Noções Sobre Corrente Alternada Senoidal

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DESCRIÇÃO
Introdução à análise de circuitos em corrente alternada (CA) em regime permanente senoidal, técnicas de análise de circuitos CA, circuitos CA trifásicos e potência CA.
PROPÓSITO
Compreender as relações entre tensão e corrente em regime de CA senoidal para fins de resolução de circuitos no domínio da frequência. Apresentar o sistema trifásico e a relação
de potências em CA.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e, se possível, uma calculadora científica para facilitar seus cálculos com números complexos.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Formular a relação entre tensão e corrente em regime permanente senoidal
MÓDULO 2
Aplicar técnicas de resolução de circuitos em CA no domínio da frequência
MÓDULO 3
Reconhecer sistemas trifásicos e relações de potência CA
NOÇÕES SOBRE CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL
MÓDULO 1
 Formular a relação entre tensão e corrente em regime permanente senoidal
RELAÇÃO ENTRE TENSÃO E CORRENTE EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL
RELAÇÃO ENTRE TENSÃO E CORRENTE
AS TENSÕES SENOIDAIS DISPONIBILIZADAS PARA USO EM RESIDÊNCIAS, INDÚSTRIAS E APLICAÇÕES EM GERAL
SÃO ORIGINADAS EM GERADORES DE CA.
Entender a origem dos sinais alternados senoidais é o primeiro passo para aplicar as relações entre tensões e correntes alternadas para solução de circuitos com fontes variáveis.
A figura a seguir ilustra a forma de onda de um sinal senoidal, que se repete em intervalos definidos. É possível dizer então que se trata de um sinal periódico.
Imagem: Shutterstock.com.
 Figura 1: Forma de onda senoidal.
Esse sinal periódico senoidal pode ser modelado por uma função cosseno (Equação 1). Por se tratar de um sinal que se repete, é possível obter sua frequência, que é o número de
ciclos por segundo, medida em Hertz (Hz) ou radianos por segundo .
(1)
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Na Equação 1 é possível ainda observar o ângulo ∅, denominado ângulo de fase do sinal senoidal. Ele determina o deslocamento da função no eixo de tempo (Figura 2). Essa forma
de onda senoidal pode ser a representação de qualquer forma de onda alternada, como tensões, correntes ou potências.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 2: Defasagem entre senoides.
O valor na figura acima refere-se ao valor máximo da amplitude do sinal, tanto no semiciclo positivo quanto no semiciclo negativo. Esse valor também é conhecido como valor de
pico, de modo que a amplitude total, entre os valores máximos positivo e negativo, é denominada valor de pico a pico , dado pela Equação 2:
(2)
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A expressão matemática geral que representa um sinal senoidal é dada pela Equação 3.
(3)
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Em que é a amplitude máxima (de pico) do sinal e é o argumento do sinal, determinado pelo produto da frequência angular com o período do ciclo desse sinal.
 EXEMPLO
Considere a forma de onda de tensão senoidal da próxima figura. Essa tensão apresenta um valor de pico de 10 V, um período de oscilação de 0,8 s (tempo gasto para completar um
ciclo de onda) e uma frequência de 1,25 Hz (quantidade de ciclos por segundo ou o inverso do período).
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Em que f é a frequência em Hertz e T, o período em segundos.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 3: Exemplo 1.
 EXEMPLO
Sejam e duas tensões senoidais. Determine a frequência desses sinais em Hz e o ângulo de fase entre elas.
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A frequência em Hz é dada por:
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Já o ângulo de fase entre os sinais é dado por:
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VALOR MÉDIO DE UM SINAL SENOIDAL
O VALOR MÉDIO DE UM SINAL SENOIDAL É SIMPLESMENTE A MÉDIA DESSE SINAL AO LONGO DE UM PERÍODO.
Tal valor pode ser entendido como a componente CC presente no sinal CA. Na figura a seguir o valor médio do sinal é a área sob a curva do gráfico.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 4: Definição de valor médio.
 ATENÇÃO
Para um sinal senoidal simétrico ao eixo x, a média será zero, pois os valores dos semiciclos positivo e negativo se anulam no cálculo da média.
VALOR EFICAZ (RMS) DE UM SINAL SENOIDAL
 SAIBA MAIS
O valor eficaz ou rms (do inglês root mean square, valor quadrado médio) refere-se à medida de um sinal CA que dissipa a mesma potência em uma resistência alimentada por um
sinal CC.
O valor rms para sinais senoidais é dado pela Equação 4:
(4)
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Em que é a amplitude máxima ou de pico do sinal.
 COMENTÁRIO
As tensões indicadas pelas empresas de energia em instalações residenciais, por exemplo (127 V ou 220 V), já são valores rms.
FASORES
As expressões que representam um sinal CA senoidal, como o descrito na Equação 3, podem ser expressas de forma mais simplificada utilizando fasores.
FASORES SÃO VETORES QUE GIRAM EM CÍRCULO NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO A DADA VELOCIDADE ANGULAR
CONSTANTE.
Para exemplificar como eles são representados, considere a Equação 5 que descreve uma tensão senoidal:
(5)
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Para descrever esse sinal de tensão completamente, basta conhecer seu valor máximo e seu ângulo de fase. Dessa forma, essa tensão pode ser representada por um número
complexo na forma polar:
NÚMERO COMPLEXO
Lembrando que a representação de números complexos em temas de eletricidade é feita com a letra em vez da letra .
(6)
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A Equação 6 é definida como um fasor, representado em negrito para diferenciá-lo de outros números complexos.
Uma senoide pode ser representada por um conjunto de fasores de amplitude constante (Figura 5). Conforme o sinal senoidal ocorre ao longo do tempo, o fasor (vetor no ciclo
trigonométrico) assume posições angulares (ou fases) diferentes.
Quando essa senoide completa um ciclo, o fasor completa um giro, de modo que pode ser denominado como um vetor girante.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 5: Relação gráfica entre sinal senoidal e fasor.
 ATENÇÃO
Grandezas defasadas – Quando duas ou mais senoides de mesma frequência não atingem seus respectivos valores máximos no mesmo instante do tempo, diz-se que elas estão
defasadas.
Grandezas em fase – Quando duas ou mais senoides de mesma frequência (com a mesma amplitude ou não) atingem seus respectivos valores máximos no mesmo instante, diz-se
que elas estão em fase.
RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE PARA FASORES
Considerando que as tensões e correntes em um circuito de CA podem ser representadas na forma de fasores, é importante conhecer a relação entre essas grandezas para os
elementos do circuito, ou seja:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
RESISTORES
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
INDUTORES
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
CAPACITORES
Essa relação tem como base a própria Lei de Ohm, com o fator de proporcionalidade sendo uma constante ou uma função da frequência . No caso dos resistores, tem-se:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 6: Resistor alimentado por uma fonte senoidal.
(7)
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Em que:
(8)
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(9)
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Considerando as Equações 8 e 9 na forma polar e substituindo na Equação 7, a Lei de Ohm para os resistores será dada por:
(10)
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Sendo e os fasores de tensão e corrente, respectivamente. Dessa forma, a representaçãofasorial para a relação entre tensão e corrente em resistores é:
(11)
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 ATENÇÃO
Para os resistores, a relação fasorial no domínio da frequência é igual à relação do domínio do tempo, de modo que os ângulos de tensão e corrente são iguais e são ditos
em fase.
Para o indutor, é preciso primeiro relembrar a sua relação no domínio do tempo:
 
(12)
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A representação complexa da Equação 12 é dada pela Equação 13:
(13)
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Assim, sua representação na forma de fasores é:
(14)
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O fator de proporcionalidade para a Lei de Ohm aplicada ao indutor é . A corrente será atrasada em 90° em relação à tensão.
Para o caso do capacitor, sua relação no domínio do tempo é dada por:
(15)
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A partir da mesma análise feita para o indutor, a Equação 15 pode ser fasorialmente representada por:
(16)
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A Equação 16 demonstra que a corrente e a tensão estão novamente fora de fase. Nesse caso, para o capacitor, a corrente está adiantada 90° em relação à tensão.
A Tabela 1 traz um resumo da relação entre tensão e corrente para os três componentes abordados: resistores, indutores e capacitores.
Elemento Domínio do tempo Domínio da frequência
Tabela 1: Relação entre tensão e corrente nos elementos. Elaborado por Isabela Oliveira Guimarães.
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TEORIA NA PRÁTICA
Considere que a equação senoidal a seguir representa tensão em um indutor. Utilizando os conceitos vistos anteriormente, converta essa tensão para sua representação na forma
fasorial.
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RESOLUÇÃO
Considerando a representação geral de um sinal senoidal, conforme a Equação 5, tem-se:
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Para determinar sua representação fasorial, basta conhecer o valor máximo da tensão e seu ângulo de fase :
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Assim, a representação fasorial do problema será dada por:
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RESOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. AS INFORMAÇÕES DA FORMA DE ONDA DE TENSÃO ALTERNADA MEDIDAS POR UM ENGENHEIRO FORAM:
PARA FAZER UM ESTUDO MAIS APROFUNDADO DO SISTEMA, FOI NECESSÁRIO CONHECER O PERÍODO DESSA SENOIDE, QUE TEM O
VALOR DE:
A) 60 segundos
B) 16,6 segundos
C) 0,016 segundos
D) 0,16 segundos
E) 1,6 segundos
2. PARA OS SINAIS E , É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) está avançada em relação a em 30°;
B) está avançada em relação a em 60°;
C) está atrasada em relação a em 30°;
D) está avançada em relação a em 60°;
E) e estão em fase.
3. PARA OS SINAIS SENOIDAIS E , O ÂNGULO DE FASE ENTRE ELES É DADO POR:
A) 30°
B) 45°
C) 50°
D) 55°
E) 60°
4. DADA A TENSÃO SENOIDAL REPRESENTADA POR , A EQUAÇÃO QUE A REPRESENTA NO DOMÍNIO DO TEMPO É:
A) 
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B) 
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C) 
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D) 
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E) 
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5. O FASOR QUE MELHOR REPRESENTA O SINAL DE CORRENTE É DADO POR:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
6. A PARTIR DAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ENTRE SENO E COSSENO, O VALOR REFERENTE À DEFASAGEM ANGULAR DAS
CORRENTES E É DADA POR:
A) 
B) 
C)
D) 
E) 
GABARITO
1. As informações da forma de onda de tensão alternada medidas por um engenheiro foram: 
Para fazer um estudo mais aprofundado do sistema, foi necessário conhecer o período dessa senoide, que tem o valor de:
A alternativa "C " está correta.
O período de um sinal senoidal é dado pelo inverso de sua frequência. Para o problema proposto, a frequência angular é . Dessa forma, o período será:
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2. Para os sinais e , é correto afirmar que:
A alternativa "A " está correta.
3. Para os sinais senoidais e , o ângulo de fase entre eles é dado por:
A alternativa "D " está correta.
Considerando a representação complexa de um sinal senoidal na forma
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tem-se que θ é denominado ângulo de fase do sinal.
Dessa forma, o ângulo de fase entre as tensões e descritas será:
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4. Dada a tensão senoidal representada por , a equação que a representa no domínio do tempo é:
A alternativa "A " está correta.
A tensão senoidal oferecida é um número complexo, representado na forma retangular. Utilizando relações trigonométricas no plano imaginário, a sua representação na forma polar
será:
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A partir da representação fasorial, em que se conhece facilmente o valor máximo e o ângulo de fase da tensão, é possível obter sua equação no domínio do tempo:
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5. O fasor que melhor representa o sinal de corrente é dado por:
A alternativa "D " está correta.
É necessário tornar a função seno positiva e convertê-la para função cosseno:
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6. A partir das relações trigonométricas entre seno e cosseno, o valor referente à defasagem angular das correntes e é
dada por:
A alternativa "E " está correta.
A partir das regras trigonométricas de conversão de seno e cosseno, tem-se:
Logo, 
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Para converter a função seno para cosseno basta subtrair , então:
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Como o ângulo de fase de e , a defasagem entre essas correntes será de .
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. EM UM CIRCUITO ELÉTRICO EM SÉRIE HÁ DUAS TENSÕES, E , DADAS POR E ,
RESPECTIVAMENTE. O VALOR QUE REPRESENTA A TENSÃO EQUIVALENTE DESSE CIRCUITO, OU SEJA, , É DADA POR:
A) 
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B) 
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C) 
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D) 
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E) 
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2. UM CAPACITOR DE É SUBMETIDO A UMA CORRENTE SENOIDAL CUJO VALOR É . NESSA SITUAÇÃO, A
TENSÃO NO CAPACITOR VALE:
A) 
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B) 
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C) 
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D) 
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E) 
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GABARITO
1. Em um circuito elétrico em série há duas tensões, e , dadas por e , respectivamente. O valor que representa a tensãoequivalente desse circuito, ou seja, , é dada por:
A alternativa "D " está correta.
Inicialmente é interessante converter as tensões para suas formas fasoriais:
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Como os sinais são somados no circuito em série, a solução mais fácil é converter novamente os sinais para sua forma retangular a fim de somar as partes reais e imaginárias e
posteriormente colocar o resultado no formato das alternativas.
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Portanto, a alternativa que representa a soma das tensões e é:
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2. Um capacitor de é submetido a uma corrente senoidal cujo valor é . Nessa situação, a tensão no capacitor vale:
A alternativa "E " está correta.
A partir da relação entre tensão e corrente no capacitor:
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MÓDULO 2
 Aplicar técnicas de resolução de circuitos em CA no domínio da frequência
TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS CA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
REATÂNCIA INDUTIVA E CAPACITIVA
Lembramos que um resistor, atravessado por uma corrente, apresenta uma oposição à passagem dessa corrente que chamamos de resistência.
O COMPORTAMENTO DE UMA RESISTÊNCIA TANTO NA CORRENTE CONTÍNUA (CC) QUANTO NA CORRENTE
ALTERNADA (CA) É O MESMO. O RESISTOR, QUANDO SUBMETIDO A UMA CORRENTE, DISSIPA CALOR ATRAVÉS DO
EFEITO JOULE.
No entanto, quando tratamos de indutores e capacitores, há um comportamento diferente nos regimes de CC e CA. Um indutor em regime de CC funciona como um curto-circuito,
mas, na CA, o indutor é carregado e descarregado na mesma frequência da senoide, o que gera um comportamento de oposição à passagem da corrente alternada. Esse efeito,
semelhante ao da resistência, é a reatância indutiva, e é representado por .
Imagem: Shutterstock.com.
Um capacitor em regime de CC funciona como um circuito aberto, mas na CA o capacitor é carregado e descarregado na mesma frequência da senoide, o que gera um
comportamento de oposição à passagem da corrente alternada. Esse efeito, semelhante ao da resistência, é a reatância capacitiva, e é representado por .
IMPEDÂNCIA DO CIRCUITO
Em CA, a relação entre tensão e corrente referente às resistências e reatâncias do circuito, deve ser feita utilizando fasores, conforme detalhado no Módulo 1.
TAL RELAÇÃO NORMALMENTE RESULTA NA EXPRESSÃO DOS COMPONENTES DO CIRCUITO COMO NÚMEROS
COMPLEXOS, O QUE SERÁ TRATADO COMO A IMPEDÂNCIA DE CADA ELEMENTO.
Considere as relações entre tensão e corrente para os três componentes estudados: resistor, indutor e capacitor no domínio da frequência.
(17)
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Essas relações são a representação da Lei de Ohm na forma fasorial, de modo que é possível reescrevê-las como:
(18)
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Nessa representação, a relação é chamada de impedância do dispositivo, representada por , medida em ohms . Apesar de ser dada pela relação entre dois fasores, a
impedância não pode ser considerada um fasor, visto que não varia como uma senoide. A impedância dos três componentes de circuito ( , e ) é dada por:
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Dessa forma, a impedância de um componente pode ser definida como sua capacidade de se opor a uma corrente senoidal, que possui módulo e frequência.
 ATENÇÃO
Para o resistor (também chamado de elemento ativo), é possível observar que a impedância é seu próprio valor de resistência à oposição de passagem de corrente. Para os
indutores e capacitores (também chamados de elementos passivos), sua impedância será o que definimos com reatância . A impedância também pode representar as
características de partes ou de todo um circuito formado pelos elementos , e .
Assim, para um circuito elétrico, a impedância pode ser apresentada como a combinação entre as partes ativa e reativa do circuito por um número complexo em sua forma retangular:
(19)
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Na Equação 19, corresponde à parcela ativa (ou resistiva) do circuito, enquanto corresponde à parcela reativa, também denominada reatância do circuito.
 VOCÊ SABIA
A impedância é considerada indutiva quando é positiva ou capacitiva quando é negativa. Do mesmo modo que a impedância, a reatância também é medida em ohms.
A partir das relações trigonométricas de números complexos, é possível calcular o módulo e o ângulo da impedância de um circuito a partir de suas componentes resistivas e reativas:
(20)
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(21)
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Graficamente, essas relações são representadas da seguinte forma:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 7: Representação gráfica da impedância.
 EXEMPLO
Em um circuito elétrico alimentado com corrente senoidal, os componentes são desconhecidos, e foram medidas as seguintes grandezas fasoriais: e . A
impedância desse circuito será dada por:
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A partir da Equação 20 é possível determinar a impedância em sua forma retangular, de modo a extrair suas componentes resistivas e reativas:
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Ou seja, o circuito descrito possui uma resistência de e uma reatância indutiva de .
ADMITÂNCIA DO CIRCUITO
Em muitas situações de análise, é indicado solucionar circuitos utilizando a grandeza inversa da impedância . A admitância é a grandeza inversa à impedância (análoga à
condutância em circuitos CC), cuja unidade de medida é siemens (ou mhos):
(22)
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Do mesmo modo que a impedância, a admitância é um número complexo; logo, pode ser descrita em seu formato retangular:
(23)
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Em que é chamada condutância e é a susceptância
(24)
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 ATENÇÃO
O fato de inverter separadamente a resistência ou a reatância de um circuito não fornece a condutância e susceptância correspondentes. Por se tratar de grandezas complexas, o
cálculo leva em conta as relações trigonométricas:
(25)
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LEIS DE KIRCHHOFF PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS CA
Da mesma forma que na análise de circuitos CC, as Leis de Kirchhoff das Tensões (LKT) e das Correntes (LKC) são igualmente válidas para análise de circuitos CA no domínio da
frequência, através dos fasores.
Para a LKT, o somatório das tensões em uma malha de circuito é zero, de modo que, na forma fasorial, tem-se:
(26)
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Em que:
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Para a LKC, é válida relação semelhante. O somatório das correntes em um nó de circuito é zero, de modo que, na forma fasorial, tem-se:
(27)
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Sendo:
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Em um circuito que contém N impedâncias associadas em série e alimentadas por uma fonte senoidal (Figura 8), fluirá uma única corrente fasorial através de todos os elementos,
conforme as Leis de Kirchhoff. Dessa forma, a tensão em cada um será dada por:
(28)
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Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 8: N impedânciasem série.
A partir da LKT:
(29)
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Sendo a impedância equivalente, dada pelo somatório das impedâncias ligadas em série no circuito:
(30)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É fácil observar que o cálculo da impedância equivalente é semelhante ao cálculo de resistência equivalente em circuitos CC. De modo semelhante, o inverso complexo da
impedância é a admitância , muito conveniente em circuitos com componentes ligados em paralelo, conforme Figura 9:
(31)
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Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 9: impedâncias em paralelo.
Neste caso, a impedância equivalente é dada por
(32)
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E a admitância equivalente é dada por
(33)
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 EXEMPLO
Para o circuito da figura abaixo, com duas impedâncias ligadas em série e alimentadas por uma fonte senoidal, as tensões e são dadas por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 10: Divisor de tensão.
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Essa é a mesma relação de divisor de tensão já conhecida para circuitos CC. A relação de divisor de corrente também é válida em circuitos com impedâncias ligadas em paralelo.
ANÁLISE NODAL
As relações entre tensão e corrente são igualmente válidas em circuitos alimentados com fontes alternadas, de modo que as Leis de Kirchhoff das tensões e correntes podem ser
aplicadas na análise de circuitos. O método de análise nodal para circuitos com fasores é demonstrado no exemplo a seguir, utilizando a LKC.
 EXEMPLO
Determine e no circuito a seguir utilizando a análise nodal.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 11: Circuito do exemplo.
É necessário aplicar a LKC aos nós 1 e 2. Suas equações serão:
Para o nó 1:
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Para o nó 2:
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As equações dos nós 1 e 2 podem ser representadas matricialmente:
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Resolvendo o sistema linear, os valores de e são:
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ANÁLISE DE MALHAS
Com base na LKT é possível formular o método de análise de malhas para solução de circuitos com fasores. Veja sua aplicação ilustrada a seguir:
 EXEMPLO
Utilizando análise de malhas, determine as correntes e no circuito abaixo:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
Aplicando a LKT à malha 1, tem-se:
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As equações das malhas 1 e 2 podem ser representadas matricialmente como:
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Resolvendo o sistema linear, as correntes e são:
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TEOREMAS DE REDE
Exceto pela característica variante no tempo das tensões e correntes senoidais, os teoremas utilizados para análise CC são igualmente válidos a circuitos fasoriais lineares.
SUPERPOSIÇÃO
TRANSFORMAÇÃO DE FONTES
THÉVENIN
NORTON
SUPERPOSIÇÃO
O teorema da superposição, para circuitos elétricos, afirma que a corrente elétrica total em qualquer ramo de um circuito bilateral linear é igual à soma algébrica das correntes
produzidas por cada fonte atuando separadamente no circuito.
TRANSFORMAÇÃO DE FONTES
O teorema da transformação permite converter fontes de tensão com resistência interna em fontes de corrente.
THÉVENIN
O teorema de Thévenin estabelece que qualquer circuito linear visto de um ponto, pode ser representado por uma fonte de tensão em série com uma impedância.
NORTON
O teorema de Norton afirma que qualquer fontes de tensão, fonte de corrente, e resistor, com dois terminais, é eletricamente equivalente a uma fonte de corrente ideal, , em paralelo
com um único resistor, .
 ATENÇÃO
Em circuitos com fontes múltiplas operando com frequências diferentes, a resposta final deve ser dada pela soma das contribuições dessas fontes no domínio do tempo, visto que não
se deve somar fasores com frequências distintas.
TEORIA NA PRÁTICA
Determine o circuito equivalente de Thévenin para os pontos a e b:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 12: Circuito referente ao Teoria na Prática.
