
5 Hz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) Vp = 20, ϕ = 90°, T =
π
5 s e f = 
5
π Hz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) Vp = 25, ϕ = 15°, T =
10
π s e f =
π
10 Hz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) Vp = 25, ϕ = 15°, T =
π
5 s e f =
5
π Hz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( )
( )
( )
E) Vp = 20, ϕ = 90°, T =
1
10 s e f = 10 Hz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. MARQUE A CORRETA RELAÇÃO ENTRE OS SINAIS
V1 = 16SEN ΩT + 20° E V2 = 28SEN ΩT + 40° .
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) v1 está adiantado em relação a v2.
B) v2 está atrasado em relação a v1.
C) v1 e v2 estão em fase.
D) v1 está atrasado em relação a v2.
E) v2 está adiantado em 10° em relação a v1.
4. CONVERTA O SINAL SENOIDAL V = 10SEN(ΩT+20°) PARA UMA FUNÇÃO COSSENO.
A) 10cos(ωt - 90°) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 10cos(ωt + 70°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 10cos(ωt - 70°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) -10cos(ωt - 70°) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 10cos(ωt) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( )
5. DETERMINE O ÂNGULO DE DEFASAGEM ENTRE OS SINAIS V1 = 35SEN ΩT + 10° E
V2 = 65COS ΩT - 50° .
A) 40°
B) 30°
C) 90°
D) 0°
E) 60°
6. DETERMINE A FÓRMULA NO DOMÍNIO DO TEMPO DO SINAL SENOIDAL REPRESENTADO
ABAIXO:
FONTE: ENSINEME.
A) 5sen(10kπt - 20°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) -5sen(10kπt - 20°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 5sen(10kπt - 20°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 10sen(200t)
E) 10sen(200t - 20°)
GABARITO
( )
( )
1. Determine a defasagem entre os sinais v1(t) = 10sen ωt + π/2 e v2(t) = 5sen ωt -
π
4 .
A alternativa "A " está correta.
Usando a propriedade de onda senoidal e da defasagem entre sinais:
∆ θ = - π/4 - π/2 =
- 3π
4 rd
2. Considere o sinal v = 25 sen(10t + 15°). Determine sua amplitude, fase, período e frequência.
A alternativa "D " está correta.
Assista, a seguir, a um vídeo sobre a análise de um sinal senoidal.
3. Marque a correta relação entre os sinais
V1 = 16SEN ΩT + 20° E V2 = 28SEN ΩT + 40° .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Como os ângulos de fase dos dois sinais são diferentes, ϕ1 = 20°e ϕ2 = 40°, e ϕ2 > ϕ1 , temos que 𝑣2 está adiantado em
relação a 𝑣1, ou 𝑣1 está atrasado em relação a 𝑣2.
4. Converta o sinal senoidal v = 10sen(ωt+20°) para uma função cosseno.
A alternativa "C " está correta.
A relação trigonométrica entre as funções seno e cosseno pode ser dada pela fórmula sen(ωt ± 90°) = ± cos(ωt). 
Portanto,
v = 10sen(ωt + 20°) = 10cos(ωt + 20° - 90°) = 10cos(ωt - 70°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o ângulo de defasagem entre os sinais v1 = 35sen ωt + 10° e v2 = 65cos ωt - 50° .
A alternativa "B " está correta.
A relação trigonométrica entre as funções seno e cosseno pode ser dada pela fórmula senωt ± 90° = ± cos(ωt). Portanto,
colocando os dois sinais na mesma função matemática cosseno:
v1 = 35sen(ωt + 10°) = 35cos ωt + 10° - 90° = 65cos(ωt - 80°)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O ângulo de defasagem entre os dois sinais é:
∆ ϕ = - 50° + 80° = 30°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine a fórmula no domínio do tempo do sinal senoidal representado abaixo:
Fonte: EnsineMe.
A alternativa "A " está correta.
Pelo gráfico, obtemos que:
Vp = 5V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
T = 200μs ⇒ f =
1
T =
1
200μ Hz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ω = 2πf =
2π
200μ = 10kπ rd/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um estudante de engenharia está estudando os circuitos de corrente alternada no laboratório de eletrônica básica, por
meio de um osciloscópio, e pôde verificar duas ondas senoidais de tensão
V1 = 5SEN ΩT + 10° E V2 = 10SEN ΩT - 30° .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Apresente o desenho dessas duas ondas vista pelo estudante e o valor da defasagem entre as duas.
RESOLUÇÃO
Assista, a seguir, a um vídeo sobre defasagem entre tensões senoidais.
