5MW desafios 5MW

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22. **Qual é a integral de \( \int x^3 e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} x^4 e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral se 
torna \( \int \frac{1}{2} e^u \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
23. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^5 - 5x^3 + 4x \)?** 
 a) \( 5x^4 - 15x^2 + 4 \) 
 b) \( 5x^4 - 15x^3 + 4 \) 
 c) \( 5x^4 - 15x^2 + 4x \) 
 d) \( 5x^4 - 15x^2 + 4x^2 \) 
 **Resposta:** a) \( 5x^4 - 15x^2 + 4 \) 
 **Explicação:** Usamos a regra de potência para cada termo: 
 \( f'(x) = 5x^4 - 15x^2 + 4 \). 
 
24. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)?** 
 a) \( \tan(x) + C \) 
 b) \( \arctan(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) \( \ln(x^2 + 1) + C \) 
 **Resposta:** b) \( \arctan(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é uma integral básica, onde \( \int 
\frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x) + C \). 
 
25. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) \( \frac{11}{3} \) 
 d) \( \frac{5}{3} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{11}{3} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx = \left[ x^3 + 2x \right]_0^1 = (1 + 2) 
- 0 = 3 \). 
 
26. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{3x^2} \) 
 c) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot (3x^2) = 
\frac{3x^2}{x^3 + 1} \). 
 
27. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) Infinito 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Este limite é resolvido usando a série de Taylor para \( \sin(x) \) ou a regra 
de L'Hôpital, resultando em \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} = 1 \). 
 
28. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 b) \( -\frac{1}{3x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{2x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{3x^3} + C \) 
 **Resposta:** b) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( x^{-n} \) é \( \frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C \). Assim, para \( n = 
3 \), temos \( -\frac{1}{2x^2} + C \). 
 
29. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^2(x) \)?** 
 a) \( 2\tan(x)\sec^2(x) \) 
 b) \( \sec^2(x) \) 
 c) \( 2\tan(x) \) 
 d) \( 2\tan(x)\sec(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 2\tan(x)\sec^2(x) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = 2\tan(x) \cdot \sec^2(x) \). 
 
30. **Qual é a integral de \( \int e^{2x} \cos(3x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{13} e^{2x} \cos(3x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{13} e^{2x} \sin(3x) + C \) 
 c) \( \frac{e^{2x}}{13} + C \) 
 d) \( \frac{e^{2x}}{5} \sin(3x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{13} e^{2x} \cos(3x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a integração por partes ou a fórmula para integrais de funções 
exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. 
 
31. **Qual é a integral de \( \int x \sin(x^2) \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} \sin(x^2) + C \) 
 c) \( -\frac{1}{2} \sin(x^2) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \cos(x^2) + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral se 
torna \( -\frac{1}{2} \cos(u) + C \). 
 
32. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \)?** 
 a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 b) \( 3x^2 \ln(x) + 3x^2 \) 
 c) \( 3x^2 \ln(x) + 1 \) 
 d) \( 3x^2 \ln(x) + 3x \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \)