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**Explicação**: Usando a técnica de integração por partes e a substituição \(u = 
e^{2x}\), obtemos a solução correta. 
 
8. **Problema 8**: Determine a série de Taylor de \(f(x) = \ln(1+x)\) em torno de \(x = 0\). 
 a) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}\) 
 b) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) 
 c) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\) 
 d) \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) 
 **Resposta**: a) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}\) 
 **Explicação**: A série de Taylor para \(\ln(1+x)\) é derivada da série geométrica, 
resultando na soma alternada. 
 
9. **Problema 9**: Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\). 
 a) \(0\) 
 b) \(2\) 
 c) \(1\) 
 d) \(\pi\) 
 **Resposta**: b) \(2\) 
 **Explicação**: A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\). Avaliando de \(0\) a \(\pi\), obtemos 
\(-\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 1 + 1 = 2\). 
 
10. **Problema 10**: Qual é o resultado da integral \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx\)? 
 a) \(1\) 
 b) \(0\) 
 c) \(e\) 
 d) \(\ln(e)\) 
 **Resposta**: a) \(1\) 
 **Explicação**: A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avaliando de \(1\) a \(e\), temos 
\(\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1\). 
 
11. **Problema 11**: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2}{3x^3 + 4}\). 
 a) \(\frac{5}{3}\) 
 b) \(0\) 
 c) \(1\) 
 d) \(1.5\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{5}{3}\) 
 **Explicação**: Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \(x\), que é 
\(x^3\), temos \(\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{3 + \frac{4}{x^3}} = \frac{5}{3}\). 
 
12. **Problema 12**: Determine a solução geral da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = 3y 
+ 6\). 
 a) \(y = Ce^{3x} - 2\) 
 b) \(y = Ce^{3x} + 2\) 
 c) \(y = -\frac{2}{3} + Ce^{-3x}\) 
 d) \(y = -2 + Ce^{3x}\) 
 **Resposta**: d) \(y = -2 + Ce^{3x}\) 
 **Explicação**: Esta é uma equação diferencial linear. A solução é encontrada usando 
o fator integrante ou separando variáveis, resultando em \(y = -2 + Ce^{3x}\). 
 
13. **Problema 13**: Calcule a integral \(\int (2x^3 - 4x^2 + 5) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 5x + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 5 + C\) 
 c) \(\frac{1}{2}x^4 - 4x^3 + 5x + C\) 
 d) \(x^4 - 2x^3 + 5x + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 5x + C\) 
 **Explicação**: A integral de \(2x^3\) é \(\frac{1}{2}x^4\), a integral de \(-4x^2\) é \(-
\frac{4}{3}x^3\) e a integral de \(5\) é \(5x\). Assim, a integral total é \(\frac{1}{2}x^4 - 
\frac{4}{3}x^3 + 5x + C\). 
 
14. **Problema 14**: Encontre a derivada da função \(f(x) = \tan^{-1}(x)\). 
 a) \(\frac{1}{1+x^2}\) 
 b) \(\frac{x}{1+x^2}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2}\) 
 d) \(\frac{1}{\tan^2(x)}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{1+x^2}\) 
 **Explicação**: A derivada da função inversa \(\tan^{-1}(x)\) é dada pela fórmula 
\(\frac{d}{dx} \tan^{-1}(x) = \frac{1}{1+x^2}\). 
 
15. **Problema 15**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\). 
 a) \(0\) 
 b) \(1\) 
 c) \(2\) 
 d) \(4\) 
 **Resposta**: c) \(2\) 
 **Explicação**: Usando a propriedade de limites, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} 
= k\). Portanto, \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2\). 
 
16. **Problema 16**: Determine a primitiva de \(f(x) = 4x^3 - 2x + 1\). 
 a) \(x^4 - x^2 + x + C\) 
 b) \(x^4 - x^2 + C\) 
 c) \(x^4 - x + C\) 
 d) \(x^4 - x^2 + \frac{1}{2} + C\) 
 **Resposta**: a) \(x^4 - x^2 + x + C\) 
 **Explicação**: A primitiva de \(4x^3\) é \(x^4\), a primitiva de \(-2x\) é \(-x^2\) e a 
primitiva de \(1\) é \(x\). Portanto, a primitiva total é \(x^4 - x^2 + x + C\). 
 
17. **Problema 17**: Calcule a integral \(\int_{0}^{1} (x^2 + 2x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(1\) 
 c) \(\frac{5}{6}\) 
 d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{5}{6}\) 
 **Explicação**: A integral de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\) e a de \(2x\) é \(x^2\). Avaliando de 
\(0\) a \(1\), temos \(\left[\frac{1}{3} + 1\right] - [0] = \frac{4}{3}\). 
 
18. **Problema 18**: Determine o valor de \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx\). 
 a) \(1\)