Solução:
A defasagem encontrada pelo estudante foi:
∆ ϕ = - 30° - 10° = - 40°
O desenho no osciloscópio visto pelo estudante foi:
Fonte: EnsineMe
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( ) ( )
1. CONSIDERE O SINAL V=10SEN (200T). DETERMINE SUA AMPLITUDE, FASE, PERÍODO E
FREQUÊNCIA.
A) Vp = 5, ϕ = 0°, T =
10
π sef =
π
10 Hz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) Vp = 10, ϕ = 90°, T =
π
200 sef = 
200
π Hz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) Vp = 25, ϕ = 180°, T =
10
π sef =
π
10 Hz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) Vp = 10, ϕ = 0°, T =
π
100 sef =
100
π Hz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) Vp = 20, ϕ = 90°, T =
1
200 sef = 200 Hz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. DETERMINE A FÓRMULA NO DOMÍNIO DO TEMPO DO SINAL SENOIDAL REPRESENTADO
ABAIXO:
FONTE: FONTE: ENSINEME.
A) 2sen(20kπt + 10°)
B) -2sen(10kπt - 10°)
C) 4sen(20kπt + 10°)
D) 4sen(100t)
E) 2sen(100t - 10°)
GABARITO
1. Considere o sinalv=10sen (200t). Determine sua amplitude, fase, período e frequência.
A alternativa "D " está correta.
Sabe-se que o sinal de onda é dado pela fórmula:
v = Vp sen ωt + ϕ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando a fórmula com o sinal da questão v=10 sen (10t), temos que:
Vp = 10 V, ω = 200 rd/s e ϕ = 0° 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
ω = 2πf = 200 ⇒ f =
200
2π =
100
π Hz e f =
1
T ⇒ T =
π
100 s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a fórmula no domínio do tempo do sinal senoidal representado abaixo:
Fonte: Fonte: EnsineMe.
A alternativa "A " está correta.
Pelo gráfico, obtemos que:
Vp = 2V
T = 100μs ⇒ f =
1
T =
1
100μ Hz
ω = 2πf =
2π
100μ = 20kπ rd/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
MÓDULO 3
 Definir o conceito de diagramas fasoriais
Assista, a seguir, um vídeo sobre conceito de diagramas fasoriais.
CONCEITO DE DIAGRAMA FASORIAL
Uma forma de representar o sinal senoidal é por meio de fasores ou vetores girantes de amplitude igual ao valor de pico
(Vp) do sinal e velocidade angular ω. Essa forma de representação é denominada diagrama fasorial.
Fonte: EnsineMe
 Figura 8: Diagrama fasorial
Pela figura, podemos escrever a tensão senoidal como:
V T = VPSENΩT OU V Θ = VPSENΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, ou seja, uma função senoidal.
DIAGRAMA FASORIAL E VALORES INSTANTÂNEOS
A partir do diagrama fasorial, podemos calcular os valores instantâneos de tensão para qualquer valor de θ ou ωt.
Fonte: EnsineMe
 Figura 9: Diagrama fasorial e sinal senoidal
Pelo diagrama fasorial, podemos calcular (obter) os seguintes valores instantâneos:
( ) ( )
Θ = 0° ⟹ V(Θ) = VP SEN 0° = 0;
Θ = 30° ⟹ V(Θ) = VP SEN 30° = 0, 5VP;
Θ = 60° ⟹ V(Θ) = VP SEN 60° = 0, 866VP;
Θ = 90° ⟹ V(Θ) = VP SEN 90° = VP;
E assim para quaisquer valores de θ.
FASE INICIAL
O sinal tem uma fase inicial quando um ângulo é formado entre o vetor 
¯
0P e a parte positiva do eixo horizontal, no instante
inicial t=0.
CONSEQUENTEMENTE, O VALOR INSTANTÂNEO DA TENSÃO É DADO
AGORA POR:
V(T) = VPSEN ΩT + Θ0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o ciclo iniciar adiantado θ0 é positivo, se o ciclo iniciar atrasado θ0 é negativo.
( )
Fonte: EnsineMe
 Figura 11: Sinal adiantado
Fonte: EnsineMe
 Figura 10: Sinal atrasado
REPRESENTAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS
 RELEMBRANDO
Como vimos no módulo 1, um número complexo pode ser escrito na forma polar, com módulo e fase, da mesma maneira
que a representação fasorial.