RESOLUÇÃO
Para encontrar a impedância equivalente de Thévenin, é necessário desativar as fontes do circuito. Neste caso, as fontes de corrente são um circuito aberto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a LKT na malha que contém os pontos a e b, encontra-se a tensão equivalente de Thévenin:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. A IMPEDÂNCIA EQUIVALENTE DO CIRCUITO ABAIXO É REPRESENTADA POR:
 FIGURA 13: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 1.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. CONSIDERANDO O CIRCUITO A SEGUIR, O VALOR DE SUA ADMITÂNCIA EQUIVALENTE É DADA POR:
 FIGURA 14: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 2.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. AQUI, O CIRCUITO É ALIMENTADO POR UMA FONTE DE TENSÃO ALTERNADA DE . O VALOR DA CORRENTE QUE CIRCULA
PELOS ELEMENTOS É DE APROXIMADAMENTE:
 FIGURA 15: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 3.
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. A PARTIR DA ANÁLISE NODAL, O VALOR DA TENSÃO NO CIRCUITO DA FIGURA É:
 FIGURA 16: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 4.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. PARA O CIRCUITO DESTA FIGURA, O VALOR DA IMPEDÂNCIA EQUIVALENTE DE THÉVENIN ENTRE OS TERMINAIS A E B É DADO POR:
 FIGURA 17: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 5.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
6. NESTE CIRCUITO, O FASOR QUE MELHOR REPRESENTA A CORRENTE QUE CIRCULA NO RESISTOR DE 1 Ω É DADO POR:
 FIGURA 18: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 6.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. A impedância equivalente do circuito abaixo é representada por:
 Figura 13: Circuito do Exercício 1.
A alternativa "A " está correta.
A impedância equivalente série é dada pela soma das impedâncias dos elementos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considerando o circuito a seguir, o valor de sua admitância equivalente é dada por:
 Figura 14: Circuito do Exercício 2.
A alternativa "C " está correta.
3. Aqui, o circuito é alimentado por uma fonte de tensão alternada de . O valor da corrente que circula pelos elementos é de aproximadamente:
 Figura 15: Circuito do Exercício 3.
A alternativa "B " está correta.
A impedância equivalente do circuito é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Ohm, a corrente i no circuito será, na forma fasorial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. A partir da análise nodal, o valor da tensão no circuito da figura é:
 Figura 16: Circuito do Exercício 4.
A alternativa "B " está correta.
Utilizando a análise nodal a partir de , tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Para o circuito desta figura, o valor da impedância equivalente de Thévenin entre os terminais a e b é dado por:
 Figura 17: Circuito do Exercício 5.
A alternativa "D " está correta.
Inicialmente, é necessário calcular a reatância do capacitor e do indutor.De acordo com a tensão da fonte, a frequência é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o capacitor:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o indutor:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para determinar a impedância equivalente de Thévenin, é necessário desativar as fontes do circuito e calcular o equivalente visto a partir dos pontos a e b. A fonte de tensão é
substituída por um curto-circuito:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Neste circuito, o fasor que melhor representa a corrente que circula no resistor de 1 Ω é dado por:
 Figura 18: Circuito do Exercício 6.
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente, deve-se calcular a impedância de entrada, ou impedância equivalente vista pela fonte. As reatâncias do indutor e capacitor serão dadas por:
Para o indutor:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o capacitor:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A impedância equivalente é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente no resistor é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UTILIZANDO A ANÁLISE NODAL, A CORRENTE QUE CIRCULA PELO CAPACITOR DO CIRCUITO ABAIXO É DADA POR:
 FIGURA 19: CIRCUITO DA ATIVIDADE 1.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. A PARTIR DA ANÁLISE DE MALHAS DO CIRCUITO A SEGUIR, A CORRENTE QUE CIRCULA PELO CAPACITOR É REPRESENTADA POR:
 FIGURA 20: CIRCUITO DA ATIVIDADE 2.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Utilizando a análise nodal, a corrente que circula pelo capacitor do circuito abaixo é dada por:
 Figura 19: Circuito da Atividade 1.
A alternativa "B " está correta.
A impedância equivalente vista pelos terminais da fonte é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente que sai da fonte é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando o divisor de corrente, a corrente que circula pelo capacitor será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A partir da análise de malhas do circuito a seguir, a corrente que circula pelo capacitor é representada por:
 Figura 20: Circuito da Atividade 2.
A alternativa "A " está correta.
A frequência da fonte é de . A partir dessa frequência, calculam-se as reatâncias do indutor e do capacitor:
Para o indutor:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o capacitor:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a LKT na malha 1:
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Aplicando a KKT na malha 2:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da representação matricial das equações para as duas malhas e a solução do sistema linear, tem-se:
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MÓDULO 3
 Reconhecer sistemas trifásicos e relações de potência CA
POTÊNCIA CA E SISTEMAS TRIFÁSICOS
POTÊNCIAS
Em virtude das limitações dos componentes em eletricidade, a potência é uma das mais importantes grandezas a se conhecer para o funcionamento correto de um circuito.
A POTÊNCIA ELÉTRICA ESTÁ DIRETAMENTE RELACIONADA COM A CAPACIDADE DE TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA
ENTRE PARTES DO CIRCUITO, DE MODO QUE NÃO DEVE SER PERMITIDA A OPERAÇÃO ACIMA DA CHAMADA
POTÊNCIA NOMINAL, QUE É O MÁXIMO VALOR ADMISSÍVEL PARA AQUELE COMPONENTE SEM QUE SEJA CAUSADO
ALGUM DANO.
A partir das relações entre tensão e corrente em regime senoidal, é possível definir os principais conceitos relacionados à potência em corrente alternada (CA), como potência:
INSTANTÂNEA

MÉDIA

EFICAZ

COMPLEXA
A POTÊNCIA INSTANTÂNEA DE UM CIRCUITO É O PRODUTO DA TENSÃO INSTANTÂNEA COM A CORRENTE
INSTANTÂNEA , SENDO MEDIDA EM WATTS (W)
(34)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A POTÊNCIA INSTANTÂNEA VARIA COM O TEMPO, DE MODO QUE É MUITO DIFÍCIL MEDI-LA, EM VIRTUDE DA
FREQUÊNCIA DO SINAL ALTERNADO, NORMALMENTE 60 HZ.
Uma forma comum de se medir potência em circuitos com CA é através da potência média , que se refere à média da potência instantânea ao longo de um período do sinal
alternado. Matematicamente, a potência média é dada por:
(35)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que e são os valores máximos da tensão e corrente, e são os ângulos dos fasores de tensão e corrente. Já em circuitos puramente resistivos, , de modo que
a Equação 35 corresponde a uma potência nula. Dessa forma, é fácil perceber que em circuitos resistivos a potência é máxima.
 ATENÇÃO
Em circuitos reativos (indutivos ou capacitivos), , ou seja, a potência média é zero para circuitos puramente reativos.
A POTÊNCIA EFICAZ É A QUANTIDADE DE POTÊNCIA ENTREGUE POR UMA FONTE ALTERNADA QUE DEPENDE DE
SUA FORMA DE ONDA.
Dessa maneira, é preciso utilizar um método capaz de comparar essa potência fornecida por diferentes fontes, o que é possível medindo os valores eficazes dessa fonte, ou rms (do
inglês root mean square, valor quadrado médio).
O valor eficaz de uma CA (periódica) é a medida de corrente contínua (CC) que libera a mesma potência média da CA em uma carga resistiva. Essa equivalência é representada na
Equação 36.
(36)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, tensão e corrente eficazes (ou rms) podem ser descritas como:
(37)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso específico de sinais senoidais, que representam a forma de onda de tensão e corrente da rede elétrica, o valor eficaz da corrente será:
(38)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência média de um sinal senoidal pode ser reescrita a partir dos valores eficazes da tensão e corrente:
(39)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os valores de tensão que são fornecidos pelas empresas de energia para alimentação dos consumidores já são representados por seus valores eficazes.
A potência aparente (S) é o produto de tensão e corrente eficazes de uma fonte.
O termo é o fator de potência .
A S é medida em volt-ampère (VA) para diferenciá-la da potência média, que é medida em Watts (W).
A razão entre a potência média e a potência aparente em uma carga é o próprio , que é adimensional:
(40)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O também pode ser definido como o ângulo da carga (ou ângulo da impedância), que é o ângulo formado pelos fasores de tensão e corrente, conforme descrito a seguir:
(41)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O é uma grandeza que relaciona a potência média com a potência aparente entregue a uma carga, de modo que seu valor varia entre zero e um.
Veja como se dá o nos tipos de cargas abaixo:
Em uma carga puramente resistiva, a diferença entre os ângulos da tensão e corrente é zero, o que faz com que o seja um, ou unitário.
Em cargas puramente reativas (indutivas ou capacitivas), o é zero, pois , o que significa que a potência média é nula.
Em cargas reativas o pode estar adiantado (quando o ângulo da corrente é adiantado em relação ao ângulo da tensão) ou atrasado (quando o ângulo da tensão é adiantado em
relação ao ângulo da corrente).
 EXEMPLO
Uma carga drena de uma fonte senoidal uma corrente A. Essa fonte tem uma tensão . Para essa carga, a potência aparente e
seu fator de potência são dados por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalEsse está adiantado, pois o ângulo da corrente é adiantado em relação ao ângulo da tensão.
Potência complexa é o termo dado à contribuição de toda a potência aparente (parte real e imaginária) nas cargas de um circuito.
Para uma carga alimentada por uma tensão e corrente senoidais, a potência complexa é dada pelo produto dos fasores de tensão e conjugado da corrente:
(42)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em termos de valores eficazes:
(43)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
O módulo da potência complexa é a potência aparente, de maneira que sua unidade também é o volt-ampère (VA). Da mesma forma, seu ângulo corresponde ao fator de potência da
carga.
Essa potência pode ser escrita em função de sua parte real e imaginária. A parte real corresponde à potência ativa (ou potência real) absorvida pela carga e medida em watts
(W), enquanto a parte imaginária corresponde à potência reativa trocada entre fonte e carga, medida em volt-ampère reativo (Var).
(44)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
 para cargas resistivas ( unitário);

 para cargas capacitivas ( adiantado);

 para cargas indutivas ( atrasado).
Normalmente, a relação de potências complexa, ativa e reativa é representada a partir de um triângulo de potências (Figura 21).
Do triângulo de potências é possível extrair informações a respeito da potência aparente, potência ativa, potência reativa e do fator de potência, utilizando relações
trigonométricas do triângulo retângulo.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 21: Triângulo de potências.
 EXEMPLO
Uma carga absorve uma potência de 1.000 VA, com fator de potência 0,6 adiantado. A partir da definição de triângulo de potências, as potências ativa e reativa são dadas por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo de potências, é possível determinar a potência reativa, :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
O FATOR DE POTÊNCIA É UM INDICATIVO DO PERCENTUAL DE ENERGIA CONSUMIDA PELA CARGA QUE É
EFETIVAMENTE UTILIZADA PARA PRODUZIR TRABALHO, OU SEJA, RELACIONA A POTÊNCIA ATIVA REAL DA CARGA
COM A POTÊNCIA APARENTE.
Muitas cargas do sistema têm características indutivas ou capacitivas, como é o caso de eletrodomésticos com motores, lâmpadas eletrônicas e até mesmo cargas industriais, como
os fornos de indução. Essas cargas fazem com que o fator de potência da instalação caia para valores fora dos recomendados pelas concessionárias de energia. Para mitigar esse
problema, é feita a correção de fator de potência.
Imagem: Shutterstock.com.
Essa correção consiste em instalar equipamentos capazes de compensar o excesso ou a falta de reativos na carga para reduzir o ângulo entre os fasores de tensão e corrente. Por
exemplo, em uma carga com características indutivas de baixo fator de potência, é possível fazer uma correção instalando capacitores em paralelo com a carga, de modo a reduzir a
potência reativa consumida.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 22: Triângulo de potência para correção de fator de potência.
É importante observar que, após a correção, a potência ativa drenada pela carga permanece inalterada, enquanto o módulo da potência aparente é reduzido. Dessa forma, a corrente
drenada da rede será menor, o que permite dizer que a correção de fator de potência permite reduzir até mesmo o carregamento dos circuitos de alimentação.
SISTEMAS TRIFÁSICOS
A geração de energia em sistemas elétricos de potência é feita em sistemas com mais de uma fase (ou polifásicos), mais comumente a partir do sistema trifásico.
 VOCÊ SABIA
A geração de energia em CA trifásica traz muitos benefícios ao sistema, tanto econômicos quanto operacionais. A geração em sistemas trifásicos permite a conexão de cargas de
maior potência através das linhas de transmissão. A energia é transportada em tensões elevadas para reduzir as perdas ôhmicas nas linhas, o que corresponde a menores custos de
operação para as empresas do setor elétrico.
Uma fonte trifásica é obtida a partir de geradores CA, cujos enrolamentos responsáveis pela indução da corrente nos terminais de saída são defasados em 120° em torno do eixo da
máquina. Essa defasagem produz tensões iguais e defasadas de 120° elétricos umas das outras. Veja as senoides geradas em um sistema trifásico:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 23: Senoides em um sistema trifásico.
As tensões , e referem-se às tensões nas fases , e disponíveis nos terminais de um gerador CA trifásico.
Um sistema trifásico é equivalente a três sistemas monofásicos e podem ser representados por uma ligação em estrema ou em triângulo, conforme a figura:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 24: Fontes de tensão trifásicas: (a) em estrela; (b) em triângulo.
Em circuitos trifásicos equilibrados, cuja corrente e tensão são iguais nas três fases, são válidas as seguintes expressões:
FONTE LIGADA EM TRIÂNGULO 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
FONTE LIGADA EM ESTRELA 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a soma fasorial das tensões na ligação em triângulo equilibrado é zero e das correntes na ligação em estrela é zero.
Veja os diagramas fasoriais que representam essa relação:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 25: Sequência de fases: (a) positiva: abc; negativa: acb.
Tomando a tensão como exemplo, os fasores podem ser expressos de duas formas:
Se os fasores giram no sentido anti-horário, diz-se que a fonte está em sequência positiva, ou seja, é adiantada em relação a , que por sua vez é adiantada em
relação a .
Se os fasores giram no sentido horário, é dito que a fonte está em sequência negativa.
Os fasores de sequência positiva e negativa para as tensões trifásicas são:
Sequência positiva Sequência negativa
Tabela 2: Relações de tensão em sistemas trifásicos equilibrados.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
Normalmente, circuitos trifásicos equilibrados (fonte e carga equilibrados) são facilmente solucionados a partir de seu circuito monofásico equivalente. Apenas os circuitos ligados
em Y podem ser resolvidos a partir de seu circuito equivalente por fase, de modo que, caso fonte ou carga esteja ligada em triângulo, deve ser convertida para seu equivalente em
ligação estrela, conforme a Equação 45, que representa a impedância da carga trifásica:
(45)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da relação entre os fasores (Figura 25), as correntes e tensões nos circuitos equilibrados para as ligações em triângulo e estrela são dadas por:
CIRCUITO EM 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CIRCUITO EM 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que e são corrente e tensão de linha (entre fases) e são corrente e tensão de fase (em relação ao neutro).
POTÊNCIA TRIFÁSICA
Em cargas trifásicas equilibradas, ligadas em triângulo ou estrela, as correntes que circulam pelas linhas que as alimentam são iguais, de modo que a potência trifásica é dada pelo
somatório da potência nas três fases. Para uma carga ligada em estrela:
(46)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da Tabela 2:
A potência complexa na carga pode ser reescrita em função dos valores de linha da tensão e corrente:
(47)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(48)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(49)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalComo as relações entre tensão e corrente de linha e fase apresentadas na Tabela 2 são válidas para cargas equilibradas ligadas em qualquer ligação, as Equações 47, 48 e 49 são
também aplicadas para cargas em triângulo.
TEORIA NA PRÁTICA
Uma carga drena uma potência ativa de 5 Kw quando conectada a uma fonte de tensão de 120 volts. O fator de potência para essa condição é de 0,85. Determine o valor da potência
reativa de um capacitor necessária para elevar o fator de potência para 0,95.
RESOLUÇÃO
O ângulo do fator de potência atual é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir do fator de potência é possível calcular a potência aparente inicial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência reativa é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para um fator de potência 0,95, o ângulo é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na correção do fator de potência, a potência não muda, mas a potência aparente sim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A nova potência reativa será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A diferença entre a potência reativa atual e a anterior é o valor do capacitor a ser inserido:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. UMA CARGA POSSUI UMA IMPEDÂNCIA . A POTÊNCIA MÉDIA ABSORVIDA POR ESSA CARGA AO SER ALIMENTADA POR
UMA FONTE DE TENSÃO ° É:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. CONSIDERE O CIRCUITO DA FIGURA. O FATOR DE POTÊNCIA TOTAL É DADO POR:
 FIGURA 26: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 2.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. NO TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS DA FIGURA A SEGUIR, O VALOR REFERENTE À POTÊNCIA REATIVA É:
 FIGURA 27: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 3.
A) 1.000 Var adiantada
B) 866 Var adiantada
C) 1.000 Var atrasada
D) 866 Var atrasada
E) 1.866 Var adiantada
4. UMA CARGA ABSORVE 12 KVA DE UMA FONTE DE ALIMENTAÇÃO DE 120 V RMS. CONSIDERANDO QUE O FATOR DE POTÊNCIA É 0,85, A
POTÊNCIA MÉDIA ABSORVIDA POR ESSA CARGA É DADA POR:
A) 32,8 KW
B) 28,5 KW
C) 10,2 KW
D) 42,7 KW
E) 19,8 KW
5. EM UMA CARGA TRIFÁSICA, LIGADA EM TRIÂNGULO, A TENSÃO DE FASE É DE 220 V. A TENSÃO DE LINHA DO CIRCUITO QUE
ALIMENTA ESSA CARGA É DE:
A) 127 V
B) 380 V
C) 100 V
D) 141 V
E) 220 V
6. UM SISTEMA TRIFÁSICO LIGADO EM ESTRELA-TRIÂNGULO (FONTE-CARGA) POSSUI TENSÃO DE FASE E
. CONSIDERANDO QUE A LINHA QUE ALIMENTA O CIRCUITO É IDEAL, O MÓDULO DA POTÊNCIA COMPLEXA ABSORVIDA
PELA CARGA É DE:
A) 543 VA
B) 385 VA
C) 797 VA
D) 932 VA
E) 694 VA
GABARITO
1. Uma carga possui uma impedância . A potência média absorvida por essa carga ao ser alimentada por uma fonte de tensão ° é:
A alternativa "B " está correta.
2. Considere o circuito da figura. O fator de potência total é dado por:
 Figura 26: Circuito do Exercício 2.
A alternativa "B " está correta.
A impedância total do circuito é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O ângulo do fator de potência é o próprio ângulo da impedância, que se refere à defasagem angular entre tensão e corrente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. No triângulo de potências da figura a seguir, o valor referente à potência reativa é:
 Figura 27: Circuito do Exercício 3.
A alternativa "D " está correta.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência reativa será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Uma carga absorve 12 KVA de uma fonte de alimentação de 120 V RMS. Considerando que o fator de potência é 0,85, a potência média absorvida por essa carga é dada
por:
A alternativa "C " está correta.
Considerando que o fator de potência é 0,85, o ângulo da impedância da carga é dado por . Se a potência aparente é 12 KVA, a potência média, ou potência
ativa absorvida pela carga, será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Em uma carga trifásica, ligada em triângulo, a tensão de fase é de 220 V. A tensão de linha do circuito que alimenta essa carga é de:
A alternativa "E " está correta.
Numa carga trifásica, conectada em triângulo, a tensão de linha é igual a tensão de fase. Dessa forma, para a carga descrita, a tensão de linha será de 220 V.
6. Um sistema trifásico ligado em estrela-triângulo (fonte-carga) possui tensão de fase e . Considerando que a linha que alimenta
o circuito é ideal, o módulo da potência complexa absorvida pela carga é de:
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente, deve-se converter a impedância da carga para seu equivalente monofásico, ou seja, impedância em estrela:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente por fase do circuito é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência trifásica em um circuito equilibrado é igual ao triplo da potência por fase:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A FORMA DE ONDA DE UM SINAL SENOIDAL DESLOCADO. PARA AS INFORMAÇÕES DESCRITAS NO GRÁFICO, O VALOR
EFICAZ, OU RMS, DESSE SINAL É DADO POR:
 FIGURA 28: FIGURA DA ATIVIDADE 1.
A) 2,82 A
B) 3,45 A
C) 6,41 A
D) 4,56 A
E) 7,38 A
2. EM UM CIRCUITO TRIFÁSICO EQUILIBRADO, COM FONTE EM SEQUÊNCIA POSITIVA, A TENSÃO DE FASE É .
DADO QUE A IMPEDÂNCIA DA LINHA É E DA CARGA É DE , O VALOR DO MÓDULO DAS CORRENTES
DE LINHA É DE:
A) 6,42 A
B) 9,67 A
C) 2,57 A
D) 5,39 A
E) 4,28 A
GABARITO
1. Considere a forma de onda de um sinal senoidal deslocado. Para as informações descritas no gráfico, o valor eficaz, ou RMS, desse sinal é dado por:
 Figura 28: Figura da Atividade 1.
A alternativa "A " está correta.
A forma de onda é dada pela seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Em um circuito trifásico equilibrado, com fonte em sequência positiva, a tensão de fase é . Dado que a impedância da linha é
 e da carga é de , o valor do módulo das correntes de linha é de:
A alternativa "D " está correta.
Considerando o circuito por fase formado por uma fonte, impedância da linha e impedância da carga, a corrente pode ser calculada simplesmente pela Lei de Ohm:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As outras correntes de linha podem ser encontradas aplicando uma defasagem de 120° em sequência positiva na corrente da fase A.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, abordamos os principais conceitos relacionados à análise de circuitos em corrente alternada. Para isso, foram apresentadas as formas de representação dos elementos
de circuito, fonte, resistor, capacitor e indutor, no domínio da frequência. Essa representação, denominada representação fasorial, permite avaliar a relação entre tensão e corrente
desses elementos no domínio da frequência. Os métodos tradicionais de análise de circuitos foram apresentados para análise em CA.
Demonstramos ainda as relações de potência em corrente alternada, a partir dos conceitos de potência média e potência eficaz e fator de potência. Considerando a predominância
dos circuitos CA para transmissão de energia, introduzimos as principais relações para circuitos trifásicos equilibrados, cujos elementos podem estar conectados em estrela ou
triângulo. Por fim, apresentamos o conceito de potência complexa e potência trifásica.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: AMGH Editora, 2013.
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do.Introdução à análise de circuitos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004.
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos elétricos. Rio de Janeiro: LTC, 1994.
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
OLIVEIRA, C. C. B. et al. Introdução a sistemas elétricos de potência. Componentes simétricas. São Paulo: Blucher, 2000.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
ORSINI, L. Q.; CONSONNI, D. Curso de circuitos elétricos. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2002.
