3a_lista_de_Calculo_II

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3ª lista de Cálculo II 
1-2. Calcule a integral dupla e primeiro identifique o 
volume do sólido. 
1. 3 , {( , ) 2 2,1 6}
R
dA R x y x y      
2. (4 2 ) , [0,1] [0,1]
R
y dA R  x 
3-8. Calcule as iterações das integrais. 
3. 
3 1
1 0
(1 4 )xy dxdy  
4. 
22
0 0
sinx ydydx
  
5. 
2 1 8
0 0
(2 8)x dxdy  
6. 
4 2
1 1
x y
dydx
y x
     
7. 
1 1 5
0 0
( )u v dudv  
8. 
2 2
0 0
senr d dr    
9-12. Calcule as integrais duplas. 
9.  2 3 4(6 5 ) , ( , ) 0 3,0 1
R
x y y dA R x y x y      
10.  2
2
, ( , ) 0 1, 3 3
1R
xy
dA R x y x y
x
      
11.    sin( ) , 0, 6 x 0, 3
R
x x y dA R    
12.    2
, 0,1 x 0,2x y
R
xye dA R  
13. Encontre o volume do sólido que está sob o plano 
3 2 12x y z   e acima do retângulo  ( , ) 0 1, 2 3R x y x y      . 
14. Encontre o volume do sólido situado abaixo da 
parabolóide elíptica 2 24 9 1x y z   e acima do 
retângulo    1,1 x 2,2R    . 
15. Encontre o volume do sólido cercado pela 
superfície 2secz x y e os planos 
0, 0, 2, 0,ey 4z x x y      . 
16. Encontre o volume do sólido cercado pela 
parabolóide 2 22 ( 2)z x y    e os planos 
1, 1, 1, 0,ey 4z x x y      . 
17. Encontre o valor médio de f sobre o dado 
retângulo. 
  2,f x y x y , R possui vértices 
( 1,0),( 1,5),(1,5),(1,0)  . 
18-19. Calcule as iterações das integrais. 
18. 
4 2
0 0
y
xy dxdy  
19. 
2 cos sin
0 0
e drd
     
20-25. Calcule as integrais duplas. 
20.  2 , ( , ) 1 1, 2
D
y dA D x y x y x y        
21.  , ( , ) 0 ,0 sin
D
xdA D x y x y x     
22.  2 , ( , ) 0 4,0xy
D
y e dA D x y y x y     
23. cos ,
D
x ydA D é limitada por 0, ², 1y y x x   
24. 3 ,
D
y dA D é uma região triangular com vértices 
(0,2),(1,1),(3,2). 
25. (2 ) ,
D
x y dA D é limitada por um círculo com 
centro na origem e de raio 2. 
26-30. Encontre o volume do sólido dado. 
26. Abaixo do plano 2 0x y z   e acima da região 
limitada por 4ex y y x  . 
27. Abaixo da superfície z xy e acima do triângulo 
com vértices (1,1),(4,1),e(1,2). 
 
3ª lista de Cálculo II 
28. Limitada pelas coordenadas planas e o plano 
3 2 6x y z   . 
29. Cercada pelos cilindros 2 2,z x y x  e os planos 
0, 4z y  . 
30. Limitada pelo cilindro 2 2 1x y  e os planos 
, 0, 0y z x z   no primeiro octante. 
31. Encontre o volume do sólido pela subtração de dois 
volumes. O sólido é cercado pelos cilindros parabólicos 
2 21 , 1y x y x    e os planos 2x y z   , 
2 2 10 0x y z    . 
32-34. Esboce a região da integração e mostre a ordem 
da integração. 
32. 
4
0 0
( , )
x
f x y dydx  
33. 
2
2
3 9
0 9
( , )
y
y
f x y dxdy

   
34. 
2 ln
1 0
( , )
x
f x y dydx  
35-38. Calcule a integral pela ordem reversa de 
integração. 
35. 
21 3
0 3
x
y
e dxdy  
36. 
4 2
30
1
1x
dydx
y  
 
37. 
 
38. 
1 2 2
0 arcsen
cos 1 cos
y
x xdxdy  
39. Expresse D como a união de regiões do tipo I ou do 
tipo II e calcule a integral. 
2
D
x dA 
 
40. Calcule 2 3( tan 4)
D
x x y dA  onde 
  2 2, 2D x y x y   .[sugestão: Explore o fato de 
que D é simétrica com relação a ambos os eixos]. 
41. Compute 2 21 ,
D
x y dA  onde D é o disco 
2 2 1x y  , primeiro identifique a integral com o 
volume do sólido. 
42-43 Uma regiãoR é mostrada na figura. Decida se 
você deve usar coordenadas polares ou retangulares e 
escreva ( , ) 
R
f x y dA como uma integral iterada, onde 
f é uma função qualquer contínua em R . 
42. 43. 
 
