Slides - Aula 29 - CDI-II

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Integrais triplas em coordenadas cilíndricas
��
�
Coordenadas cilíndricas
�(�, �, �)
� ��
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas cilíndricas
� = � cos �� = � sin �� = �
�� + �� = ��� ≠ 0		 ⇒ 	�� = tan �� ≠ 0		 ⇒ 		 �� = cot �
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas
� � �, �, � ������� =� � � cos � , � sin � , � ��������
Exemplo 1
Calcule � (��+��)������� onde � é o sólido limitado pelas superfícies �� + �� = 1, � = 0 e
� = 4 − �� − ��
Solução
� = 0
�� + �� = 1
� = 4 − �� − ��
Exemplo 1
Calcule � (��+��)������� onde � é o sólido limitado pelas superfícies �� + �� = 1, � = 0 e
� = 4 − �� − ��
Solução
�� + �� = 1	 ⇔	�� = 1	 ⇔ 		� = 1� = 0� = 4 − �� − �� = 4 − �� + �� = 4 − ��
� = 0
� = 1
� = 4 − ��
Exemplo 1
Calcule � (��+��)������� onde � é o sólido limitado pelas superfícies �� + �� = 1, � = 0 e
� = 4 − �� − ��
Solução
�� + �� = 1	 ⇔	�� = 1	 ⇔ 		� = 1� = 0� = 4 − �� − �� = 4 − �� + �� = 4 − ��
� (��+��)������ =� ! ! ! ��. �������#$%&
'
(
' = ! ! ! �)������#$%&
'
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'
�*
'
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' = Exercício
Exemplo 2
Reescreva a integral em coordenadas cilíndricas e! ! ! �� + �� + ��������$0&$1&
0&21&
($0&
$ ($0&
(
$(
calcule-a.
Solução
� = 2 − �� − �� ⇒ �� = 2 − �� − �� ⇒ �� + �� + �� = 2		e		z ≥ 0� = �� + ��
� = 2 − �� − �� ⇒ � = 2 − (�� + ��) = 2 − ��� = ��
� = 1
Exemplo 2
Reescreva a integral em coordenadas cilíndricas e! ! ! �� + �� + ��������$0&$1&
0&21&
($0&
$ ($0&
(
$(
calcule-a.
Solução
� = 2 − �� − �� ⇒ �� = 2 − �� − �� ⇒ �� + �� + �� = 2		e		z ≥ 0� = �� + ��
� = 2 − �� − �� ⇒ � = 2 − (�� + ��) = 2 − ��� = ��
� = 1 − �� ⇒ �� = 1 − �� ⇒ �� + �� = 1 e � ≥ 0 � = − 1 − �� ⇒ �� = 1 − �� ⇒ �� + �� = 1 e � ≤ 0 
7 �� + �� = 1 ⇒ �� = 1 ⇒ � = 1
0 ≤ � ≤ 1 e 0 ≤ � ≤ 28
! ! ! �� + �� + ��������$0&$1&
0&21&
($0&
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$( = ! ! ! (��+�)��������$%&
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' = ! ! ! �) + ���������$%&
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' =
! !�)� + ��2 � 9 2 − ���� ����(
'
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' = ! !�) 2 − �� + 2 − ���2 �����(
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= ! !�) 2 − �� + 2 − ��2 �����(
'
�*
' = 12! !��� 2 − �� + 2� − �)����
(
'
�*
'
= 12! !��� 2 − �� + 2� − �)����
(
'
�*
' = 12! !��� 2 − ���� + �� − �#4 : 10
(
' ���*
'
= 12! !��� 2 − ���� + 1 − 14
(
' �� = 12! !��� 2 − ���� + 34
(
' ���*
' 
�*
'
!��� 2 − ����(
'
?@AíABCs
1. Calcule utilizando coordenadas cilíndricas:
										D)			� ��������
										E)				 ! ! !(�� + ��0
'
($1&
'
(
$( )������
		F) O volume do sólido S delimitado pelos paraboloides � = �� + �� e � = 18 − �� − ��.
onde S é o sólido limitado pelas superfícies � = �� + �� e � = 0.
	�)							! ! ! ���$0&$1&
0&21&
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'
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