ORSINI, L. Q.; CONSONNI, D. Curso de circuitos elétricos. v. II. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2004.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães
 CURRÍCULO LATTES
 (ω)
Am cos  (ωt + ∅)
VM
VPP
VPP = 2VM
Am sen  (α)
Am α = ωt
f = 1
T
v1(t) v2(t)
v1(t)= 10sen(377t + 30°) V
v2(t) = 5sen(377t − 20°) V
f = = = 60  Hzω
2π
377
2π
∅ = 30° −(−20°)= 50°
Arms = Am
√2
Am
V (t)= Vmcos(ωt + θ)
j i
V = Vme
jθ = Vm∠θ
ω
V = Ri
V(t)= Vm cos(ωt + θ)
i(t)= Im cos(ωt + φ)
Vme
jθ = RIme
jφ
Vme
jθ Ime
jφ
V = RI
(θ) (φ)
V (t) = L
di(t)
dt
Vme
j(ωt + θ) = jωLIme
j(ωt + φ)
V = jωLI
jωL
i(t)= C
dV (t)
dt
I = jωCV        ⇒        V = I
jωC
R V = Ri V = RI
L  V = L di
dt
V = jωLI
C i = C dv
dt
V = I
jωC
V (t)= 5cos(20t + 30°) V
V (t)= Vmcos(ωt + θ)
Vm (θ)
V = Vme
jθ = Vm∠θ
V = 5ej30° = 5∠30°
V(t)= 20 cos  (377t + 45°) V
V1 = 100 cos  (ωt + 15°) V2 = 150 cos  (ωt + 45°)
V2 V1
V1 V2
V2 V1
V2 V1
V1 V2
V1 = 10 cos  (ωt + 25°)  V2 = 15 cos  (ωt − 30°)
V = −3 + j4 V
V (t)= 5  cos  (ωt + 126,8°)
V (t)= 3  cos  (ωt + 154,3°)
V (t)= 4  cos  (ωt + 125,8°)
V (t)= 5  cos  (ωt + 137,9°)
V (t)= 4  cos  (ωt + 126,8°)
i(t)= −8 sen(10t + 70°)
−8∠70°
8∠70°
−8∠160°
8∠160°
−8∠140°
i1 = 4  cos  (ωt + 20°) i2 = −2  cos  (ωt + 18°)
2°
38°
88°
108°
−88°
V(t)= 20 cos  (377t + 45°) V
T ω = 377 rad/s T
T = = = 0,016 s2π
ω
2π
377
V1 = 100 cos  (ωt + 15°) V2 = 150 cos  (ωt + 45°)
V1 = 10 cos  (ωt + 25°)  V2 = 15 cos  (ωt − 30°)
V (t)= Vmcos(ωt + θ)
V1 V2
ϕ = 25° −(−30°)= 55°
V = −3 + j4 V
V = 5ej126,8° = 5∠126,8°
V (t)= 5  cos  (ωt + 126,8°)
i(t)= −8 sen(10t + 70°)
i(t)= −8 sen(10t + 70°)= 8 sen(10t + 70° + 180°)= 8 sen(10t + 250°)
i(t)= 8 sen(10t + 250°)= 8 cos (10t + 250° − 90°)
i(t)= 8 cos(10t + 160°)
i(t) = 8∠160°
i1 = 4  cos  (ωt + 20°) i2 = −2  cos  (ωt + 18°)
−sen (ωt)= sen (ωt + 180°)
i2 = 2  cos  (ωt + 18° + 180°) = 2  cos(ωt + 18° + 198°)
90°
i2 = 2  cos  (ωt + 108°)
i1 = 20° i1 = 108° −88°
V1 V2 10  cos(377t − )π
3
12 cos(377t+ 30°)
V1 +  V2
14,5  cos  (377t+ 6,8°) V
15,6  cos  (377t+ 8,8°) V
14,5  cos  (377t − 7,8°) V
15,6  cos  (377t − 9,8°) V
14,5  cos  (377t+ 5,8°) V
2 µF 4 sen(106t + 25°)A
2 sen(106t + 25°)
4sen(106t + 65°)
2 sen(106t − 25°)
4sen(106t + 25°)
2 sen(106t − 65°)
V1 V2 10  cos(377t − )π
3
12 cos(377t+ 30°)
V1 +  V2
V1 = 10 ∠ 30°  → = 30°π
3
V2 = 12 ∠ 30°
V1 + V2 = 5 − j8,66 + 10,4 + j6 = 15,6∠ − 9,8°
V1 V2
15,6 cos  (377t − 9,8°)V
2 µF 4 sen(106t + 25°)A
V = I
jωC
V = = 2 sen(106t − 65°)V
4 sen ( 106t + 25° )
j106 × 2 µ
 XL
XC
V = RI                      V = jωLI                      V = I
jωC
= R                = jωL                =V
I
V
I
V
I
1
jωC
V/I Z (Ω)
R L C
R      ⇒      Z = R
L       ⇒      Z = jωL
C      ⇒      Z = 1
jωC
X
R L C
Z = R + jX
R X
X X
|Z|= √R2 + X2
θZ = tan−1 X
R
V = 10∠46,9° I = 2∠10°
Z = = 5∠36,9° Ω
10∠46,9°
2∠10°
Z = 5(cos 46,9° + jcos 10°)
Z = 4 + j3 Ω
4 Ω 3 Ω
(Z) (Y)
Y = 1
Z
Y = G + jB
G = Re,  Y B = Im  Y
G + jB = 1
R+jX
G =                   B = −R
R2+X2
X
R2+X2
V1 + V2 + … + Vn = 0
Vn = Vn ∠ θn,          n = 1,2, 3, … . . n
I1 + I2 + … + In = 0
In = In∠θn,  n = 1,2, 3, … . . n
V1 = Z1I,       V2 = Z2I,       V3 = Z3I,    …     , Vn = ZnI
V = V1 + V2 + … + Vn
V = (Z1 + Z2 + … + Zn)I = 0
V = ZeqI
Zeq
Zeq = Z1 + Z2 + … + Zn
Y = 1
Z
I = I1 + I2 + … + In
I = V ( + + … + )1
Z1
1
Z2
1
Zn
N
= = + + … +1
Zeq
I
V
1
Z1
1
Z2
1
Zn
Yeq = Y1 + Y2 + … + Yn
V1 V2
V1 = Z1I
V2 = Z2I
V1 = V                     V2 = V
Z1
Z1+Z2
Z2
Z1+Z2
V1 V2
+ + = 0V1−5∠0°
0,5
V1
−j1
V1−V2
−j1
(2 + j2)V1 − jV2 = 10
+ = 5∠0°V2−V1
−j1
V2
0,2+j0,4
−jV1 +(1 − j)V2 = 5
[
2 + j2 −j
−j 1 − j
][V1
V2
]=[ 10
5
]
V1 V2
V1 = 2 − j = 2,23∠ − 26,6°    V
V2 = 2 + j4 = 4,47∠63,4°    V
I1 I2
−10∠0° − j6I1 + j3(I1 − I2)= 0
−j3I1 − j3I2 = 10∠0°
j3(I2 − I1)+2I2 + 16∠0° = 0