44. Esboce a região cuja área é dada pela integral 
2 7
4
 r dr d

   
e calcule-a 
45-48 Calcule a integral dada, colocando-a em 
coordenadas polares. 
45. 
D
xy dA , ondeD é o disco com centro na origem 
e raio 3 
46. 2 2cos(x +y ) 
R
dA , ondeR é a região acima do eixo
x e dentro da circunferência2 2 9x y  
1 2 2
0 arcsen
cos 1 cos
y
x xdxdy 
 
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47. 
2 2
 x y
D
e dA  , ondeD é a região delimitada pelo 
semicírculo 24x y  e o eixo y 
48. 
R
y
arctg dA
x
    , onde
 2 2( , ) /1 4,0R x y x y y x      
49-50 Utilize a integral dupla para determinar a área da 
região. 
49. Um laço da rosácea cos3r  
50. A região interior a ambos os círculos 
cos e r r sen   
51-55 Utilize coordenadas polares para determinar o 
volume do sólido dado. 
51. Abaixo do cone 2 2z x y  e acima do disco
2 2 4x y  
52. Delimitado pelo hiperbolóide 2 2 2 1x y z    e 
pelo plano 2z  
53. Uma esfera de raioa 
54. Acima do cone 2 2z x y  e abaixo da esfera 
2 2 2 1x y z   
55. Dentro do cilindro2 2 4x y  e do elipsóide 
2 2 24 4 64x y z   
56-57 Calcule a integral iterada, convertendo-a antes 
para coordenadas polares. 
56. 
23 9 2 2
3 0
( ) 
x
sen x y dy dx

   
57. 
21 2
0
( ) 
y
y
x y dx dy
   
58. Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A 
profundidade é constante ao longo das retas de leste 
para oeste e cresce linearmente de 1 metro na 
extremidade sul pra dois metros na extremidade norte. 
Encontre o volume da água da piscina. 
59. Utilize as coordenadas polares para combinar a 
soma 
1 2 2 4 ²
1/ 2 1 ² 1 0 2 0
x x x
x
xydydx xydydx xydydx

        
em uma única integral dupla. Em seguida calcule essa 
integral dupla. 
60 a 62. Calcule a integral iterada. 
60. 
1
0 0 0
6
z x z
xydydxdz
   
61. 
3 1 1 ²
0 0 0
z yze dxdzdy
   
62.  / 2
0 0 0
cos
y x
x y z dzdxdy
     
63 a 67. Calcule a integral tripla. 
63. 2
E
xdV , onde 
 { , , | 0 2;0 4 ²;0 }E x y z y x y z y        
64. 6 
E
xy dV , onde E está abaixo do plano 
1z x y   e acima da região do plano xy limitada 
pelas curvas , 0, 1y x y x   . 
65. ² y
E
x e dV , onde E é delimitado pelo cilindro 
parabólico 1 ²z y  e pelos planos 0, 1, 1z x x    
66. ² 
T
x dV , onde T é o tetraedro sólido com 
vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). 
67. 
E
x dV , onde E é limitado pelo paraboloide 
4 ² 4 ²x y z  e pelo plano 4x  . 
68-69 Use a integral tripla para determinar o volume do 
sólido dado. 
68. O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o 
plano 2 4x y z   . 
69. O sólido delimitado pelo cilindro ²x y e pelos 
planos 0z  e 1x z  . 
70. Marque o ponto da coordenada cilíndrica 
(2, 4, 1) . A seguir, encontre as coordenadas 
retangulares do ponto. 
71. Mude a coordenada retangular (1, 1, 4) para 
cilíndrica. 
 
3ª lista de Cálculo II 
72. Descreva em palavras a superfície da equação 
4  . 
73. Identifique a superfície cuja da equação 4 ²z r  . 
74. Esboce o sólido descrito pela desigualdade 
0 2, 2 2, 0 1r z         . 
75. Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela 
integral 
4 2 4
0 0 r
r dz d dr
    e calcule essa integral. 
76. Calcule 2 2 
E
x y dV , ondeE é a região que 
está dentro do cilindro2 2 16x y  e entre os planos 
5z   e 4z  . 
77. Calcule 
E
y dV , ondeE é o sólido que está entro 
os cilindros 2 2 1x y  e 2 2 4x y  , acima do plano 
xy e abaixo do plano 2z x  . 
78. Calcule 2 
E
x dV , ondeE é a região que está 
dentro do cilindro 2 2 1x y  , acima do plano 0z  e 
abaixo do cone 2 2 24 4z x y  . 
79. Ache o volume da região E limitada pelos 
parabolóides 2 2z x y  e 2 236 3 3z x y   . 
80. Calcule a integral, transformando para coordenadas 
cilíndricas. 
2
2 2 2
2 4 2
2 4
 
y
y x y
xz dzdxdy

      
81. Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são 
dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares 
do ponto. 
(a) (1,0,0) 
(b) (2, /3, / 4)  
82. Mude de coordenadas retangulares para esféricas.(a) (1, 3,2 3) 
(b) (0, 1, 1)  
83. Escreva com palavras a superfície cuja equação é 
dada. 
3
  
84. Identifique a superfície cuja equação é dada. 
sen sen   
85. Escreva a equação em coordenadas esféricas. 
2 2 2z x y  
86. Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 
2, 0 , 0
2 2
        
87. Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e 
calule-a. 
3 26 2
0 0 0
sen d d d         
88. Escreva a integral tripla de uma função contínua 
arbitrária ( , , )f x y z em coordenadas cilíndricas ou 
esféricas sobre o sólido mostrado. 
 
89. Calcule 2 2 2( )
B
x y z dV  , ondeB é a bola com 
centro na origem e raio 5. 
90. Calcule 
E
zdV , ondeE está entre as esferas
2 2 2 1x y z   e 2 2 2 4x y z   no primeiro octante.