OU SEJA:
Podemos representar o sinal senoidal por um número complexo, sendo a amplitude o módulo e a fase inicial o ângulo do
número complexo. Podemos, então, escrever a expressão v(t) = Vpsen ωt + θ0 no formato de números complexos
v = Vp∠θ0 = Vpcosθ0 + jVpsenθ0.
 EXEMPLO
Escreva, na forma de números complexos, os seguintes sinais senoidais:
a)
V(T) = 20SENΩT V
b)
V(T) = 5SEN(ΩT + 45°)V
Solução:
a)
V = 20∠0° V
b)
V(T) = 5∠45°V
OPERAÇÕES COM DIAGRAMA FASORIAL E NÚMEROS
COMPLEXOS
As operações matemáticas entre tensões, correntes e potências podem ser realizadas por meio de diagrama fasorial ou
números complexos, porém somente as operações básicas, como soma e subtração, são realizadas pelo primeiro método,
por causa de suas limitações; portanto, as operações como multiplicação, divisão, entre outras, devem ser realizadas pelos
números complexos.
( )
Fonte: Shutterstock.com
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Fonte: Shutterstock.com
O método de adição e subtração das tensões, corrente e potências em formato de números complexos é o mesmo
apresentado no módulo 1. Para diagrama fasorial, utiliza-se o método do paralelogramo.
OBSERVE O EXEMPLO ABAIXO:
Realize a soma dos vetores a seguir pelo diagrama fasorial e por números complexos.
V1 = 10∠60°
V2 = 5∠ - 30°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução:
V1 + V2 = 10∠60° + 5∠ - 30° = 5 + J8,66 + 4,33 - J2,5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
V1 + V2 = 9,33 + J6,16 = 11,18∠33,42°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fonte: EnsineMe
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ENTRE FASORES
No caso de operação de multiplicação e divisão, conforme mencionamos anteriormente, basta utilizar as operações
algébricas da forma polar dos números complexos.
EXEMPLO:
Realizar a multiplicação e a divisão dos vetores a seguir por números complexos.
V1 = 10∠60°
V2 = 5∠ - 30°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução:
Temos, então, pela forma polar:
V1 · V2 = 10∠60° · 5∠ - 30° = 50∠30°
V1
V2
=
10∠60 °
5∠ - 30 ° = 2∠90°
CIRCUITOS RESISTIVOS EM CORRENTE ALTERNADA
(CA)
Quando é aplicada uma tensão alternada em uma resistência elétrica, a corrente elétrica produzida possui a mesma forma
de onda, frequência e mesma fase de tensão, porém com amplitude que depende dos valores da tensão e da resistência.
Podemos verificar essa relação a seguir.
Sabe-se que
I(T) =
V ( T )
R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, e pela forma de onda senoidal, temos
V(T) = VPSEN ΩT + Θ0 .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
( )
I(T) =
VPSEN ΩT + Θ0
R ⇒ I(T) = IPSEN ΩT + Θ0 ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo
IP =
VP
R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
o valor de pico da corrente.
Fonte: EnsineMe
 Figura 12: Circuito resistivo em corrente alternada
Podemos verificar, pela representação da forma de onda da tensão e da corrente dos circuitos resistivos em CA, que a
resistência elétrica não provoca nenhuma defasagem entre tensão e corrente:
( ) ( )
Fonte: EnsineMe
A potência dissipada pela resistência elétrica é obtida pelo produto entre tensão e corrente,
P(T) = V(T) · I(T),
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ou em função da resistência
P(T) = R · I2(T) =
V2 ( T )
R .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência de pico é, portanto, dada por
PP = VP · IP
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 RELEMBRANDO
Como apresentamos no módulo anterior, a potência de um circuito resistivo em CA é dada pela fórmula
P = Vrms · Irms =
Vp · Ip
2 .
Podemos, então, representar as tensões e correntes em valores eficazes ou valores de pico.
VALORES EFICAZES:
VRMS = VRMS∠Θ0 E IRMS = IRMS∠Θ0
VALORES DE PICO:
V = VP∠Θ0 E I = IP∠Θ0
INDUTOR EM CORRENTE ALTERNADA (CA)
Fonte: EnsineMe
Se aplicarmos uma tensão senoidal em um indutor ideal, a corrente senoidal ficará atrasada 90° em relação à tensão, ou
seja,
V(T) = VPSENΩT E I(T) = IPSEN ΩT - 90° .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência de um indutor à passagem de corrente alternada é chamada de reatância indutiva, e é dada pela
fórmula:
XL = 2ΠFL = ΩL
XL= reatância indutiva em ohm (Ω)
( )
L= indutância da bobina em henry (H)
f= frequência da corrente em hertz (Hz)
ω= frequência angular da corrente em radianos/segundo (rd/s)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, então, escrever na forma fasorial
XL = ΩL∠90° = JΩL.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba, portanto, que o indutor ideal tem fase 90°, ou seja, tem somente a parte imaginária positiva.