−j3I1 +(2 + j3)I2 = −16∠0°
[
−j3 −j3
−j3 2 + j3
][ I1
I2
]=[ 10
−16
]
I1 I2
I1 = 1,7 ∠ − 23,5°  A
I2 = 7,1 ∠ 108°  A
I
R
Zth = 1 +(−j1)= 1 − j1 Ω
V1 = 2 .  1 = 2 V
Vth = V1 −(−j1)2V1 = 2(1 + j2)= 2 + j4 V
40  +  j20 [Ω]
30  +  j10 [Ω]
40 –  j10 [Ω]
40 –  j20 [Ω]
30 –  j10 [Ω]
0, 25  +  j0, 025 [S]
0, 025 –  j0, 25 [S]
0, 25 –  j0, 025 [S]
0, 025  +  j0, 025 [S]
0, 025  +  j0, 25 [S] 
50 ∠ 0° i
5,7∠33,4°  A
4,7∠ − 16,7°  A
5,7∠16,7°  A
4,7∠16,7°  A
5,7∠ − 16,7°  A
Vo
8 V
24 V
−8 V
−24 V
32V
1 − j2 Ω
0 ,5 −j0 ,5  Ω
1 + j2 Ω
0 ,5 +j0 ,5  Ω
1 Ω
1,97∠ − 5,65°  A
3,94 ∠  5,65°  A
1,97 ∠  5,65°  A
3,94∠ − 5,65°  A
1,97 ∠  11,3°  A
Zeq = −j10 + 40 + j30
Zeq = 40 + j20  Ω
50 ∠ 0° i
Zeq = 10 − j + j4 = 10 + j3 Ω
I = = = 4,7∠ − 16,7°  AV
Zeq
50∠0°
10+j3
Vo
VO
4∠90° = +
V0
j6
V0
−j3
4∠90° = +
−jV0
6
jV0
3
V = = 24 V4
−
1
6
1
3
ω = 1  rad /s
XC = = = −j1 Ω1
jωC
1
j1×1
XL = jωL = j1 × 1 = j1 Ω
Zeq = (1 Ω // − j1) + j1
Zeq = 0,5 + j0,5 Ω
XL = jωL = j1 × 10 = j10 Ω
Xc = = = −j0,1  Ω1
jωC
1
j10×1
Zeq = 1 + ( + + )
−1
= 1,01 − j0,1 = 1,01∠ − 5,65°  Ω1
j10
1
−j0,1
1
1
I = = 1,97 ∠5,65°  A2∠0°
1,01∠−5,65°
2 ∠ 82°  A
√2 ∠ 82°  A
2 ∠ − 82°  A
√2 ∠ − 82°  A
2√2 ∠ 82°  A
1,4 ∠45°  A
2,8 ∠45°  A
1,4 ∠ − 45°  A
2,8 ∠ − 45°  A
1,4 ∠90°  A
Zeq = 1 + = 4 − j3  Ω
(3+j3)(−j3)
3+j3−j3
I = = = 1 ∠ 36,9°  A5 ∠ 0°
4−j3
5 ∠ 0°
5 ∠−36,9°
Ic = I = (1 + j)(1 ∠ 36,9° )3+j3
3+j3−j3
Ic = √2 ∠82°  A
2  rad /s
XL = jωL = j2 × 2 = j4 Ω
Xc = = = −j2  Ω1
jωC
1
j2×
1
4
−10 +(4 − j2)I1 + j2I2 = 0
(2 − j)I1 + jI2 = 5
j2I1 +(j4 − j2)I2 +(−j6)= 0
I1 + I2 = 3
[ 2 − j j
1 1
]=[ I1
I2
]=[ 5
3
]
I = I1 − I2 = 1,4 ∠ 45°  A
P(t) V (t)
I(t)
P(t)= V (t)i(t)
P
P = ∫ T
0 P(t) dt = VmIm cos(θV − θi)1
T
1
2
Vm Im θv θi θv = θi
θv − θi = ±90°
P = RI2
ef = ∫ T
0 Ri2 dt1
T
Ief = Irms = √ ∫ T
0 i2 dt                       Vef = Vrms = √ ∫ T
0 v2 dt1
T
1
T
i(t)= Im cos(ωt)
Ief = √ ∫ T
0 I2
m cos2(ωt)dt =1
T
Im
√2
P = VefIef cos (θv − θi)
cos (θv − θi) (fp)
fp
fp = = cos (θv − θi)
P
S
fp
Z = = = ∠θv − θi
V
I
Vef
Ief
Vef
Ief
fp
fp
fp
fp θv − θi = ±90°
fp
i(t)= 5  cos(ωt + 25°) v(t)= 100 cos(ωt − 15°)V
S = VefIef = = 250 V A100
√2
5
√2
FP = cos (θv − θi) = cos(−15° − 25°)= 0,76
fp
S = V I
*1
2
S = VefI
*
ef
(P)
(Q)
S = P + jQ
Q  =  0 fp
Q   0  fp
fp =                     ⇒                  P = fp × SP
S
P = 0,6  × 1.000 = 600 W
Q
Q = √S2 − P 2 = √1.0002 − 6002 = 800 V Ar
VAN VBN VCN A B C
(Δ)
VAN + VBN + VCN = 0      ⇒      |VAN |=  |VBN |=  |VCN |
(Y )
IA + IB + IC = 0      ⇒      |IA|=  |IB|=  |IC|
VAN VBN
VCN
VAN = Vp∠0° VAN = Vp∠0°
VBN = Vp∠ − 120° VBN = Vp∠ + 120°
VCN = Vp∠ + 120° VCN = Vp∠ − 120°
ZY = ZΔ
3
Δ
Iϕϕ = √3Iϕ
Vϕϕ = Vϕ
Y
Iϕϕ = Iϕ
Vϕϕ = √3Vϕ
Iϕϕ Vϕϕ Iϕ Vϕ
Pϕ = Vϕ .  Iϕ .   cos(φ)
P3ϕ = 3 .  Vϕ .  Iϕ .   cos(φ)
Vϕϕ = √3Vϕ
Iϕϕ = Iϕ
S3ϕ = √3 .  Vϕϕ .  Iϕϕ 
P3ϕ = √3 .  Vϕϕ .  Iϕϕ .   cos(φ)
Q3ϕ = √3 .  Vϕϕ .  Iϕϕ .   sen(φ)
cos(θ1)= 0,85           →           θ1 = 31,78°
S1 = = = 5.882,3 V AP
fp
5.000
0,85
Q1 = S1sen(θ1)= 5.882,3 × 0,52 = 3097,96 V Ar
cos(θ2)= 0,95           →           θ2 = 18,19°
P
S2 = = = 5.263,15 V AP
fp
5.000
0,95
Q2 = S2sen (θ2)= 1.642,94 V Ar
Qc = Q1 − Q2 = 3.097,96 − 1.642,94 = 1.455,6 V Ar
Z = 20 − j60 Ω
V = 120 ∠  0°
43, 8 W
35, 9 W
60, 3 W
34, 6 W
51, 5 W
0, 87
0, 97
0, 77
0, 67
0, 57
VAN = 120∠ 0° RMS
ZΔ = 30 − j45 Ω
Z =20 − j60 Ω V = 120 ∠  0°
Zeq = 6 + 4∣
∣
∣
∣(−j2)= 6 + = 6,8 − j1,6 = 7 ∠ − 13,2° Ω
−j2×4
4−j2
FP = cos (−13,2°)= 0,97
S = = = 1.000 V AP
FP
500
cos ( 60° )
Q = S × sen (60°)= 866 V Ar atrasada
cos−1(fp)= 31,13°
P = S  × cos (θ)= 12.000 × 0,85 = 10,2 KW
VAN = 120∠ 0° RMS ZΔ = 30 − j45 Ω
ZY = = 10 + j15 Ω
ZΔ
3
I = = 6,65∠ − 56° A120 ∠ 0°
10+j15
S3∅ = 3S∅ = 3I 2ZY = 797 ∠ 56° V A
VAN = 100 ∠ 0°  RMS
0, 6  +  j1, 2 Ω/ fase 10  +  j14 Ω/ fase
i(t)= 4  sen(t),          0