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a) \(0\) 
 b) \(1\) 
 c) \(2\) 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta**: b) \(1\) 
 **Explicação**: Usando a propriedade do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} = 1\), 
temos \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} = 0\). 
 
40. **Problema 40**: Determine a integral \(\int e^{2x} \cos(3e^{2x}) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2} e^{-2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
 b) \(-\frac{1}{3} e^{-2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
 c) \(-\frac{1}{2} e^{-2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 d) \(\frac{1}{3} e^{-2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 **Resposta**: c) \(-\frac{1}{2} e^{-2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 **Explicação**: Usando integração por partes e substituição, obtemos a solução 
correta. 
 
41. **Problema 41**: Encontre a derivada da função \(f(x) = x^2 e^{x}\). 
 a) \(2xe^{x} + x^2 e^{x}\) 
 b) \(x^2 e^{x}\) 
 c) \(2xe^{x} + x^2 e^{x}\) 
 d) \(e^{x}(2x + x^2)\) 
 **Resposta**: d) \(e^{x}(2x + x^2)\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = x^2\) e 
\(v = e^{x}\). Portanto, a derivada é \(e^{x}(2x + x^2)\). 
 
42. **Problema 42**: Calcule a integral \(\int (2x^3 + 3x^2 - 4) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4 + C\) 
 c) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C\) 
 d) \(\frac{1}{4}x^4 + x^3 - 4 + C\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C\) 
 **Explicação**: A primitiva de \(2x^3\) é \(\frac{1}{2}x^4\), a de \(3x^2\) é \(x^3\) e a de \(-
4\) é \(-4x\). Portanto, a primitiva total é \(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C\). 
 
43. **Problema 43**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\). 
 a) \(0\) 
 b) \(1\) 
 c) \(2\) 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta**: c) \(2\) 
 **Explicação**: Usando a fatoração, temos \(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\) que se simplifica 
para \(x + 1\). Avaliando em \(x = 1\), obtemos \(2\). 
 
44. **Problema 44**: Determine a primitiva de \(f(x) = 8x^2 - 6x + 5\). 
 a) \(\frac{8}{3}x^3 - 3x^2 + 5x + C\) 
 b) \(\frac{8}{3}x^3 - 3x + 5 + C\) 
 c) \(\frac{8}{3}x^3 - 3x^2 + 5 + C\) 
 d) \(\frac{8}{3}x^3 - 3x^2 + 5x + C\) 
 **Resposta**: d) \(\frac{8}{3}x^3 - 3x^2 + 5x + C\) 
 **Explicação**: A primitiva de \(8x^2\) é \(\frac{8}{3}x^3\), a de \(-6x\) é \(-3x^2\) e a de 
\(5\) é \(5x\). Portanto, a primitiva total é \(\frac{8}{3}x^3 - 3x^2 + 5x + C\). 
 
45. **Problema 45**: Calcule a integral \(\int (x^3 - 3x + 2) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C\) 
 b) \(\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x + 2 + C\) 
 c) \(\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2 + C\) 
 d) \(\frac{1}{4}x^4 - 3x + 2 + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C\) 
 **Explicação**: A primitiva de \(x^3\) é \(\frac{1}{4}x^4\), a de \(-3x\) é \(-\frac{3}{2}x^2\) 
e a de \(2\) é \(2x\). Portanto, a primitiva total é \(\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C\). 
 
46. **Problema 46**: Encontre a derivada de \(f(x) = \cos(2x)\). 
 a) \(-2\sin(2x)\) 
 b) \(-\sin(2x)\) 
 c) \(2\sin(2x)\) 
 d) \(\cos(2x)\) 
 **Resposta**: a) \(-2\sin(2x)\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, a derivada de \(\cos(u)\) é \(-\sin(u) \cdot u'\), 
onde \(u = 2x\) e \(u' = 2\). Portanto, a derivada é \(-2\sin(2x)\). 
 
47. **Problema 47**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\). 
 a) \(0\) 
 b) \(1\) 
 c) \(4\) 
 d) \(8\) 
 **Resposta**: c) \(4\) 
 **Explicação**: Usando a propriedade de limites, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} 
= k\). Portanto, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = 4\). 
 
48. **Problema 48**: Determine a primitiva de \(f(x) = 5x^4 - 4x^2 + 1\). 
 a) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3 + x + C\) 
 b) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3 + C\) 
 c) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3 + x + C\) 
 d) \(\frac{5}{5}x^5 - 4x + C\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3 + x + C\) 
 **Explicação**: A primitiva de \(5x^4\) é \(x^5\), a de \(-4x^2\) é \(-\frac{4}{3}x^3\) e a de 
\(1\) é \(x\). Portanto, a primitiva total é \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3 + x + C\). 
 
49. **Problema 49**: Calcule a integral \(\int (x^2 - 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}x^3 - x + C\) 
 b) \(\frac{1}{3}x^3 + x + C\) 
 c) \(\frac{1}{3}x^3 - 1 + C\) 
 d) \(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{3}x^3 - x + C\)