5O4 desafios 5O4

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**Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = x^3 \cdot \frac{1}{x} + 3x^2 \ln(x) = 
3x^2 \ln(x) + x^2 \). 
 
33. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{5}{4} \) 
 c) \( \frac{3}{4} \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{4} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx = \left[ x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x 
\right]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{4} \). 
 
34. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) 
 b) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2 + a^2} \) é \( \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + 
C \). Aqui, \( a = 2 \), então \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C 
\). 
 
35. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)?** 
 a) \( 2xe^{x^2} \) 
 b) \( e^{x^2} \) 
 c) \( x^2 e^{x^2} \) 
 d) \( 2x^2 e^{x^2} \) 
 **Resposta:** a) \( 2xe^{x^2} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = e^{x^2} \cdot (2x) = 2xe^{x^2} \). 
 
36. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (2x + 3) \, dx \)?** 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 5 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** A integral é \( \int_0^1 (2x + 3) \, dx = \left[ x^2 + 3x \right]_0^1 = (1 + 3) - 0 
= 4 \). 
 
37. **Qual é a integral de \( \int x^2 e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} x e^{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2} x e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral se 
torna \( \int \frac{1}{2} e^u \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
38. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
39. **Qual é a integral de \( \int \sin^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} \sin(2x) + C \) 
 c) \( -\frac{1}{2} \sin(2x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \cos(2x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \): 
 \( \int \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \). 
 
40. **Qual é o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) 0 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** A integral é \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx = \left[ -\cos(x) 
\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = 0 + 1 = 1 \). 
 
41. **Qual é a integral de \( \int \cos^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \sin(2x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \sin(2x) + C \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \): 
 \( \int \cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) 
+ C \). 
 
42. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^5 \ln(x) \)?** 
 a) \( 5x^4 \ln(x) + x^4 \) 
 b) \( 5x^4 \ln(x) + 5x^4 \) 
 c) \( 5x^4 \ln(x) + 4x^4 \) 
 d) \( 5x^4 \ln(x) + 5x^3 \) 
 **Resposta:** a) \( 5x^4 \ln(x) + x^4 \) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = x^5 \cdot \frac{1}{x} + 5x^4 \ln(x) = 
5x^4 \ln(x) + x^4 \). 
 
43. **Qual é a integral de \( \int e^{3x} \sin(2x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{13} e^{3x} \sin(2x) + C \)