5RS desafios 5RS

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b) \( \frac{1}{13} e^{3x} \cos(2x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{13} e^{3x} \sin(2x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{13} e^{3x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{13} e^{3x} \sin(2x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a técnica de integração por partes ou a fórmula para integrais 
de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. 
 
44. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{3x^2} + C \) 
 b) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 c) \( -\frac{1}{4x^2} + C \) 
 d) \( -\frac{1}{x^2} + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( x^{-n} \) é \( \frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C \). Assim, para \( n = 
3 \), temos \( -\frac{1}{2x^2} + C \). 
 
45. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \)?** 
 a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 b) \( \frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 c) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot (3x^2) = 
\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \). 
 
46. **Qual é a integral de \( \int \tan^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \tan(x) + C \) 
 b) \( -\tan(x) + C \) 
 c) \( \tan(x) - x + C \) 
 d) \( -\tan(x) + x + C \) 
 **Resposta:** c) \( \tan(x) - x + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \): 
 \( \int \tan^2(x) \, dx = \int (\sec^2(x) - 1) \, dx = \tan(x) - x + C \). 
 
47. **Qual é a derivada de \( f(x) = \arccos(x) \)?** 
 a) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 c) \( -\frac{1}{1 + x^2} \) 
 d) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 **Explicação:** A derivada da função \( f(x) = \arccos(x) \) é \( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - 
x^2}} \). 
 
48. **Qual é a integral de \( \int x e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} x e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral se 
torna \( \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
49. **Qual é a integral de \( \int x^2 \sin(x) \, dx \)?** 
 a) \( -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + C \) 
 b) \( -x^2 \cos(x) + x \sin(x) + C \) 
 c) \( x^2 \sin(x) + 2 \cos(x) + C \) 
 d) \( x^2 \sin(x) - 2 \cos(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes: 
 \( u = x^2 \), \( dv = \sin(x) dx \) e depois aplicamos novamente. 
 
50. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \)?** 
 a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 b) \( \frac{1}{x} + C \) 
 c) \( \frac{\ln(x)}{x} + C \) 
 d) \( \ln(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = \ln(x) \), então \( du = \frac{1}{x} dx \). A 
integral se torna \( \int \frac{1}{u} du = \ln(u) + C = \ln(\ln(x)) + C \). 
 
51. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sin^3(x) \)?** 
 a) \( 3\sin^2(x)\cos(x) \) 
 b) \( 3\sin^3(x)\cos(x) \) 
 c) \( 3\sin^2(x) \) 
 d) \( 3\sin^2(x)\sin(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 3\sin^2(x)\cos(x) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = 3\sin^2(x) \cdot \cos(x) \). 
 
52. **Qual é a integral de \( \int \sec^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \tan(x) + C \) 
 b) \( \sec(x) + C \) 
 c) \( \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \) 
 d) \( -\tan(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sec^2(x) \) é uma integral básica, onde \( \int \sec^2(x) \, 
dx = \tan(x) + C \). 
 
53. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \( \frac{5}{4} \) 
 d) \( \frac{3}{4} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{5}{4} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + 3) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 
\frac{2x^3}{3} + 3x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 3 \right) = \frac{5}{4} \).