CIRCUITO RL SÉRIE
O circuito RL série nada mais é que uma indutância em série com um resistor.
A corrente que passa é a mesma para o indutor e o resistor, porém a tensão do indutor, comojá vimos, vL é defasada de
90° em relação à corrente, e a do resistor vR está no mesmo eixo, conforme apresentado na figura a seguir.
Podemos, então, verificar que a tensão do gerador v é a soma vetorial de vL e vR, defasado de um ângulo ϕ.
Fonte: EnsineMe
Um termo importante no circuito RL é a impedância indutiva ZL, que nada mais é que a combinação entre R e XL.
Como
XL =
VL
I =
VL∠90 °
I∠0 ° = JXL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
R =
VR
I =
VL∠0 °
I∠0 ° = R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
então, podemos escrever a impedância indutiva como
ZL = R + JXL OU ZL = R + JΩL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Escrevendo sua forma polar:
ZL = R2 + X2
L E Φ = ARCTG
XL
R .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CIRCUITO RL PARALELO
Fonte: EnsineMe
Neste circuito, temos a impedância equivalente dada pela fórmula:
| | √
1
ZL
=
1
R +
1
JXL
 E Φ = ARCTG
R
XL
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CAPACITOR EM CORRENTE ALTERNADA
Quando uma tensão senoidal é aplicada a um capacitor, ao contrário do indutor, a corrente fica adiantada de 90° em
relação à tensão, ou seja,
V(T) = VPSENΩT E I(T) = IPSEN ΩT + 90°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fonte: EnsineMe
A resistência que o capacitor oferece à variação de corrente é chamada de reatância capacitiva e é dada pela
fórmula:
XC =
1
2ΠFC =
1
ΩC
Xc= reatância capacitiva em ohm (Ω)
C= capacitância do capacitor em farad (F)
f= frequência da corrente em hertz (Hz)
ω= frequência angular da corrente em radianos/segundo (rd/s)
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos escrever na forma fasorial
XC =
1
ΩC∠ - 90° = - J
1
ΩC =
1
JΩC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba, portanto, que o capacitor tem fase -90°, ou seja, tem somente a parte imaginária negativa.
CIRCUITO RC SÉRIE
O circuito RC série nada mais é que um capacitor em série com um resistor.
A corrente que passa é a mesma para o capacitor e o resistor; porém, a tensão do capacitor, como vimos, vC é defasado
de 90° em relação à corrente, e a do resistor vR está no mesmo eixo, conforme apresentado na figura a seguir.
Podemos verificar que a tensão do gerador v é a soma vetorial de vC e vR, defasado de um ângulo ϕ.
Fonte: EnsineMe
 ATENÇÃO
Um termo importante no circuito RC é a impedância capacitiva ZC, que nada mais é que a combinação entre R e XC.
Como
XC =
VC
I =
VC∠0 °
I∠90 ° = - JXC
e
R =
VR
I =
VR∠0 °
I∠0 ° = R
então podemos escrever a impedância indutiva como
ZC = R - JXC OU ZC = R - J
1
ΩC .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Escrevendo sua forma polar:
ZC = R2 + X2
C E Φ = ARCTG
- XC
R .
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CIRCUITO RC PARALELO
Fonte: EnsineMe
Neste circuito, temos a impedância equivalente dada pela fórmula:
1
ZC
=
1
R +
1
- JXC
 E Φ = - ARCTGΩCR.
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| | √
CIRCUITO RLC SÉRIE
O circuito RLC série é composto por um resistor, um indutor e um capacitor, todos ligados em série. Como já vimos,
podemos verificar no diagrama fasorial que a tensão no resistor está em fase com a corrente, a tensão do indutor está
adiantada 90° e a tensão do capacitor, atrasada em 90° em relação à corrente.
Fonte: EnsineMe
A impedância equivalente do circuito RLC é obtida pela fórmula
Z = R + J XL - XC OU Z = R + J ΩL -
1
ΩC
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Escrevendo sua forma polar:
ZC = R2 + XL - XC
2 E Φ = ARCTG
XL - XC
R
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Podemos classificar esse circuito em três:
INDUTIVO:
XL > XC ⇒ Φ > 0°
( ) ( )
| | √ ( ) ( )

CAPACITIVO:
XL XC ⇒ Φ 0°;

RESISTIVO:
XL = XC ⇒ Φ = 0°.
