teste de algortimo CBKIMI

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**Explicação:** Usamos a substituição \( u = 1 - x^2 \), o que implica \( du = -2x \, dx \). A 
integral se transforma e, após resolver, resulta em \( -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{\frac{3}{2}} + C \). 
 
17. **Problema 17:** Calcule a integral \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 - B) \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \) 
 - C) \( \frac{1}{2}(e^3 - 1) \) 
 - D) \( \frac{1}{2}(e + 1) \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \) ou \( 
\frac{1}{2} du = x \, dx \). A integral se transforma em \( \frac{1}{2} \int e^u \, du \), que 
resulta em \( \frac{1}{2}(e^1 - e^0) = \frac{1}{2}(e - 1) \). 
 
18. **Problema 18:** Calcule \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(x) \, dx \). 
 - A) \( \frac{3\pi}{16} \) 
 - B) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - C) \( \frac{1}{2} \) 
 - D) \( \frac{\pi}{8} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{3\pi}{16} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \cos^4(x) = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 \). 
Expandindo e integrando, obtemos \( \frac{3\pi}{16} \). 
 
19. **Problema 19:** Determine a integral \( \int x^2 e^{3x} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{9}(x^2 e^{3x} - \frac{2}{3}e^{3x}) + C \) 
 - B) \( \frac{1}{3}(x^2 e^{3x} - 2e^{3x}) + C \) 
 - C) \( \frac{1}{3}(2x^2 e^{3x} - e^{3x}) + C \) 
 - D) \( \frac{1}{6}(x^2 e^{3x} - e^{3x}) + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{9}(x^2 e^{3x} - \frac{2}{3}e^{3x}) + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes. A fórmula geral para \( \int 
x^n e^{ax} \, dx \) resulta em \( \frac{n!}{a^{n+1}} e^{ax} - \frac{n!}{a^{n}} \int e^{ax} \, dx \). 
 
20. **Problema 20:** Calcule \( \int \ln(x) \, dx \). 
 - A) \( x \ln(x) - x + C \) 
 - B) \( x \ln(x) + x + C \) 
 - C) \( x \ln(x) - x^2 + C \) 
 - D) \( x^2 \ln(x) + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( x \ln(x) - x + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes, onde \( u = \ln(x) \) e \( dv = dx \). Assim, 
\( du = \frac{1}{x} dx \) e \( v = x \). A integral se torna \( x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x 
\ln(x) - x + C \). 
 
21. **Problema 21:** Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x)^{10} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{11} \) 
 - B) \( \frac{1}{10} \) 
 - C) \( \frac{1}{12} \) 
 - D) \( \frac{1}{13} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{11} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int_0^1 (1 - x)^{n} \, dx = \frac{1}{n+1} \). Para \( n = 10 \), 
temos \( \frac{1}{11} \). 
 
22. **Problema 22:** Calcule \( \int_0^1 x^4(1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx \). 
 - A) \( \frac{3}{80} \) 
 - B) \( \frac{5}{80} \) 
 - C) \( \frac{7}{80} \) 
 - D) \( \frac{9}{80} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{3}{80} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = 1 - x^2 \), o que implica \( du = -2x \, dx \). A 
integral se transforma e, após resolver, resulta em \( \frac{3}{80} \). 
 
23. **Problema 23:** Determine a integral \( \int \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 - B) \( \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 - C) \( \frac{1}{4}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 - D) \( \frac{1}{5}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 + 1 \), o que implica \( du = 2x \, dx \). A 
integral se transforma e, após resolver, resulta em \( \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \). 
 
24. **Problema 24:** Calcule a integral \( \int \sin^2(x) \, dx \). 
 - A) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \) 
 - B) \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \) 
 - C) \( \frac{x}{3} - \frac{\sin(3x)}{9} + C \) 
 - D) \( \frac{x}{4} - \frac{\sin(4x)}{16} + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). A integral se 
transforma em \( \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx \), resultando em \( 
\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \). 
 
25. **Problema 25:** Resolva \( \int e^{-x^2} \, dx \) de \( 0 \) a \( \infty \). 
 - A) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 - B) \( \frac{\sqrt{\pi}}{4} \) 
 - C) \( \sqrt{\pi} \) 
 - D) \( \frac{1}{2} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 **Explicação:** A integral de \( e^{-x^2} \) de \( 0 \) a \( \infty \) é uma integral conhecida 
e resulta em \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \). 
 
26. **Problema 26:** Calcule a integral \( \int x^2 \ln(x) \, dx \).