MÃO NA MASSA
( )
1. QUAL É O VALOR DA REATÂNCIA DE UM CAPACITOR DE 5ΜF NA FREQUÊNCIA DE 60HZ?
A) 530,5Ω
B) 1061,03Ω
C) 333Ω
D) 500Ω
E) 200Ω
2. OS VALORES DA MULTIPLICAÇÃO E DA DIVISÃO DOS FASORES
V1 = 5∠10°V E V2 = 2∠30°V SÃO RESPECTIVAMENTE:
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HORIZONTAL
A) 10∠20°e 2, 5∠40°
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B) 2, 5∠40°e 10∠20°
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C) 10∠300°e 0, 1∠10°
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D) 2, 5∠300°e 10∠ - 20°
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E) 10∠40° e 2, 5∠ - 20°
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3. DADO O CIRCUITO A SEGUIR, DETERMINE O VALOR DA CORRENTE E TENSÃO NO
RESISTOR E CAPACITOR.
FONTE: ENSINEME
A) 7∠36,87° Arms, 40∠36,87° Vrms e 30∠ - 53,13° Vrms
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B) 20∠0° Arms, 80∠90° Vrms e 60∠ - 45° Vrms
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C) 20∠ - 36,87° Arms, 20∠ - 36,87° Vrms e 30∠53,13° Vrms
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D) 7∠0° Arms, 20∠0° Vrms e 30∠ - 45° Vrms
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E) 20∠36,87° Arms, 80∠36,87° Vrms e 60∠ - 53,13° Vrms
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4. DETERMINE A CORRENTE DO CIRCUITO RLC APRESENTADO ABAIXO, COM FREQUÊNCIA
F=50KHZ.
FONTE: ENSINEME.
A) 1∠90° A
B) 0,1∠ - 70,47° A
C) 0,1∠0° A
D) 30∠70,47° A
E) 1∠ - 90° A
5. DETERMINE A CORRENTE I DO CIRCUITO RLC PARALELO, DADO
XL = 20Ω, XC = 50Ω E R = 100Ω.
FONTE: ENSINEME.
A) 0,2∠0° A
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B) 0,3∠90° A
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C) 0,1∠53° A
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D) 0,32∠71,6° A
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E) 0, 32∠ - 71, 6°A
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6. UM CIRCUITO RLC EM SÉRIE COM XL· 2∠10° + 30° = 10∠40°
v1
v2
=
5
2∠10° - 30° = 2, 5∠ - 20°
( )
( )
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3. Dado o circuito a seguir, determine o valor da corrente e tensão no resistor e capacitor.
Fonte: EnsineMe
A alternativa "E " está correta.
Temos a forma complexa da impedância do circuito em série:
Zc = R - jXc = 4 - j3Ω
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O módulo de Zc:
Zc = √42 + 32 = √25 = 5Ω
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E o ângulo fasorial:
ϕ = arctg
- 3
4 = - 36,87°
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Podemos, então, rescrever na forma fasorial a impedância do circuito como
Zc = 5∠ - 36,87°Ω
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Logo, temos a corrente do circuito:
i =
V
Zc
=
100∠0 °
5∠ - 36,87 ° = 20∠36,87° Arms
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E as tensões no resistor e no capacitor:
VR = Ri = 4∠0° · 20∠36,87° = 80∠36,87° Vrms
VC = Xci = 3∠ - 90° · 20∠36,87° = 60∠ - 53,13° Vrms
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| |
4. Determine a corrente do circuito RLC apresentado abaixo, com frequência f=50kHz.
Fonte: EnsineMe.
A alternativa "B " está correta.
Assista, a seguir, a um vídeo sobre exemplo de um circuito RLC.
5. Determine a corrente i do circuito RLC paralelo, dado XL = 20Ω, XC = 50Ω e R = 100Ω.
Fonte: EnsineMe.
A alternativa "E " está correta.
A corrente em cada componente do circuito é:
iR =
v
R =
10∠0 °
100 = 0,1∠0°A = 0,1 A
iC =
v
XC
=
10∠0 °
50∠ - 90 ° = 0,2∠90°A = j0,2A
iL =
v
XL
=
10∠0 °
20∠90 ° = 0,5∠ - 90°A = - j0,5A
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A corrente total i do circuito é:
i = iR + iR + iL = 0,1 + j0,2 - j0,5 = 0,1 - j0,3 A = 0,32∠ - 71,6° A
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6. Um circuito RLC em série com XL